2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--10.1.2　复数的几何意义

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十章　复数
10.1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数的模
1.(2024辽宁名校联盟联合考试)已知复数z1=2+2i,z2=1+3i,则(　　)
A.z1>z2　　　　B.z1C.|z1|>|z2|　　　　D.|z1|<|z2|
2.已知复数z满足z=-|z|,则z的实部(　　)
A.不大于0　　　　B.不小于0
C.大于0　　　　D.小于0
3.(2024河北邯郸月考)若|-i|=|1-2i|,则实数x=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.(2022湖北鄂州期末)写出一个复数z满足实部和虚部互为相反数,且1<|z|<2:　　　　.
题组二　共轭复数
5.(2022黑龙江哈师大附中期中)若复数z=4+3i,则的虚部是(　　)
A.　　　　B.i　　　　C.-　　　　D.-i
6.设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)
A.-i　　　　B.+i　　　　C.1　　　　D.-1-2i
7.(2024广东江门第一中学月考)设a,b∈R,i是虚数单位,若复数a+i与-1+bi互为共轭复数,则(　　)
A.a=-1,b=1　　　　B.a=-1,b=-1
C.a=1,b=1　　　　D.a=1,b=-1
8.(多选题)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列命题正确的是(　　)
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于
题组三　复数与复平面内点的对应关系
9.(2023湖南娄底一中期中)复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应的点(　　)
A.关于实轴对称
B.关于直线y=x对称
C.关于虚轴对称
D.关于直线y=-x对称
10.(多选题)(2024山东烟台莱州一中质量检测)若复数z=m2-2m-3+(m2-1)i(m∈R),则下列正确的是(　　)
A.当m=1或m=-1时,z为实数
B.若z为纯虚数,则m=-1或m=3
C.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,则1D.若复数z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则z=12+24i或z=0
11.(2022山东枣庄期末)在复平面内,点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i.若C为线段AB上靠近点B的三等分点,则点C对应的复数是　(　　)
A.1+3i　　　　B.-1+3i　　　　C.5+i　　　　D.1+4i
12.(2023山东聊城期中)已知i为虚数单位.
(1)若复数z=(m2-2m-3)+(m2+m-6)i(m∈R)在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)若复数z满足|z|-z=1-3i,求复数z.
13.已知i为虚数单位,a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i在复平面内对应的点位于第几象限 复数z所对应的点的轨迹是什么图形
14.已知复数z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,θ∈R,则当θ满足什么条件时:
(1)z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称
(2)|z2|<
题组四　复数与复平面内向量的对应关系
15.(2024江苏镇江扬中第二高级中学期初检测)在复平面内,复数z=-+i对应的向量为,复数z+1对应的向量为(O为坐标原点),那么向量对应的复数是(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.i　　　　D.-i
16.(2024山东青岛第二中学模拟)已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
17.在复平面内,已知O为原点,向量对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若向量与共线,求a的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　因为z1,z2均不是实数,所以不能比较大小,故A,B错误;
易得|z1|==2,|z2|==,
所以|z1|<|z2|,故C错误,D正确.故选D.
2.A　设z=a+bi(a,b∈R),
∵z=-|z|,∴a+bi=-,
∴∴
∴z的实部不大于0.
故选A.
3.D　因为|-i|=|1-2i|,所以()2+12=12+(-2)2,所以x=4.故选D.
4.答案　z=1-i(答案不唯一)
解析　设z=x+yi(x,y∈R),依题意可知,x+y=0,所以|z|==|x|∈(1,2),即|x|∈,取满足该条件的复数即可,如z=1-i.
5.C　∵z=4+3i,∴=4-3i,|z|==5,
∴=-i,其虚部为-.
6.A　因为复数=|1-i|+i=+i,所以复数z=-i.故选A.
7.B　因为复数a+i与-1+bi互为共轭复数,
所以故选B.
8.BC　当a=0,b=1时,z=i,为纯虚数,故A错误;若z的共轭复数为,且z=,则 a+bi=a-bi,因此b=0,所以z是实数,故B正确;易知C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,则Δ=64-4×8×3=-32<0,所以该方程无实数解,又a,b∈R,所以|z|不可能等于,故D错误.故选BC.
9.A　设z1=1+i和z2=1-i在复平面内对应的点分别为P,Q,则P(1,),Q(1,-),则P,Q关于实轴对称.故选A.
方法总结
　　两个共轭复数的特点:(1)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;(2)两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
10.ACD　对于A,当m=1时,z=-4;当m=-1时,z=0,故m=1或m=-1时,z均为实数,故A正确;
对于B,若z为纯虚数,则解得m=3,故B错误;
对于C,复数z在复平面内对应的点位于第二象限,则解得1对于D,复数z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m2-1=2(m2-2m-3),
即m2-4m-5=0,解得m=-1或m=5,则z=0或z=12+24i,故D正确.
故选ACD.
11.A　∵在复平面内,点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i,∴A(-3,5),B(3,2),设C(x,y),则=(x+3,y-5),=(6,-3),
∵C为线段AB上靠近点B的三等分点,
∴=,∴解得
∴C(1,3),故点C在复平面内对应的复数为1+3i.故选A.
12.解析　(1)因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限,所以解得-1故m的取值范围是(-1,2).
(2)设复数z=a+bi(a,b∈R),由已知得|z|-a-bi=1-3i,所以|z|-a=1,b=3,所以-a=1,解得a=4,所以z=4+3i.
13.解析　因为a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
所以复数z的实部大于0,虚部小于0,
所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
设z=x+yi(x,y∈R),
则x=a2-2a+4,y=-(a2-2a+2),
消去a2-2a,可得y=-x+2(x≥3).
所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以(3,-1)为端点,-1为斜率,在第四象限内的一条射线.
14.解析　(1)在复平面内,z1与z2对应的点关于实轴对称,则
解得k∈Z,
所以θ=2kπ+(k∈Z).
(2)由|z2|<,得<,
即3sin2θ+cos2θ<2,所以sin2θ<,
所以kπ-<θ15.A　由题意得A,B,=(1,0),
则对应的复数为1.故选A.
16.答案　
解析　根据题意得=(1,1),=(0,3),
∴cos<,>===,
又0≤<,>≤π,
∴向量与的夹角为.
17.解析　由题可知=(-3,4),=(2a,1).因为向量与共线,所以存在实数k,使得=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以解得
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