2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.2.3 倍角公式
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.2.3 倍角公式 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 328.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 10:57:51 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第三册
8.2.3 倍角公式
基础过关练
题组一 给角求值
1.(2024山东日照校级联合考试)2sin 15°cos 15°=( )
A.
2.的值为( )
A.-
3.(2024辽宁东北育才学校期中)sin 20°cos 20°-cos225°=( )
A.1 B.
4.(2024四川成都树德中学月考)设a=cos 6°-sin 6°,b=,则有( )
A.a>b>c B.aC.a5.(2023江苏南京师范大学附属中学期中)的值为( )
A. D.2
6.计算下列各式的值:
(1);
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
题组二 条件求值
7.(2024黑龙江齐齐哈尔月考)已知sin,则sin=( )
A.-
8.(2022重庆南开中学期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin 2α=( )
A.
9.(2024辽宁沈阳一模)已知sin=1,则cos=( )
A.
10.(2024湖南长沙一中月考)已知cos=0,则tan=( )
A.
11.已知角α在第一象限内,且cos α=,则=( )
A.
12.(2024宁夏银川一模)已知cos x+sin x=,则= .
13.(2022安徽合肥一中期末)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ= .
14.(2022河南商丘虞城高级中学期末)已知=3.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
题组三 倍角公式的综合运用
15.(2024北京汇文中学期中)函数f(x)=sin 2x-2cos2x在区间上的最大值为( )
A.
16.(多选题)(2023山东日照实验高级中学模拟)已知α∈,且3cos 2α-sin α=2,则( )
A.cos(π-α)=
C.sin
17.(2024福建厦门一中月考)若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x118.证明:(1)cos 4α+4cos 2α+3=8cos4α;
(2)tan α+;
(3);
(4)=tan4A.
19.(2024山东烟台一中期中)已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f ,α∈,求f(2α)的值.
能力提升练
题组 倍角公式的应用
1.(2022北京朝阳期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美与黄金分割相关.黄金分割数ω=可以表示成2sin 18°,则=( )
A.2 B.+1
2.(2024江西南昌期末)已知α为锐角,且tan α+tan=1,则=( )
A.
3.(2022湖南长沙一中期末)若α∈(π,2π),cos α+sin=0,则sin=( )
A.-
4.(2023吉林东北师大附中期末)已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则等于( )
A.-
5.(2024山西大同第二中学校期末)若θ∈,sin θcoscos 2θ,则tan 3θ=( )
A.4 B.
6.(2022陕西西安期中)已知-,2tan β=tan 2α,tan(β-α)=-8,则sin α=( )
A.-
7.(多选题)(2023安徽黄山质量检测)若,则tan(k∈Z)的值可能是( )
A. C.2 D.3
8.(2023江西南昌东湖期中)cos cos sin ·cos = .
9.(2022四川宜宾期末)已知cos(α+β)cos+sin(α+β)sinβ+=,则sin= .
10.(2023四川简阳阳安中学月考)如图,在平面直角坐标系中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点,若α∈,且点A的坐标为(-2,m).
(1)若tan 2α=-,求实数m的值;
(2)若tan∠AOB=-,求sin 2α的值.
答案与分层梯度式解析
8.2.3 倍角公式
基础过关练
1.A 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故选A.
2.D 原式=cos2.
3.D sin 20°cos 20°-cos225°=sin 40°-sin 40°-sin 40°-.故选D.
4.C a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°·sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,
b==tan 26°==sin 26°,c==sin 25°,
因为当0°sin 25°>sin 24°,故a故选C.
5.B 原式=
=.故选B.
6.解析 (1)原式==1.
(2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°==.
7.D sin,
故选D.
8.B 由题意得sin α=-,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×.故选B.
9.B 由sin=1得cos θ+cos θ+sin θ=1,即cos θ+sin θ=1,即=1,则cos,
∴cos,故选B.
10.D 因为cos=0,
所以cos=0,
所以tan,
所以tan.故选D.
11.C 因为cos α=,且角α在第一象限内,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin α·cos α=,
所以原式==.
12.答案 -
解析 原式=.
13.答案
解析 因为θ∈,所以2θ∈.
又sin 2θ=,所以cos 2θ=-,
所以sin θ=.
14.解析 (1)=3,解得tan α=2.
(2)==cos 2α.
由(1)知tan α=2,所以=2,又sin2α+cos2α=1,所以cos α=±,所以原式=cos 2α=2cos2α-1=-.
15.C f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1,
因为x∈,所以2x-,
故函数f(x)的最大值为2-1=1.故选C.
16.AB 由题意得3(1-2sin2α)-sin α=2,即6sin2α+sin α-1=0,解得sin α=-或sin α=.
又α∈,所以sin α=.
所以cos α=-,tan α=.
所以cos(π-α)=-cos α=,tan(π-α)=-tan α==cos α=-=sin α=.故选AB.
17.答案 -
解析 由00,所以0<2x-<π,
根据正弦函数的性质可知,所以x1+x2=,且0<2x1-<π,所以cos,
所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2)
=2sin
=2sin
=2sin
=-2cos
=-2×.
18.证明 (1)左边=2cos22α-1+4cos 2α+3
=2(cos22α+2cos 2α+1)=2(cos 2α+1)2
=2(2cos2α-1+1)2=8cos4α=右边,得证.
(2)左边=
=tan α+=右边,得证.
(3)左边=-2cos α·cos β+2sin αsin β
=2cos βcos α+-2cos αcos β+2sin αsin β
==右边,得证.
(4)左边=
==tan4A=右边,得证.
19.解析 (1)f(π)=2cos =-2×.
(2)因为f =-2sin α=,
所以sin α=-.
又α∈,所以cos α=,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×,
cos 2α=2cos2α-1=2×.
所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos+2sin 2α·sin.
能力提升练
1.A =2.
故选A.
2.C 因为α为锐角,所以tan α>0,则tan α+tan=tan α+=tan α+=1,整理可得tan2α-3tan α=0,所以tan α=3(tan α=0舍去),
所以=-2.故选C.
3.D 由cos α+sin=0,得cos2=0,即cos=0.因为α∈(π,2π),所以,所以cos ≠0,所以cos +sin ,所以,1+sin α=,即sin α=-,所以α∈,所以cos α=,所以sin=sin αcos+cos αsin.故选D.
4.A ∵cos θ-sin θ=-,
∴1-sin 2θ=,∴sin 2θ=-.
∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-,
∴(cos θ+sin θ)=-.故选A.
5.D 因为sin θcoscos 2θ,所以sin θ·(cos2θ-sin2θ),即·sin θ(cos θ-sin θ)=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ),
因为θ∈,所以cos θ-sin θ=>0,所以3sin θ=cos θ+sin θ,所以tan θ=,
所以tan 2θ=,所以tan 3θ=tan(2θ+θ)=.故选D.
6.D 易得tan β=tan[(β-α)+α]=,又tan 2α=,2tan β=tan 2α,所以,整理,得tan3α=-8,解得tan α=-2.因为-,所以-<α<0,所以由可得sin α=-.故选D.
7.CD =sin θ·(cos θ-sin θ)=,
即2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=-或tan θ=3.
当k=2m(m∈Z)时,tan=tan(mπ+θ)=tan θ=-或3;当k=2m-1(m∈Z)时,tan=2或-.
故选CD.
8.答案
解析 原式=
=
=sin .
9.答案 -
解析 因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin,所以cos,
即cos,
所以cos,
即cos,
所以sin
=-.
10.解析 (1)由题意得tan α=-,所以tan 2α=,解得m=1或m=-4.
因为α∈,所以tan α<0,所以m=1.
(2)由题意得tan∠AOB=tan(α-β)=.因为α∈,所以α-,
所以sin,
所以sin,
所以sin 2α=sin·cos.
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2025人教B版高中数学必修第三册
8.2.3 倍角公式
基础过关练
题组一 给角求值
1.(2024山东日照校级联合考试)2sin 15°cos 15°=( )
A.
2.的值为( )
A.-
3.(2024辽宁东北育才学校期中)sin 20°cos 20°-cos225°=( )
A.1 B.
4.(2024四川成都树德中学月考)设a=cos 6°-sin 6°,b=,则有( )
A.a>b>c B.a
A. D.2
6.计算下列各式的值:
(1);
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
题组二 条件求值
7.(2024黑龙江齐齐哈尔月考)已知sin,则sin=( )
A.-
8.(2022重庆南开中学期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin 2α=( )
A.
9.(2024辽宁沈阳一模)已知sin=1,则cos=( )
A.
10.(2024湖南长沙一中月考)已知cos=0,则tan=( )
A.
11.已知角α在第一象限内,且cos α=,则=( )
A.
12.(2024宁夏银川一模)已知cos x+sin x=,则= .
13.(2022安徽合肥一中期末)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ= .
14.(2022河南商丘虞城高级中学期末)已知=3.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
题组三 倍角公式的综合运用
15.(2024北京汇文中学期中)函数f(x)=sin 2x-2cos2x在区间上的最大值为( )
A.
16.(多选题)(2023山东日照实验高级中学模拟)已知α∈,且3cos 2α-sin α=2,则( )
A.cos(π-α)=
C.sin
17.(2024福建厦门一中月考)若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x1
(2)tan α+;
(3);
(4)=tan4A.
19.(2024山东烟台一中期中)已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f ,α∈,求f(2α)的值.
能力提升练
题组 倍角公式的应用
1.(2022北京朝阳期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美与黄金分割相关.黄金分割数ω=可以表示成2sin 18°,则=( )
A.2 B.+1
2.(2024江西南昌期末)已知α为锐角,且tan α+tan=1,则=( )
A.
3.(2022湖南长沙一中期末)若α∈(π,2π),cos α+sin=0,则sin=( )
A.-
4.(2023吉林东北师大附中期末)已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则等于( )
A.-
5.(2024山西大同第二中学校期末)若θ∈,sin θcoscos 2θ,则tan 3θ=( )
A.4 B.
6.(2022陕西西安期中)已知-,2tan β=tan 2α,tan(β-α)=-8,则sin α=( )
A.-
7.(多选题)(2023安徽黄山质量检测)若,则tan(k∈Z)的值可能是( )
A. C.2 D.3
8.(2023江西南昌东湖期中)cos cos sin ·cos = .
9.(2022四川宜宾期末)已知cos(α+β)cos+sin(α+β)sinβ+=,则sin= .
10.(2023四川简阳阳安中学月考)如图,在平面直角坐标系中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点,若α∈,且点A的坐标为(-2,m).
(1)若tan 2α=-,求实数m的值;
(2)若tan∠AOB=-,求sin 2α的值.
答案与分层梯度式解析
8.2.3 倍角公式
基础过关练
1.A 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故选A.
2.D 原式=cos2.
3.D sin 20°cos 20°-cos225°=sin 40°-sin 40°-sin 40°-.故选D.
4.C a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°·sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,
b==tan 26°==sin 26°,c==sin 25°,
因为当0°
5.B 原式=
=.故选B.
6.解析 (1)原式==1.
(2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°==.
7.D sin,
故选D.
8.B 由题意得sin α=-,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×.故选B.
9.B 由sin=1得cos θ+cos θ+sin θ=1,即cos θ+sin θ=1,即=1,则cos,
∴cos,故选B.
10.D 因为cos=0,
所以cos=0,
所以tan,
所以tan.故选D.
11.C 因为cos α=,且角α在第一象限内,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin α·cos α=,
所以原式==.
12.答案 -
解析 原式=.
13.答案
解析 因为θ∈,所以2θ∈.
又sin 2θ=,所以cos 2θ=-,
所以sin θ=.
14.解析 (1)=3,解得tan α=2.
(2)==cos 2α.
由(1)知tan α=2,所以=2,又sin2α+cos2α=1,所以cos α=±,所以原式=cos 2α=2cos2α-1=-.
15.C f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1,
因为x∈,所以2x-,
故函数f(x)的最大值为2-1=1.故选C.
16.AB 由题意得3(1-2sin2α)-sin α=2,即6sin2α+sin α-1=0,解得sin α=-或sin α=.
又α∈,所以sin α=.
所以cos α=-,tan α=.
所以cos(π-α)=-cos α=,tan(π-α)=-tan α==cos α=-=sin α=.故选AB.
17.答案 -
解析 由0
根据正弦函数的性质可知,所以x1+x2=,且0<2x1-<π,所以cos,
所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2)
=2sin
=2sin
=2sin
=-2cos
=-2×.
18.证明 (1)左边=2cos22α-1+4cos 2α+3
=2(cos22α+2cos 2α+1)=2(cos 2α+1)2
=2(2cos2α-1+1)2=8cos4α=右边,得证.
(2)左边=
=tan α+=右边,得证.
(3)左边=-2cos α·cos β+2sin αsin β
=2cos βcos α+-2cos αcos β+2sin αsin β
==右边,得证.
(4)左边=
==tan4A=右边,得证.
19.解析 (1)f(π)=2cos =-2×.
(2)因为f =-2sin α=,
所以sin α=-.
又α∈,所以cos α=,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×,
cos 2α=2cos2α-1=2×.
所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos+2sin 2α·sin.
能力提升练
1.A =2.
故选A.
2.C 因为α为锐角,所以tan α>0,则tan α+tan=tan α+=tan α+=1,整理可得tan2α-3tan α=0,所以tan α=3(tan α=0舍去),
所以=-2.故选C.
3.D 由cos α+sin=0,得cos2=0,即cos=0.因为α∈(π,2π),所以,所以cos ≠0,所以cos +sin ,所以,1+sin α=,即sin α=-,所以α∈,所以cos α=,所以sin=sin αcos+cos αsin.故选D.
4.A ∵cos θ-sin θ=-,
∴1-sin 2θ=,∴sin 2θ=-.
∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-,
∴(cos θ+sin θ)=-.故选A.
5.D 因为sin θcoscos 2θ,所以sin θ·(cos2θ-sin2θ),即·sin θ(cos θ-sin θ)=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ),
因为θ∈,所以cos θ-sin θ=>0,所以3sin θ=cos θ+sin θ,所以tan θ=,
所以tan 2θ=,所以tan 3θ=tan(2θ+θ)=.故选D.
6.D 易得tan β=tan[(β-α)+α]=,又tan 2α=,2tan β=tan 2α,所以,整理,得tan3α=-8,解得tan α=-2.因为-,所以-<α<0,所以由可得sin α=-.故选D.
7.CD =sin θ·(cos θ-sin θ)=,
即2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=-或tan θ=3.
当k=2m(m∈Z)时,tan=tan(mπ+θ)=tan θ=-或3;当k=2m-1(m∈Z)时,tan=2或-.
故选CD.
8.答案
解析 原式=
=
=sin .
9.答案 -
解析 因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin,所以cos,
即cos,
所以cos,
即cos,
所以sin
=-.
10.解析 (1)由题意得tan α=-,所以tan 2α=,解得m=1或m=-4.
因为α∈,所以tan α<0,所以m=1.
(2)由题意得tan∠AOB=tan(α-β)=.因为α∈,所以α-,
所以sin,
所以sin,
所以sin 2α=sin·cos.
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