2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--9.1.2　余弦定理

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2025人教B版高中数学必修第四册
第九章　解三角形
9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.2　余弦定理
基础过关练
题组一　已知两边及其夹角解三角形
1.(2023陕西渭南期末)在△ABC中,若ac=8,a+c=7,B=,则b=(　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.
2.(2024重庆荣昌中学校月考)在△ABC中,A=120°,b=5,且△ABC的面积为,则△ABC的周长为(　　)
A.15　　　　B.12　　　　C.16　　　　D.20
3.在△ABC中,已知AB=5,BC=1,tan B=,则AC=　　　　.
题组二　已知两边及一边的对角解三角形
4.(多选题)(2024陕西西安中学月考)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,b=,A=30°,则c=(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2
5.(2022上海杨浦期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=2,B=2A,则c=　　　　.
题组三　已知三边或三边关系解三角形
6.(2024江苏苏州月考)在△ABC中,若(a+c)·(a-c)=b(b-c),则A=(　　)
A.90°　　　　B.30°　　　　C.60°　　　　D.150°
7.在三角形ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　.
8.若三角形的三条边长分别为2,,+1,则其最大角与最小角之和等于　　　　.
9.(2022河南郑州期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4c2=3b2,=,则A=　　　　.
题组四　利用余弦定理判断三角形的形状
10.在△ABC中,若3sin2A=3sin2B+3sin2C+sin Bsin C,则该三角形一定是(　　)
A.直角三角形　　　　
B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　　
D.等腰直角三角形
11.(2022重庆第一中学校期中)在△ABC中,“cos2A-cos2C>sin2B”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2024山东聊城外国语学校质量检测)在△ABC中,sin2=,则△ABC的形状一定是(　　)
A.正三角形　　　　B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.等腰三角形
13.(2023陕西西安模拟)某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中捡到了三枝小树枝(视为三条线段),想要用它们作为一个三角形的三条高制作一个三角形,经测量,其长度分别为3 cm,
4 cm,6 cm,则(　　)
A.能作出一个锐角三角形
B.能作出一个直角三角形
C.能作出一个钝角三角形
D.不能作出任何三角形
14.在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)·sin A,则△ABC的形状是　　　　　　.
能力提升练
题组一　利用余弦定理解三角形
1.(2024江苏如皋中学教学质量调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A=,(a+b-c)(a+b+c)=ab,则tan B的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2023山东青岛一中期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,若asin∠BAC=bsin B+(c-b)·
sin C,且AD=,b=3c,则a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.2
3.(2022山东潍坊核心素养测评)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为.
(1)求角C;
(2)若∠CAB=,∠ACB的平分线与AB边相交于点E,延长CE至点D,使得CE=DE,求cos∠ADB.
题组二　余弦定理的综合应用
4.(2022安徽黄山二模)赵爽是我国古代著名的数学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(由以弦为边长得到的正方形组成),如图(1).类比“赵爽弦图”,可构造如图(2)所示的图形,它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设DF=3AF,则图中阴影部分与空白部分的面积之比为(　　)
A.7∶9　　　　B.3∶4　　　　C.5∶6　　　　D.3∶7
5.(2024山东省实验中学阶段测试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若sin(A+C)=,则tan A+的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(多选题)(2024江苏南通如东期中)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,则(　　)
A.bcos A+acos B=
B.若·<0,则+<4
C.若C=,则△ABC周长的最大值为6
D.若C=,则的取值范围为(,+∞)
7.(2023上海黄浦统考)已知△ABC的三边长分别为4,5,7,记△ABC的三个内角的正切值所组成的集合为M,则集合M中的最大元素为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　由余弦定理,得b====5.故选B.
方法技巧　本题采用整体思想求解,如a2+c2=(a+c)2-2ac,这样变形后就可以将已知条件直接代入进行计算,避开求a,c的具体数值,体现了整体思想在解决问题中的优越性.
2.A　因为A=120°,b=5,且△ABC的面积为,
所以S△ABC=bcsin A=×5c×=,解得c=3,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=52+32-2×5×3×=49,
所以a=7,则△ABC的周长为a+b+c=15.故选A.
3.答案　3
解析　由tan B=且B∈(0,π),可得cos B=,
由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×=18,所以AC=3.
4.AB　由余弦定理得cos A=,即=,即3c=4+c2,即(c-)(c-2)=0,得c=或c=2.
故选AB.
5.答案　5
解析　由正弦定理知=,即==,解得cos A=,
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,即9=24+c2-2×2×c×,整理可得c2-8c+15=0,解得c=5或c=3,
当c=3时,a=c,则B=2A=2C,则A+B+C=2B=180°,则B=90°,但是a=c=3,b=2,不满足勾股定理,矛盾.故c=5.
6.B　由(a+c)(a-c)=b(b-c)可得a2-c2=b2-bc,所以b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A===,
又0°故选B.
7.答案　1
解析　===×=1.
8.答案　120°
解析　由于+1>>2,
所以最大角与最小角所对的边长分别为+1,2,
设边长为的边所对的角为θ,
则由余弦定理可得cos θ==,
因为0°<θ<180°,所以θ=60°,
故最大角与最小角之和为180°-60°=120°.
9.答案　
解析　∵4c2=3b2,∴2c=b,即b=,
由正弦定理知=,
∴==,即a=c,
由余弦定理,得cos A=
==-,
∵A∈(0,π),∴A=.
10.C　由已知及正弦定理,得3a2=3b2+3c2+bc,
即b2+c2-a2=-bc,
所以cos A===-<0,
所以A是钝角,
故该三角形是钝角三角形.
11.B　在△ABC中,cos2A-cos2C>sin2B 1-sin2A-(1-sin2C)>sin2B,即sin2C>sin2B+sin2A,
所以c2>b2+a2,由余弦定理,得cos C=<0,又C∈(0,π),所以C为钝角,
所以在△ABC中,cos2A-cos2C>sin2B △ABC是以C为钝角的钝角三角形,显然,充分性成立;
但若△ABC为钝角三角形,则不一定是以C为钝角,故必要性不成立.
故“cos2A-cos2C>sin2B”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.
故选B.
12.B　在△ABC中,=sin2=,则b=ccos A,
由余弦定理得b=c·,整理得a2+b2=c2,则C=90°,所以△ABC是直角三角形.无法判断△ABC是不是等腰三角形,故选B.
13.C　设3 cm,4 cm,6 cm的高所对应的底边长分别为a cm,b cm,c cm,则3a=4b=6c,设a=4t cm(t>0),则b=3t cm,c=2t cm,由三角形的三边关系可知这样的三角形存在,设该三角形的最大内角为θ,则cos θ==-,则θ为钝角,故能作出一个钝角三角形.故选C.
14.答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由已知及正、余弦定理可得b=a,
整理,得b2(a2+b2-c2)=a2(a2+b2-c2),
所以a2=b2或a2+b2-c2=0,
即a=b或a2+b2=c2,
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
能力提升练
1.B　由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得a2+b2-c2=-ab,
由余弦定理,得cos C==-,
因为0又sin A=,所以cos A==,
则tan A===,
所以tan B=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-=-=.
故选B.
2.B　由asin∠BAC=bsin B+(c-b)sin C及正弦定理得a2=b2+(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,故cos∠BAC==,又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=,因为角A的平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠DAC=,所以在△ABD和△ACD中分别使用余弦定理可得BD=,CD=,
因为b=3c,所以CD=3BD,
即=3,
解得c=,b=4,所以由余弦定理可得
a==.故选B.
3.解析　(1)因为△ABC的面积为,
所以absin C==×2abcos C,
故sin C=cos C,即tan C=,
因为0(2)设AC=x,则BC=2x,AB=x,
因为CE为∠ACB的平分线,
所以==,
所以AE=,BE=,CE=,
易知∠AEC=60°,所以∠AED=120°,DE=,
在△AED中,由余弦定理得AD2=AE2+DE2-2AE·DE·cos 120°=x2+x2+2×x×x×=x2,
故AD=x,
在△BDE中,DE=BE=x,∠BED=60°,
所以BD=x,
又AB=x,
所以在△ABD中,由余弦定理得
cos∠ADB===.
4.B　设AF=x,则BD=AF=x,DF=3x,AD=4x,
由题意得∠ADB=120°,
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=16x2+x2-2·4x·x·=21x2,
∴S△ABC=AB·AC·sin 60°=·21x2=x2,又S△DEF=DE·DF·sin 60°=·(3x)2=x2,∴=,∴题图中阴影部分与空白部分的面积之比为3∶4.故选B.
5.C　由题意得sin(A+C)=sin B==,因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以b2-a2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
故c=2acos B+a,
由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin(B-A)=sin A,
故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A,
因为△ABC是锐角三角形,
所以解得所以tan A+=tan A+∈.
故选C.
6.BC　由余弦定理得bcos A+acos B=b·+a·=c=2,故A错误;
若·<0,则cos C<0,则cos C=<0,
则a2+b2若C=,c=2,则由余弦定理得cos C==,则a2+b2=ab+4,
所以(a+b)2=3ab+4≤3×+4,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,
则△ABC的周长l=a+b+c≤4+2=6,所以△ABC周长的最大值为6,故C正确;
若C=,c=2,则===-+tan A,
易知A∈,则tan A∈(-∞,-)∪(0,+∞),因此的取值范围为(-∞,-2)∪,故D错误.
故选BC.
7.答案　
解析　设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a由余弦定理得cos C===-,
又C∈(0,π),所以角C为钝角,
所以00,当x∈时,y=tan x单调递增,且tan x<0,
所以tan C<021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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