2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--专题强化练5 折叠问题
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--专题强化练5 折叠问题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 361.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 10:59:48 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第四册
专题强化练5 折叠问题
1.(多选题)(2022山东青岛期末)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD(如图2).给出下面四个命题,其中正确的是( )
图1 图2
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为
C.BA'⊥CA'
D.平面A'BC⊥平面A'DC
2.如图所示,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后得到的几何体中有如下命题:①AB与DE所成角的正切值为;②AB∥CE;③VB-ACE=a3;④平面ABC⊥平面ADC.其中正确命题的序号为 .
3.(2024辽宁大连模拟考试)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则三棱锥P-AEF外接球的表面积是 ;过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围是 .
4.(2024广东茂名高新中学期中)如图(1),在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,E,F分别为PC,PD的中点,将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD,如图(2).
(1)在图(2)中,求证:EF⊥PA;
(2)在图(2)中,G为线段BC上任意一点,若AP∥平面EFG,请确定点G的位置.
答案与分层梯度式解析
1.CD 如图所示,取BD的中点E,连接A'E.
因为A'D=A'B,所以A'E⊥BD,因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E 平面A'BD,所以A'E⊥平面BCD,又BC 平面BCD,所以A'E⊥BC.若A'D⊥BC,则可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A错误.
易得三棱锥A'-BCD的体积V=××××=,故B错误.
易知△A'CD为直角三角形,则A'C=.在△A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA',故C正确.
因为BA'⊥DA',DA'∩CA'=A',DA',CA' 平面A'DC,所以BA'⊥平面A'DC,因为BA' 平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.
故选CD.
2.答案 ③④
解析 ∵正方形BCDE的边长为a,
∴AB=a,则AE=a,
又AD⊥平面BCDE,∴AD=a,∴AC=a.
在①中,∵BC∥DE,
∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角,
∵AB=a,BC=a,AC=a,
∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC,
∴AB与DE所成角的正切值为=,故①错误;
在②中,由翻折后的几何体知AB与CE是异面直线,故②错误;
在③中,VB-ACE=VA-BCE=·S△BCE·AD=×a2×a=a3,故③正确;
在④中,∵AD⊥平面BCDE,BC 平面BCDE,
∴AD⊥BC,又BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD 平面ADC,
∴BC⊥平面ADC,又BC 平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确.
3.答案 24π;[π,6π]
解析 由题意,将三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体,如图所示:
三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球,设外接球的直径为2R,则(2R)2=22+22+42=24,故R=,
所以三棱锥P-AEF外接球的表面积S=4πR2=24π.
过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大截面为以球心O为圆心的大圆,此时截面圆的面积为πR2=π×()2=6π,连接AN,设AN中点为O,易知O为外接球的球心,连接OM,则最小截面为以M为圆心,且垂直于OM的圆,易得OM==,故截面圆的半径r===1,
此时截面圆的面积为πr2=π,
所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π].
规律总结 对于折叠问题,要注意折叠过程中的改变量与不变量.一般地,在折痕同侧的量为不变量,在折痕异侧的量折叠前后会发生变化,为改变量.此类问题常因抓不准不变量和改变量,对折叠前后各量位置关系不清而致错.
4.解析 (1)证明:∵在△PDC中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD,
因为AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,所以四边形ABCD为正方形,
所以CD⊥PD,CD⊥AD,又PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,
故EF⊥平面PAD,又PA 平面PAD,
所以EF⊥PA.
(2)当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
证明如下:因为EF∥CD,AB∥CD,所以AB∥EF,
又AB 平面EFG,EF 平面EFG,
所以AB∥平面EFG,
因为AP∥平面EFG,且AP∩AB=A,AP,AB 平面APB,所以平面APB∥平面EFG,
因为PB 平面APB,所以PB∥平面EFG,
因为PB 平面PBC,平面PBC∩平面EFG=GE,
所以PB∥GE,所以=,
因为点E是PC的中点,
所以GC=BC,即点G为BC的中点.
故当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025人教B版高中数学必修第四册
专题强化练5 折叠问题
1.(多选题)(2022山东青岛期末)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD(如图2).给出下面四个命题,其中正确的是( )
图1 图2
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为
C.BA'⊥CA'
D.平面A'BC⊥平面A'DC
2.如图所示,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后得到的几何体中有如下命题:①AB与DE所成角的正切值为;②AB∥CE;③VB-ACE=a3;④平面ABC⊥平面ADC.其中正确命题的序号为 .
3.(2024辽宁大连模拟考试)在边长为4的正方形ABCD中,如图1所示,E,F,M分别为BC,CD,BE的中点,分别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,如图2所示,则三棱锥P-AEF外接球的表面积是 ;过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围是 .
4.(2024广东茂名高新中学期中)如图(1),在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,E,F分别为PC,PD的中点,将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD,如图(2).
(1)在图(2)中,求证:EF⊥PA;
(2)在图(2)中,G为线段BC上任意一点,若AP∥平面EFG,请确定点G的位置.
答案与分层梯度式解析
1.CD 如图所示,取BD的中点E,连接A'E.
因为A'D=A'B,所以A'E⊥BD,因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E 平面A'BD,所以A'E⊥平面BCD,又BC 平面BCD,所以A'E⊥BC.若A'D⊥BC,则可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A错误.
易得三棱锥A'-BCD的体积V=××××=,故B错误.
易知△A'CD为直角三角形,则A'C=.在△A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA',故C正确.
因为BA'⊥DA',DA'∩CA'=A',DA',CA' 平面A'DC,所以BA'⊥平面A'DC,因为BA' 平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.
故选CD.
2.答案 ③④
解析 ∵正方形BCDE的边长为a,
∴AB=a,则AE=a,
又AD⊥平面BCDE,∴AD=a,∴AC=a.
在①中,∵BC∥DE,
∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角,
∵AB=a,BC=a,AC=a,
∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC,
∴AB与DE所成角的正切值为=,故①错误;
在②中,由翻折后的几何体知AB与CE是异面直线,故②错误;
在③中,VB-ACE=VA-BCE=·S△BCE·AD=×a2×a=a3,故③正确;
在④中,∵AD⊥平面BCDE,BC 平面BCDE,
∴AD⊥BC,又BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD 平面ADC,
∴BC⊥平面ADC,又BC 平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确.
3.答案 24π;[π,6π]
解析 由题意,将三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体,如图所示:
三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的外接球,设外接球的直径为2R,则(2R)2=22+22+42=24,故R=,
所以三棱锥P-AEF外接球的表面积S=4πR2=24π.
过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆,其中最大截面为以球心O为圆心的大圆,此时截面圆的面积为πR2=π×()2=6π,连接AN,设AN中点为O,易知O为外接球的球心,连接OM,则最小截面为以M为圆心,且垂直于OM的圆,易得OM==,故截面圆的半径r===1,
此时截面圆的面积为πr2=π,
所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π].
规律总结 对于折叠问题,要注意折叠过程中的改变量与不变量.一般地,在折痕同侧的量为不变量,在折痕异侧的量折叠前后会发生变化,为改变量.此类问题常因抓不准不变量和改变量,对折叠前后各量位置关系不清而致错.
4.解析 (1)证明:∵在△PDC中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD,
因为AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D是AP的中点,所以四边形ABCD为正方形,
所以CD⊥PD,CD⊥AD,又PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,
故EF⊥平面PAD,又PA 平面PAD,
所以EF⊥PA.
(2)当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
证明如下:因为EF∥CD,AB∥CD,所以AB∥EF,
又AB 平面EFG,EF 平面EFG,
所以AB∥平面EFG,
因为AP∥平面EFG,且AP∩AB=A,AP,AB 平面APB,所以平面APB∥平面EFG,
因为PB 平面APB,所以PB∥平面EFG,
因为PB 平面PBC,平面PBC∩平面EFG=GE,
所以PB∥GE,所以=,
因为点E是PC的中点,
所以GC=BC,即点G为BC的中点.
故当AP∥平面EFG时,G为BC的中点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)