2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--9.1.1　正弦定理

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2025人教B版高中数学必修第四册
第九章　解三角形
9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.1　正弦定理
基础过关练
题组一　三角形的面积公式及其应用
1.在△ABC中,若a=4,c=3,cos B=,则△ABC的面积等于(　　)
A.6　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.3
2.在△ABC中,若a=1,C=45°,S△ABC=2,则b=(　　)
A.8　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.2
3.在△ABC中,若△ABC的面积为S,且S=·,则tan A=
　　　　.
题组二　对正弦定理的理解
4.(2022陕西咸阳期中)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　)
A.asin A=bsin B　　　　B.bsin C=csin A
C.absin C=bcsin B 　　　　D.asin C=csin A
5.(2023福建福州连江一中期中)已知△ABC中,“sin A>sin B”是“cos AA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2024陕西西安高新第一中学月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=,则=　　　　.
题组三　已知两角及一边解三角形
7.(2024浙江精诚联盟联考)在△ABC中,A=,B=,c=3+,则b=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.+
8.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=　　　　.
9.在△ABC中,已知B=45°,C=60°,c=1,则最短的边的边长等于　　　　.
题组四　已知两边及其一边的对角解三角形
10.(2024河北保定六校联盟期中)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则角B的值为(　　)
A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°
11.(2024江苏镇江中学学情检测)在△ABC中,∠A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两个解,则BC边长度的取值范围为(　　)
A.(2,4)　　　　B.(2,4)　　　　C.(4,+∞)　　　　D.(2,2)
12.在△ABC中,若AB=4,AC=4,B=,则△ABC的面积等于　　　　.
13.(2023河南郑州十校期中联考)如图,在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sin C的值是　　　　.
题组五　利用正弦定理进行边角互化
14.(2022四川绵阳期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos Acos B=bsin2A+a,c=2a,则sin A=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
15.(多选题)(2023陕西西安期中)下列说法正确的是(　　)
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B
D.在△ABC中,=
16.(2022广西河池期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足atan A=bcos C+ccos B,a=2,则△ABC外接圆的面积为(　　)
A.2π　　　　B.4π　　　　C.π　　　　D.3π
17.(2022辽宁大连期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=10,7b2-bc-8c2=0,C=60°.
(1)求cos B;
(2)求△ABC的面积.
题组六　利用正弦定理判断三角形的形状
18.(2024陕西咸阳月考)在△ABC中,已知角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形
C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形
19.(2024河南创新发展联盟月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2acos2=c+a,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.锐角三角形
C.直角三角形　　　　D.钝角三角形
20.(2023重庆第一中学校阶段检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=2acos C=2csin A.求证:△ABC为等腰直角三角形.
能力提升练
题组一　利用正弦定理解三角形
1.在△ABC中,若b2=ac,A=30°,则的值等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2022陕西西安月考)在△ABC中,若B=120°,AB=,角A的平分线交BC于点D,且AD=,则AC=(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(2024海南琼海嘉积中学月考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,A=60°,则b的取值范围是(　　)
A.(0,6)　　　　B.(0,2)　　　　
C.(,2)　　　　D.(,6)
4.(2024湖北武汉部分重点中学期中联考)在△ABC中,若sin A=sin Bsin C,且sin C+cos C=2,则c=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.2
5.(2022河南新乡期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3asin C,B=,△ABC外接圆的半径为6,则c=(　　)
A.6+4　　　　B.6+2
C.8+4　　　　D.8+2
6.(2022浙江杭州二模)在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在BC边上,BD=3CD.若sin∠BAD=,则sin∠ABC=　　　　.
题组二　利用正弦定理判断三角形的形状
7.(2023江西部分学校期中联考)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且acos C=b+c,则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.等腰三角形　　　　D.钝角三角形
8.(2024辽宁省实验中学期中)在△ABC中,分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状,甲:acos A=bcos B;乙:a2tan B=b2tan A;丙:acos B=bcos A;丁:a-b=ccos B-ccos A.判断结果与其他三个不一样的是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
9.(2024山东百师联盟联考)定义平面向量的正弦积a※b=|a||b|sin 2θ(其中θ为a,b的夹角).已知△ABC中,※=※,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.直角三角形
C.锐角三角形　　　　D.钝角三角形
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=,n=,且满足|m+n|=.
(1)求角A;
(2)若b+c=a,试判断△ABC的形状.
题组三　三角形的面积公式及其应用
11.(2022陕西西安期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccos B=b(a-cos C),且△ABC的面积S=ccos A,则A=　(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
12.(2022山东潍坊测评)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理,即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC,BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线,sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD=1∶1∶,AC=4,则△ABD面积的最大值为　　　　.
13.(2024浙江杭州教学质量检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
14.(2022山东济南一中期末)在△ABC中,D为AC边上一点,且AC=4AD,∠ABD=∠ACB,∠CBD=.
(1)求证:tan∠ACB=;
(2)若△ABC的面积为15,求AB的长.
题组四　正弦定理的综合应用
15.(多选题)(2024浙江精诚联盟联考)如图,直线l与△ABC的边AB,AC分别相交于点D,E,设AB=c,BC=a,CA=b,∠ADE=θ,则(　　)
A.△ABC的面积S=b2
B.b=acos A+ccos C
C.asin(B-θ)+bsin(A+θ)=csin θ
D.acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ
16.(2024湖南部分学校阶段性考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2c·sin=a+b.
(1)求C的大小;
(2)设BC的中点为D,且AD=3,求a+2b的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　在△ABC中,因为cos B=,所以B=30°,
因此S△ABC=acsin B=×4×3×=3.
2.B　由题意得2=×1×b×,解得b=4.
3.答案　2
解析　因为·=||||cos A=bccos A,所以S=bccos A,
又S=bcsin A,所以bcsin A=bccos A,故tan A=2.
4.D　对于A,由asin A=bsin B及正弦定理,得a2=b2,不一定成立,故A错误;
对于B,由bsin C=csin A及正弦定理,得bc=ca,不一定成立,故B错误;
对于C,由absin C=bcsin B及正弦定理,得abc=b2c,不一定成立,故C错误;
对于D,由正弦定理,得=,即asin C=csin A,一定成立,故D正确.故选D.
5.C　由正弦定理及三角形中大边对大角,得sin A>sin B a>b A>B,
∵A,B∈(0,π),y=cos x在(0,π)上单调递减,
∴A>B cos Asin B cos A∴“sin A>sin B”是“cos A故选C.
常用结论　在△ABC中,sin A>sin B a>b A>B cos A6.答案　2
解析　因为==,
所以b==sin B=2sin B,c==sin C=2sin C,
所以==2.
7.D　因为A=,B=,
所以C=π--=,
所以sin C=sin=,
由=,得=,解得b=+.
故选D.
8.答案　
解析　因为tan A=,0°所以sin A=.
由正弦定理知=,
故AB===.
9.答案　
解析　由已知得A=180°-45°-60°=75°,所以B10.A　因为=,所以sin B===1,
又0°故选A.
11.B　如图所示,作∠A=30°,在∠A的一条边上取AB=4,
过点B作BH垂直于∠A的另一条边,垂足为H.
则BH=4sin 30°=2,以B为圆心,BC为半径画圆弧,如图,因为△ABC有两个解,所以BH故选B.
解题模板　在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,a为半径画弧,此弧与射线AB(除去顶点A)的公共点的个数即为△ABC的解的个数,解的个数见下表:
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a12.答案　8或4
解析　由正弦定理可得=,
所以sin C===,
所以C=或C=.
当C=时,A=,
则S△ABC=AB·AC·sin A=×4×4×1=8;
当C=时,A=,
则S△ABC=AB·AC·sin A=×4×4×=4.
方法点睛　若已知的角为小边所对的角,则不能判定另一边所对的角为锐角,需根据条件分类讨论.
13.答案　
解析　设BD=2x,则AB=AD=x,BC=4x,
过点A作AE⊥BD,垂足为E(图略),
则DE=BE=x,AE==x,
所以sin∠ADE==,
所以sin∠BDC=sin∠ADE=,
在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得sin C=.
14.A　由acos Acos B=bsin2A+a及正弦定理,
得sin Acos Acos B=sin Bsin2A+sin A,
因为sin A≠0,所以cos Acos B-sin Asin B=,
即cos(A+B)=,结合A+B∈(0,π),得A+B=,所以C=,所以sin C=,
由正弦定理得===2,所以sin A=,故选A.
15.ACD　对于A,由===2R(R为△ABC外接圆的半径),可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C,故A正确;
对于B,由sin 2A=sin 2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,故B错误;
对于C,在△ABC中,由正弦定理可得sin A>sin B a>b A>B,因此“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,故C正确;
对于D,由===2R(R为△ABC外接圆的半径),可得==2R=,故D正确.
故选ACD.
16.B　由atan A=bcos C+ccos B得sin Atan A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,
因为A∈(0,π),所以sin A≠0,
所以tan A=,所以A=,
又=2R(R为△ABC外接圆的半径),
所以R===2,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=4π.故选B.
17.解析　(1)由7b2-bc-8c2=0,得(7b-8c)(b+c)=0,
因为b>0,c>0,所以7b=8c,
由正弦定理可得7sin B=8sin C,
又C=60°,所以sin B=sin C=.
易知b>c,所以B>60°,当60°当90°(2)当cos B=时,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=,
由正弦定理知=,
所以c===14,
所以S△ABC=acsin B=×10×14×=40;
当cos B=-时,sin A=sin(B+C)=×-×=,由正弦定理知=,
所以c===,
所以S△ABC=acsin B=×10××=.
故△ABC的面积为40或.
18.A　由正弦定理及acos B=bcos A,得sin Acos B=sin Bcos A,则sin(A-B)=0,
因为019.C　由正弦定理得2sin Acos2=sin C+sin A,
所以2sin A·=sin C+sin A,
即sin Acos B=sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,所以sin Bcos A=0,
又因为B∈(0,π),所以sin B≠0,则cos A=0,
又因为A∈(0,π),所以A=.故△ABC是直角三角形,无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选C.
易错提醒　两个降幂公式cos2α=,sin2α=的结构非常相似,学生容易记混,解题时要注意二者之间的区别.
20.证明　由b=2acos C及正弦定理,得sin B=2sin A·cos C.
∵A+B+C=π,∴sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,
∴sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,
又∵A∈(0,π),C∈(0,π),∴A-C∈(-π,π),∴A-C=0,∴A=C,
又∵2acos C=2csin A,∴acos C=csin A,
由正弦定理,得sin Acos C=sin Csin A,
易知sin A≠0,
∴cos C=sin C,∴tan C=1,
∴C=,∴B=π--=,
∴△ABC为等腰直角三角形.
能力提升练
1.A　由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sin Asin C,所以===sin A=.
2.B　在△ABD中,由正弦定理得=,
所以sin∠ADB==,又因为B=120°,
所以∠ADB=45°,所以∠BAD=15°,
所以∠CAD=15°,C=30°.
在△ACD中,由正弦定理得=,
所以AC==.
3.C　由正弦定理得=,则b===2sin B,因为△ABC为锐角三角形,C=180°-A-B=120°-B,所以0°<120°-B<90°,又0°所以sin B∈,所以b=2sin B∈(,2).
故选C.
易错提醒　本题中角B的取值范围容易求错,出错原因在于考虑不全,没有考虑C=180°-A-B=120°-B为锐角的条件,从而导致错误.
4.D　由sin C+cos C=2sin=2,得C+=+2kπ,k∈Z,
∵C∈(0,π),∴C=.
由sin A=sin Bsin C,得+=,由正弦定理得+==,
结合正弦定理得+=,即cos A·sin C+sin A·cos C==,
故sin(A+C)=sin B=,即=,
由正弦定理得c==×=2.
故选D.
5.D　由c=3asin C及正弦定理,得sin C=3sin Asin C,
因为sin C≠0,所以sin A=.
设△ABC外接圆的半径为R,则R=6,
所以a=2Rsin A=12×=4.
因为B=,所以b=2Rsin B=12×=6.
因为b>a,所以A为锐角,所以cos A=.
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,
所以c=2Rsin C=12×=8+2.故选D.
6.答案　
解析　设CD=x,AC=y,则BD=3x,AD=,AB==.
在△ABD中,由正弦定理知=,
所以sin∠ABD=sin∠BAD=×=.
在Rt△ABC 中,易知sin∠ABC==,
所以=,
所以y=2x,所以sin∠ABC==.
7.D　由acos C=b+c及正弦定理,得sin Acos C=sin B+sin C,
因为A+C=π-B,
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,
即cos Asin C+sin C=0,
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos A=-,
又因为A∈(0,π),所以所以△ABC为钝角三角形,无法判断△ABC是不是等腰三角形.
故选D.
技巧点拨　在将三角形中的边角关系进行转化时,要注意正弦定理运用的可行性,例如将边转化为角时,等号两边关于边的项的次数应该是相等的,否则不能运用正弦定理进行转化.
8.C　对于甲:acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,
所以A=B或C=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形;
对于乙:a2tan B=b2tan A,由正弦定理可得sin2A·tan B=sin2Btan A,
所以sin2A·=sin2B·,
又A,B∈(0,π),所以sin A>0,sin B>0,
所以sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,下同甲中分析;
对于丙:acos B=bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,
所以sin(A-B)=0,又A,B∈(0,π),
所以A-B∈(-π,π),所以A-B=0,即A=B,所以△ABC为等腰三角形,无法判断其是不是直角三角形;
对于丁:a-b=ccos B-ccos A,由正弦定理可得sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,
所以sin(B+C)-sin(A+C)=sin Ccos B-sin Ccos A,
即sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,
所以sin Bcos C-sin Acos C=0,
即(sin B-sin A)cos C=0,
所以cos C=0或sin B-sin A=0,
又A,B,C∈(0,π)且A+B+C=π,
所以C=或A=B,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选C.
9.A　在△ABC中,由※=※,得||||·sin 2(π-∠ABC)=||||sin 2(π-∠ACB),
则||sin 2∠ABC=||sin 2∠ACB,由正弦定理得sin∠ACBsin 2∠ABC=sin∠ABCsin 2∠ACB,
即2sin∠ACBsin∠ABCcos∠ABC=2sin∠ABC·sin∠ACBcos∠ACB,
又sin∠ABC>0,sin∠ACB>0,所以cos∠ABC=cos∠ACB,
又∠ABC,∠ACB∈(0,π),所以∠ABC=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形.
故选A.
10.解析　(1)由题意得|m|=1,|n|=1,
∵|m+n|=,∴|m|2+|n|2+2m·n=3,∴m·n=,
又m·n=coscos-sinsin=sin,
∴sin=,
又A∈(0,π),∴A=.
(2)∵b+c=a,
∴sin B+sin C=sin A,
∴sin+sin C=,
整理,得cos C+sin C=,
∴sin=,
∴C+=或C+=,
∴C=或C=,
当C=时,B=;当C=时,B=.
故△ABC为直角三角形.
11.C　由ccos B=b(a-cos C)及正弦定理,得sin C·cos B=asin B-sin Bcos C,即sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A=asin B,所以a=ab,所以b=.因为△ABC的面积S=ccos A=bcsin A=××c×sin A,所以tan A=,又A∈(0,π),所以A=.故选C.
12.答案　3
解析　由圆的内接四边形的性质知∠BAD+∠BCD=180°,
所以sin∠BAD=sin(180°-∠BCD)=sin∠BCD,
又sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD=1∶1∶,
所以sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BCD=1∶1∶.
在△BCD中,由正弦定理得CD∶BC∶BD=1∶1∶,所以∠BCD=120°,所以∠BAD=60°.
设BC=k,则CD=k,BD=k,
由托勒密定理可知BC·AD+CD·AB=BD·AC,
即k·AD+k·AB=k·4,
即AD+AB=4,
则S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=AB·AD≤·=3,当且仅当AB=AD=2时取等号,
故△ABD面积的最大值为3.
13.解析　(1)因为向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理可知sin Asin B-sin Bcos A=0,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A-cos A=0,则tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得=,即=,所以sin B=.
又a>b,所以A>B,所以cos B==,
故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以△ABC的面积S=absin C=××2×=.
14.解析　(1)证明:设∠ABD=∠ACB=α,
则在Rt△BCD中,CD=,
在△ABC中,由正弦定理知
=,
所以AC=,
又AC=4AD,即AC=CD,
所以=·,
即3cos2α=4cos 2α,
又4cos 2α=4cos2α-4sin2α,
所以tan2α=,
又α为锐角,所以tan α=,
即tan∠ACB=,得证.
(2)由(1)可得sin α=,cos α=,且BC=2BD,
易知S△BCD=S△ABC=,
所以BC·BD=,则BC=3.
在△ABC中,由正弦定理知==,
又cos 2α=cos2α-sin2α=,
所以AB==5.
15.AD　对于A选项,由正弦定理得=,即a=,
△ABC的面积S=absin C=b2,A正确;
对于B选项,因为A+B+C=π,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
由正弦定理得b=acos C+ccos A,B错误;
对于C、D选项,因为+=,所以(+)·=·+·=·,
故||·||cos(θ+A)+||·||cos(B-θ)=||·||cos θ,
即||cos(θ+A)+||cos(B-θ)=||cos θ,
所以acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ,C错误,D正确.
故选AD.
16.思路分析　(1)利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式得到sin A(sin C-cos C-1)=0,即可得到sin C-cos C-1=0,再由辅助角公式计算可得;
(2)设∠CAD=α,则α∈,则∠ADC=-α,利用正弦定理表示出CD、AC,从而转化为关于α的三角函数,利用三角恒等变换化简,再结合正弦函数的性质计算可得.
解析　(1)由2csin=a+b及正弦定理可得2sin Csin=sin A+sin B,
所以2sin C·=sin A+sin B,
即sin Csin A+sin Ccos A=sin A+sin(A+C)=sin A+sin Acos C+cos Asin C,
则sin A(sin C-cos C-1)=0.
因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以sin C-cos C-1=0,
即2-1=0,
所以2sin=1,
又0所以C-=,解得C=.
(2)设∠CAD=α,则α∈,则∠ADC=-α,
根据正弦定理可得===2,
所以CD=2sin α,AC=2sin,
所以a+2b=4sin α+4sin
=4sin α+4×cos α+4×sin α
=6sin α+6cos α=12=12sin,
由α∈,得α+∈,
所以sin∈,
故a+2b的取值范围为(6,12].
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