2025人教B版高中数学必修第三册强化练习题（含解析）--8.2.4 三角恒等变换的应用

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2025人教B版高中数学必修第三册
8.2.4　三角恒等变换的应用
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　求值问题
1.若cos α=,且α∈,则cos 的值为(　　)
A.
C.
2.(2024湖南湘潭月考)的值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
3.(2024广东珠海第一中学期末)已知角α是第二象限角,且终边经过点(-3,4),则tan=(　　)
A.3　　　　B.或2
4.(2024江西鹰潭期末质量检测)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)的值为(　　)
A.
5.(2023江西赣州赣县第三中学开学考试)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=　　　　.
6.(2024江西景德镇期末)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值.
题组二　三角函数式的化简与证明
7.(2023山东青岛胶州第二中学月考)已知α∈,化简的结果是(　　)
A.sin α　　　　　　B.-sin α
C.cos α　　　　　　D.-cos α
8.化简的结果为(　　)
A.tan α　　　　B.tan 2α　　　　C.
9.已知180°<α<360°,化简:=　　　　.
10.(2023山东淄博第十一中学段考)
(1)化简:;
(2)求值:①sin 50°(1+tan 10°);
②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°·cos 20°.
11.化简下列各式:
(1);
(2).
题组三　三角恒等变换的应用
12.(2024河南焦作博爱第一中学月考)函数f(x)=sin是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
13.(2024山东泰安二中期中)在△ABC中,若sin Asin B=cos2 ,则△ABC是(　　)
A.等边三角形　　　　　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　　　　　D.等腰直角三角形
14.(多选题)(2024重庆第一中学校期末)下列说法正确的是　(　　)
A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x的最大值为
B.若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=
C.若sin x+cos x=,则3sin x+4cos x=0
D.已知函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,则a=
15.(2024辽宁沈阳东北育才学校期末)已知函数f(x)=cos xsin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在上的值域.
16.(2023江苏盐城中学月考)已知tan γ=.
(1)若α+β=,求tan γ的值;
(2)若α,β,γ都为锐角,求的最大值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　三角恒等变换的应用
1.(2023江苏淮安高中校协作体期中)若α∈(0,π),且sin α-2cos α=2,则tan =(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.
2.(2022陕西西安期末)已知α∈sin α-sin,则sin=(　　)
A.
C.
3.(2024辽宁大连滨城高中联盟月考)若α+β=,则cos2α+cos2β的取值范围是(　　)
A.
C.　　　　　　D.[0,1]
4.(2024四川成都第十二中学三模)已知f(θ)=cos 4θ+cos 3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点,则下列结论不正确的是(　　)
A.∈{θ1,θ2,θ3}
B.θ1+θ2+θ3=π
C.cos θ1cos θ2cos θ3=-
D.cos θ1+cos θ2+cos θ3=
5.(2024河北石家庄月考)已知tan=-3,则的值为　　　　.
6.(2022浙江绍兴期末)若sin θ=<θ<3π,则tan+2cos =　　　　.
7.(2024山东高中名校统一调研)已知△ABC的内角分别为A,B,C,且满足cos=0,则的最小值为　　　　.
8.在△ABC中,求证:
(1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C;
(2)sin A+sin B-sin C=4sin sin cos .
9.(2024北京师范大学附属中学期末)已知函数f(x)=sin ·cos.
(1)若x∈(0,π),求f(x)≥的解集;
(2)若α为锐角,且f(α)=,求tan 2α的值.
答案与分层梯度式解析
8.2.4　三角恒等变换的应用
基础过关练
1.B　∵α∈.
∴cos,
sin.
∴cos.
2.C　
=
=.故选C.
3.C　∵角α是第二象限角,且终边经过点(-3,4),
∴sin α=,cos α=-.
解法一:tan=2.
解法二:tan=2.
解法三:易知是第一或第三象限角,∴tan=2.
故选C.
4.B　由和差化积公式,得cos α+cos β=2cos·cos ,sin α-sin β=2cos,
两式相除,可得tan,
所以tan(α-β)=.故选B.
5.答案　
解析　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]
=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)
=sin 50°+cos 40°
=sin 50°+sin 50°=.
6.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-.
解法一:因为,所以0<α-β<π,
所以0<,
所以cos=,
sin.
所以tan.
解法二:同解法一,求得cos .
由0<α-β<π,cos(α-β)=,
得sin(α-β)=.
所以tan.
7.B　∵α∈,∴cos α>sin α>0.
∴原式=cos α=(cos α-sin α)-cos α=-sin α.故选B.
8.B　==tan 2α.
9.答案　cos α
解析　原式=
=
=.
因为180°<α<360°,所以90°<<180°,
所以cos<0,所以原式=cos α.
10.解析　(1)原式=sin αcos α=sin 2α.
(2)①原式=sin 50°=sin 50°×=sin 50°×=1.
②cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=[cos(80°+20°)+cos(80°-20°)]
=cos 100°+=(cos 20°-cos 40°+cos 100°)
=[cos(30°-10°)-cos(30°+10°)-sin 10°]
=(2sin 30°sin 10°-sin 10°)=.
11.解析　(1)原式=
=.
(2)原式=
=
=.
12.D　f(x)=sin=sin2x++1=.
故f(x)是最小正周期T==π的非奇非偶函数.
13.B　由已知得(1+cos C).因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.易知-π14.ACD　对于A,令t=sin x+cos x,则t=sinx+∈[-],sin xcos x=,
∴y=t+(t+1)2-1,t∈[-],
当t=-1时,ymin=-1,当t=时,ymax=,故A正确;
对于B,若tan θ=,则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=,故B错误;
对于C,由sin x+cos x=,得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,则sin xcos x=-<0,
因为0对于D,因为函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立,所以g(x)max=g,
g(x)=3sin x+acos x=sin(x+φ),其中tan φ=,所以,整理得(a-)2=0,所以a=,故D正确.故选ACD.
15.解析　(1)f(x)=cos xsin
=
=cos 2x+
=sin 2x-cos 2x=.
令2kπ-≤2x-+2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)得f(x)=.
因为x∈,所以2x-,
所以-1≤sin,
所以-,
故函数f(x)在.
16.解析　(1)tan γ=.
因为α+β=,所以tan γ=tan.
(2)因为tan γ=tan,所以γ+kπ=,k∈Z,则2γ+2kπ=α+β,k∈Z,
又因为α,β,γ均为锐角,所以2γ=α+β,
则
=
=
≤=3,
当且仅当即α=β=γ时,等号成立,
因此的最大值为3.
能力提升练
1.B　由(舍去),故tan α=,即tan α=,解得tan =2或tan .
因为α∈(0,π),所以,所以tan >0,所以tan =2,即tan =2,同理,tan>0,故tan .故选B.
2.A　因为sin α-sin,所以sin α-×sin α-cos α=sin α-cos α=sin.
因为α∈,所以α-,
所以cos.
所以cos,
sin,
所以sin=sin2α-cos sin .故选A.
3.C　cos2α+cos2β=
=1+(cos 2α+cos 2β)=1+cos·cos
=1+cos(α+β)·cos(α-β)=1+cos·cos(α-β)
=1-cos(α-β).
∵cos(α-β)∈[-1,1],∴cos2α+cos2β∈.
4.B　不妨设θ1<θ2<θ3.
令cos 4θ+cos 3θ=0,得cos 4θ=-cos 3θ=cos(π-3θ),
所以4θ=π-3θ+2kπ,k∈Z或4θ=3θ-π+2kπ,k∈Z,
即θ=,k∈Z或θ=-π+2kπ,k∈Z,
又θ∈(0,π),所以θ1=,故A中结论正确;
θ1+θ2+θ3=,故B中结论错误;
cos θ1cos θ2cos θ3=cos·cos
=,故C中结论正确;
cos θ1+cos θ2+cos θ3=cos
=
=-
=,故D中结论正确.
故选B.
5.答案　-
解析　原式=.
6.答案　3-
解析　易得cos θ=-.
因为<θ<3π,所以,
所以cos ,
sin ,
所以tan =3,
所以tan +2cos .
7.答案　16
解析　由已知得cos=0,
所以sin+2sin=0,
所以3sin,
易知,所以3tan>0,
又sin A=,sin C=,
所以
=
=
≥2=16,
当且仅当,即tan时取等号,
所以的最小值为16.
知识拓展　万能公式:
①sin α=;②cos α=.
8.证明　(1)左边=sin2A+(cos 2C-cos 2B)=sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)]=sin(B+C)·2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右边,
∴等式得证.
(2)左边=sin(B+C)+2sin·cos=右边,
∴等式得证.
9.解析　(1)f(x)=sin x-(1+cos x)-·cossin x-cos x-cos x+sin x+=sin x-cos x=.
令,得sin,所以2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,又x∈(0,π),故f(x)≥.
(2)由题意及(1)知,
即sin.
因为α为锐角,所以-,
所以cos.
所以tan 2α==
-.
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