2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--10.2.2　复数的乘法与除法

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十章　复数
10.2.2　复数的乘法与除法
基础过关练
题组一　复数的乘、除运算
1.已知复数z=2-i,则z的值为(　　)
A.5　　　　B.　　　　C.3　　　　D.
2.(2024山东泰安宁阳第一中学月考)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于　　(　　)
A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限
3.(2024辽宁鞍山第六中学第二次质量检测)已知复数z=为纯虚数,则实数m的值为(　　)
A.-1　　　　B.-4　　　　C.1　　　　D.4
4.(2023浙江衢州期末联考)高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样“代数化”.若复数z满足z·(1+2i)=3+i,则|z|=　　　　.
5.(2022江西上饶期末)已知复数z1满足(z1-2)·(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,则z2=　　　　.
6.计算:
(1)(1+i);
(2).
题组二　复数的乘方运算及虚数单位i的周期性
7.(2024山东菏泽一模)已知复数z满足z(1+i)=i2 024(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-i　　　　D.
8.(多选题)(2023湖南衡阳月考)已知i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　)
A.i+i2+i3+i4=0 B.3+i>1+i
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2 D.复数-2-i的虚部为-1
9.若z=-,则z100+z50+1=　　　　.
题组三　实系数一元二次方程在复数范围内的解集及应用
10.(2022安徽阜阳期末)已知复数1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则|p+qi|=(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.8　　　　D.2
11.(多选题)(2022湖北八市联考)对于方程x3=1,它的两个虚数根分别为(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
12.(2024浙江精诚联盟联考)(1)已知m∈R,若复数z=(m+i)(-2+mi)为实数,求m的值;
(2)已知复数z满足z+||=8+4i,若复数z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,求b+c的值.
能力提升练
题组一　复数的乘、除运算
1.(2022山东聊城期末)若复数z=(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则a=(　　)
A.1　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.-2
2.(2022重庆巴蜀中学期中)设复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,则=(　　)
A.4-3i或-4+3i　　　　B.4+3i或-4-3i
C.4-3i　　　　D.-4+3i
3.(2024陕西西安第三十八中学二模)已知复数z=+mi+m(m∈R,i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限内,则(　　)
A.m<-1或m>2　　　　B.14.(2023广东深圳期末)设复数z满足z·(1+2i)=|-3+4i|,则的虚部为(　　)
A.-2i　　　　B.2i　　　　C.-2　　　　D.2
5.(多选题)(2024山东泰安宁阳第一中学月考)已知复数z1,z2,下列结论正确的有(　　)
A.=+ B.若z1z2=0,则z1=z2=0
C.|z1z2|=|z1||z2| D.若=1,则z1=
6.(1+i)20-(1-i)20的值等于　　　.
7.设x,y为实数,且+=,则x+y=　　　　.
8.(2024广东潮州饶平第二中学月考)在复平面内,复数z对应的点的坐标为(m,-1)(m∈R),且·(1+3i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求m的值;
(2)复数z2=在复平面内对应的点在第一象限内,求实数a的取值范围.
题组二　实系数一元二次方程在复数范围内的解集及应用
9.(多选题)(2024山东菏泽第一中学月考)设α,β是关于x的方程2x2+px+q=0的两个根,其中p,q∈R.若α=2i-3(i为虚数单位),则(　　)
A.β=2i+3　　　　B.p+q=38
C.α+β=-6　　　　D.|α|+|β|=2
10.(多选题)复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z2-4bz是实数,则有序实数对(a,b)可以是(　　)
A.(2,1)　　　　B.(2,2)　　　　C.(4,2)　　　　D.(8,4)
11.(2022上海交大附中月考)对任意一个非零复数z,定义集合Mz={w|w=zn,n∈N}.
(1)设z是方程x+=0的一个根,试用列举法表示集合Mz;
(2)若集合Mz中只有3个元素,试写出满足条件的一个z.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.
2.A　因为===+i,
所以复数在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选A.
3.思路分析　根据复数除法运算可化简z,由纯虚数定义可构造方程组求得结果.
D　z====-,因为z为纯虚数,
所以解得m=4.故选D.
4.答案　
解析　∵z·(1+2i)=3+i,
∴z====1-i,
∴|z|==.
5.答案　4+2i
解析　因为(z1-2)(1+i)=1-i,所以z1=+2=+2=2-i.设z2=a+2i(a∈R),则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,又z1z2是实数,所以a=4,所以z2=4+2i.
6.解析　(1)(1+i)
=(1+i)
=(1+i)
=+i
=-+i.
(2)======1-i.
7.A　由z(1+i)=i2 024得z====,故复数z的虚部为-.故选A.
8.AD　对于A,由虚数的运算性质,可得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故A正确;
对于B,虚数不能比较大小,故B错误;
对于C,当z=i时,|z|2=1,z2=-1,此时|z|2≠z2,故C错误;
对于D,根据复数的概念可知,复数-2-i的虚部为-1,故D正确.故选AD.
9.答案　-i
解析　∵z2==-i,
∴z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=(-i)2+(-i)+1=-i.
10.D　解法一:因为复数1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,
所以(1+i)2+p(1+i)+q=0,即p+q+(p+2)i=0,
所以解得p=-2,q=2,
所以|p+qi|==2.故选D.
解法二:因为复数1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,
所以复数1-i也是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,
所以1+i+1-i=2=-p,(1+i)(1-i)=2=q,
解得p=-2,q=2,所以|p+qi|==2.
故选D.
11.CD　∵x3=1,∴(x-1)(x2+x+1)=0,即x=1或x2+x+1=0,解方程x2+x+1=+=0,可得x+=±,解得x1=,x2=.故选CD.
12.解析　(1)因为z=(m+i)(-2+mi)=-3m+(m2-2)i为实数,
所以m2-2=0,解得m=±.
(2)设z=a+4i,a∈R,则=a-4i.由题意得a+4i+=8+4i,所以a+=8,
所以a=3,所以z=3+4i,将z=3+4i代入x2+bx+c=0,得(3+4i)2+3b+4bi+c=0,
即3b+c-7+(4b+24)i=0,所以
所以所以b+c=19.
能力提升练
1.A　z===-i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为,由题意可得=0,解得a=1.故选A.
2.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=5,由已知得(3+4i)×(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i是纯虚数,所以解得b=a,因此有a2+=25,解得a=±4,所以或即z=4+3i或z=-4-3i,所以=4-3i或=-4+3i.
3.C　z=+mi+m=+mi+m=m-2+(m+1)i,
因为复数z对应的点位于第二象限,所以解得-14.D　由z·(1+2i)=|-3+4i|,得z====1-2i,故=1+2i,则的虚部为2,故选D.
5.ACD　设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
对于A,=(a+c)-(b+d)i,+=(a+c)-(b+d)i,故A正确;
对于B,因为z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,
所以则a=b=0或c=d=0,
所以z1,z2中至少有一个为0,即z1=0或z2=0,故B不正确;
对于C,由复数模的运算性质可知,
|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|=
=,
|z1||z2|=·=,
所以|z1z2|=|z1||z2|,故C正确;
对于D,由z1=a+bi,得=(a+bi)·(a+bi)=a2-b2+2abi=1,
可得解得即z1=±1,
所以z1==±1,故D正确.
故选ACD.
6.答案　0
解析　(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
7.答案　4
解析　将原式的分母实数化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),
即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),
即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,
利用复数等于0的充要条件,得
解得所以x+y=4.
8.解析　(1)由题意得,复数z=m-i(m∈R),
所以=m+i(m∈R),
则·(1+3i)=(m+i)·(1+3i)=m-3+(3m+1)i,
因为·(1+3i)为纯虚数,所以解得m=3.
(2)由(1)知z=3-i,故复数z2===+i,
因为复数z2在复平面内对应的点在第一象限内,
所以解得a>3.
9.BCD　因为α,β是关于x的方程2x2+px+q=0的两个根,p,q∈R且α=2i-3,
所以β=-2i-3,
所以α+β=(2i-3)+(-2i-3)=-6=-,所以p=12,
α·β=(2i-3)·(-2i-3)=13=,所以q=26,
则p+q=38,故A错误,B,C正确;
|α|+|β|=+=2,故D正确.故选BCD.
10.ACD　∵z2-4bz=z(z-4b)=(a+bi)(a-4b+bi)=a2-4ab+abi+abi-4b2i-b2=(a2-4ab-b2)+(2ab-4b2)i是实数,
∴2ab-4b2=0,
∴2b(a-2b)=0.
∵b≠0,∴a=2b.
结合选项知,(a,b)可以为(2,1)或(4,2)或(8,4).
故选ACD.
11.解析　(1)由已知得z是方程x2+1=0的根,故z=i或z=-i.
无论z=i或z=-i,
都有Mz={i,i2,i3,i4}={i,-1,-i,1}.
(2)取z=-+i,则z2=--i,z3=1,于是Mz={z,z2,z3},满足题意.(说明:只需写出一个正确答案)
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