2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--10.2.1 复数的加法与减法
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--10.2.1 复数的加法与减法 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 11:04:05 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第四册
第十章 复数
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
基础过关练
题组一 复数的加、减运算
1.(2024山东省实验中学月考)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
2.(2022江苏南京师大附中月考)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=3+4i,则z1+z2=( )
A.-6 B.6 C.8i D.-8i
3.(2024河南郑州外国语学校月考)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=( )
A.-7 B.7 C.-1 D.1
4.已知复数z满足z+(3-2i)=2,则z的实部和虚部的差为 .
5.计算:|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= .
题组二 复数加、减法的几何意义
6.(2024湖南师范大学附属中学月考)已知m∈R,i是虚数单位,当-A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的点之间的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(多选题)(2022天津耀华中学期中)|(3+2i)-(1+i)|可表示( )
A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离
C.点(2,1)到原点的距离
D.点(2,2)到原点的距离
9.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=( )
A.1 B. C.2 D.3
10.(2024江苏常州调研测试)若复数z满足|z-1|=|z+i|,则|z-1|的最小值为( )
A. B. C.1 D.
11.(2024北京清华大学附中期末)已知复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
12.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y= .
13.在复平面内,A,B,C三点所对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,其中i为虚数单位.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
能力提升练
题组一 复数加、减运算
1.(多选题)(2022山东潍坊期中)给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
2.(2024北京第八十中学月考)复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2 B.4 C.4 D.16
3.(2024吉林长春外国语学校月考)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,则|eiθ-3|的最小值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2022天津南开中学期末)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|= .
题组二 复数加、减法的几何意义
5.(2023广西钦州月考)在复平面内,△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,AB=4,AC=5,点P为△ABC所在平面内一点,其对应的复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则·=( )
A.-3 B. C.6 D.10
6.(多选题)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是( )
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D.点P0与z在复平面内对应的点Z之间的距离的最小值为
7.已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,则|z1-z2|= .
8.(2024安徽合肥中国科学技术大学附属中学月考)在复平面内,已知O为坐标原点,向量,,分别对应复数z1,z2,z3,且z1=a2+(2-a)i,z2=-1+(3-2a)i,z3=2-mi(a,m∈R),+z2是纯虚数.
(1)求实数a的值;
(2)若Z1,Z2,Z3三点共线,求实数m的值.
9.(2022河北邯郸期中)在①z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,②z>0,③z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-9)i(m∈R).
(1)若 ,求m的值;
(2)若z0=z+5m-3,且|z0|=6,求|z0-(sin θ+icos θ)|(θ∈R)的最大值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 由题意得解得故选A.
2.C 由题意得z2=-3+4i,所以z1+z2=3+4i+(-3+4i)=8i,故选C.
3.A 由已知得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i,因为z1+z2为实数,所以3+b=0,即b=-3.
因为z1-z2为纯虚数,所以即a=-4且b≠3,
综上可知所以a+b=-7.故选A.
4.答案 -3
解析 由已知得z=2-(3-2i)=-1+2i,实部为-1,虚部为2,
则z的实部和虚部的差为-3.
5.答案 5
解析 |(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
6.A m(3-i)+(2+i)=(3m+2)+(1-m)i,
又∵-0,1-m>0,
∴复数m(3-i)+(2+i)在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
7.D 在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的点的坐标分别为(3,-1),(-1,2),则两点间的距离为=5.
8.AC 由复数的几何意义,知复数3+2i,1+i在复平面内对应的点分别为(3,2),(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离,故A正确,B错误;易得(3+2i)-(1+i)=2+i,因为2+i在复平面内对应的点为(2,1),所以|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|可表示点(2,1)到原点的距离,故C正确,D错误.
9.B 由题图可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,所以|z1+z2|=.
10.B 令z=x+yi,x,y为实数,
由|z-1|=|z+i|得=,化简得y=-x,
所以|z-1|====,
因此当x=时,|z-1|取得最小值,为.
故选B.
11.答案 4
解析 复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),
由题意得=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
12.答案 5
解析 ∵复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,
∴向量,,对应的复数分别为-1+2i,1-i,3-2i,∴=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),
∵=x+y,
∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1),∴
解得故x+y=5.
13.解析 (1)在复平面内,对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.
(2)由(1)得,||=,||=,||==2,
∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.
(3)由(2)得,△ABC的面积为××2=2.
能力提升练
1.AD 易知A正确;对于B,若z1-z2=0,则z1=z2,但z2与不一定相等,故B错误;对于C,若z1+z2∈R,则z1与z2不一定互为共轭复数,例如:3-2i与4+2i的和属于R,但3-2i和4+2i不是共轭复数,故C错误;对于D,若z1-z2=0,则z1=z2,∴z1与互为共轭复数,故D正确.故选AD.
2.C 由z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立,故2x+4y的最小值为4.故选C.
3.C 由已知得eiθ-3=cos θ-3+isin θ,故|eiθ-3|==,
又cos θ∈[-1,1],所以∈[2,4],故|eiθ-3|的最小值为2.故选C.
4.答案
解析 由已知得z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得
所以z1=3-2i,z2=-2+i,
所以z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.
5.B ∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,
∴由复数的几何意义知点P到A,B,C三点的距离相等,即P为△ABC的外心,
如图,过点P作PM⊥AB交AB于点M,作PN⊥AC交AC于点N,
又∵P为△ABC的外心,
∴M,N分别为AB,AC的中点,
则·=·(-)=·-·=||·||cos∠PAC-||·||cos∠PAB=||·||-||·||=×5-2×4=.故选B.
6.ACD 易知A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,故B错误;设z=x+yi(x,y∈R),将其代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得 y=x,即点Z在直线y=x上,故C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0、Z之间的距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.
7.答案
解析 设z1,z2,z1+z2在复平面内对应的向量分别为,,,如图所示,
|z1|=||=1,|z2|=||=1,|z1+z2|=||=1,|z1-z2|=||.
由图知,||=||=||=1,
∴∠OZ1Z3=60°,∠Z1OZ2=120°.
在△OZ1Z2中,由余弦定理,得||2=||2+||2-2||·||cos 120°=1+1-2×1×1×=3,
∴||=,即|z1-z2|=.
8.解析 (1)由题意可得=a2+(a-2)i,则+z2=a2-1+(1-a)i,
因为复数+z2是纯虚数,所以解得a=-1.
(2)由(1)可得z1=1+3i,z2=-1+5i,则点Z1(1,3),Z2(-1,5),Z3(2,-m),
所以=(-2,2),=(1,-m-3),
因为Z1,Z2,Z3三点共线,所以∥,
所以(-2)×(-m-3)=2×1,所以m=-2.
9.解析 (1)选择①,z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,则m2-5m+6-(m2-9)=0,解得m=3.
选择②,z>0,则解得m=-3.
选择③,z为纯虚数,则解得m=2.
(2)因为z0=z+5m-3=(m2+3)+(m2-9)i,
且|z0|=6,所以(m2+3)2+(m2-9)2=72,
所以m2=3,
所以z0=6-6i.
因为|sin θ+icos θ|=1,
所以sin θ+icos θ在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上,
所以|z0-(sin θ+icos θ)|表示点(6,-6)与圆上的点之间的距离,故最大值为6+1.
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第十章 复数
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
基础过关练
题组一 复数的加、减运算
1.(2024山东省实验中学月考)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
2.(2022江苏南京师大附中月考)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=3+4i,则z1+z2=( )
A.-6 B.6 C.8i D.-8i
3.(2024河南郑州外国语学校月考)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=( )
A.-7 B.7 C.-1 D.1
4.已知复数z满足z+(3-2i)=2,则z的实部和虚部的差为 .
5.计算:|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= .
题组二 复数加、减法的几何意义
6.(2024湖南师范大学附属中学月考)已知m∈R,i是虚数单位,当-
C.第三象限 D.第四象限
7.在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的点之间的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(多选题)(2022天津耀华中学期中)|(3+2i)-(1+i)|可表示( )
A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离
C.点(2,1)到原点的距离
D.点(2,2)到原点的距离
9.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=( )
A.1 B. C.2 D.3
10.(2024江苏常州调研测试)若复数z满足|z-1|=|z+i|,则|z-1|的最小值为( )
A. B. C.1 D.
11.(2024北京清华大学附中期末)已知复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
12.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y= .
13.在复平面内,A,B,C三点所对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,其中i为虚数单位.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
能力提升练
题组一 复数加、减运算
1.(多选题)(2022山东潍坊期中)给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
2.(2024北京第八十中学月考)复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2 B.4 C.4 D.16
3.(2024吉林长春外国语学校月考)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,则|eiθ-3|的最小值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2022天津南开中学期末)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|= .
题组二 复数加、减法的几何意义
5.(2023广西钦州月考)在复平面内,△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,AB=4,AC=5,点P为△ABC所在平面内一点,其对应的复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则·=( )
A.-3 B. C.6 D.10
6.(多选题)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是( )
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D.点P0与z在复平面内对应的点Z之间的距离的最小值为
7.已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,则|z1-z2|= .
8.(2024安徽合肥中国科学技术大学附属中学月考)在复平面内,已知O为坐标原点,向量,,分别对应复数z1,z2,z3,且z1=a2+(2-a)i,z2=-1+(3-2a)i,z3=2-mi(a,m∈R),+z2是纯虚数.
(1)求实数a的值;
(2)若Z1,Z2,Z3三点共线,求实数m的值.
9.(2022河北邯郸期中)在①z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,②z>0,③z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-9)i(m∈R).
(1)若 ,求m的值;
(2)若z0=z+5m-3,且|z0|=6,求|z0-(sin θ+icos θ)|(θ∈R)的最大值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 由题意得解得故选A.
2.C 由题意得z2=-3+4i,所以z1+z2=3+4i+(-3+4i)=8i,故选C.
3.A 由已知得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i,因为z1+z2为实数,所以3+b=0,即b=-3.
因为z1-z2为纯虚数,所以即a=-4且b≠3,
综上可知所以a+b=-7.故选A.
4.答案 -3
解析 由已知得z=2-(3-2i)=-1+2i,实部为-1,虚部为2,
则z的实部和虚部的差为-3.
5.答案 5
解析 |(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
6.A m(3-i)+(2+i)=(3m+2)+(1-m)i,
又∵-
∴复数m(3-i)+(2+i)在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
7.D 在复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应的点的坐标分别为(3,-1),(-1,2),则两点间的距离为=5.
8.AC 由复数的几何意义,知复数3+2i,1+i在复平面内对应的点分别为(3,2),(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离,故A正确,B错误;易得(3+2i)-(1+i)=2+i,因为2+i在复平面内对应的点为(2,1),所以|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|可表示点(2,1)到原点的距离,故C正确,D错误.
9.B 由题图可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,所以|z1+z2|=.
10.B 令z=x+yi,x,y为实数,
由|z-1|=|z+i|得=,化简得y=-x,
所以|z-1|====,
因此当x=时,|z-1|取得最小值,为.
故选B.
11.答案 4
解析 复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),
由题意得=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
12.答案 5
解析 ∵复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,
∴向量,,对应的复数分别为-1+2i,1-i,3-2i,∴=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),
∵=x+y,
∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1),∴
解得故x+y=5.
13.解析 (1)在复平面内,对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.
(2)由(1)得,||=,||=,||==2,
∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.
(3)由(2)得,△ABC的面积为××2=2.
能力提升练
1.AD 易知A正确;对于B,若z1-z2=0,则z1=z2,但z2与不一定相等,故B错误;对于C,若z1+z2∈R,则z1与z2不一定互为共轭复数,例如:3-2i与4+2i的和属于R,但3-2i和4+2i不是共轭复数,故C错误;对于D,若z1-z2=0,则z1=z2,∴z1与互为共轭复数,故D正确.故选AD.
2.C 由z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立,故2x+4y的最小值为4.故选C.
3.C 由已知得eiθ-3=cos θ-3+isin θ,故|eiθ-3|==,
又cos θ∈[-1,1],所以∈[2,4],故|eiθ-3|的最小值为2.故选C.
4.答案
解析 由已知得z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得
所以z1=3-2i,z2=-2+i,
所以z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.
5.B ∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,
∴由复数的几何意义知点P到A,B,C三点的距离相等,即P为△ABC的外心,
如图,过点P作PM⊥AB交AB于点M,作PN⊥AC交AC于点N,
又∵P为△ABC的外心,
∴M,N分别为AB,AC的中点,
则·=·(-)=·-·=||·||cos∠PAC-||·||cos∠PAB=||·||-||·||=×5-2×4=.故选B.
6.ACD 易知A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,故B错误;设z=x+yi(x,y∈R),将其代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得 y=x,即点Z在直线y=x上,故C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0、Z之间的距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.
7.答案
解析 设z1,z2,z1+z2在复平面内对应的向量分别为,,,如图所示,
|z1|=||=1,|z2|=||=1,|z1+z2|=||=1,|z1-z2|=||.
由图知,||=||=||=1,
∴∠OZ1Z3=60°,∠Z1OZ2=120°.
在△OZ1Z2中,由余弦定理,得||2=||2+||2-2||·||cos 120°=1+1-2×1×1×=3,
∴||=,即|z1-z2|=.
8.解析 (1)由题意可得=a2+(a-2)i,则+z2=a2-1+(1-a)i,
因为复数+z2是纯虚数,所以解得a=-1.
(2)由(1)可得z1=1+3i,z2=-1+5i,则点Z1(1,3),Z2(-1,5),Z3(2,-m),
所以=(-2,2),=(1,-m-3),
因为Z1,Z2,Z3三点共线,所以∥,
所以(-2)×(-m-3)=2×1,所以m=-2.
9.解析 (1)选择①,z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,则m2-5m+6-(m2-9)=0,解得m=3.
选择②,z>0,则解得m=-3.
选择③,z为纯虚数,则解得m=2.
(2)因为z0=z+5m-3=(m2+3)+(m2-9)i,
且|z0|=6,所以(m2+3)2+(m2-9)2=72,
所以m2=3,
所以z0=6-6i.
因为|sin θ+icos θ|=1,
所以sin θ+icos θ在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上,
所以|z0-(sin θ+icos θ)|表示点(6,-6)与圆上的点之间的距离,故最大值为6+1.
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