2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题(含解析)--10.3 复数的三角形式及其运算

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名称 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题(含解析)--10.3 复数的三角形式及其运算
格式 docx
文件大小 292.7KB
资源类型 试卷
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-11-03 11:04:57

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文档简介

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十章 复数
*10.3 复数的三角形式及其运算
基础过关练
题组一 复数的三角形式与辐角主值
1.(2024福建永春第一中学月考)复数z=-sin+icos的辐角主值为(  )
A.    B.    C.    D.
2.复数-+i化成三角形式为    .
3.复数z=-1+的辐角主值为    .
4.下列各式是不是三角形式 若不是,化为三角形式.
(1)z1=-2(cos θ+isin θ);
(2)z2=cos θ-isin θ;
(3)z3=-sin θ+icos θ;
(4)z4=-sin θ-icos θ;
(5)z5=cos 60°+isin 30°.
题组二 复数三角形式的乘、除运算
5.已知i为虚数单位,z1=(cos 60°+isin 60°),z2=2(sin 30°-icos 30°),则z1z2= (  )
A.4(cos 90°+isin 90°)    B.4(cos 30°+isin 30°)
C.4(cos 30°-isin 30°)    D.4(cos 0°+isin 0°)
6.(2024江苏徐州第七中学月考)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](n∈Z),我们称这个结论为棣莫弗定理.则=(  )
A.1    B.22 022    C.-22 022    D.i
7.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是(  )
A.±i    B.-±i C.±+i    D.±-i
8.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β,则α+β等于(  )
A.135°    B.315°     C.675°    D.585°
9.计算:=    .
题组三 复数乘、除法的几何意义及应用
10.(2022上海建平中学期末)设复数z满足条件arg z∈,则在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限  B.第二象限 C.第三象限   D.第四象限
11.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,设O是坐标原点,向量=,将绕O点顺时针旋转得到向量,则点B的坐标是    .
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 因为-sin<0,cos>0,
所以z=-sin+icos的辐角主值为arctan+π=-+π=π.故选C.
2.答案 2
解析 如图,
∵=2,cos θ=-,∴θ=,
∴-+i=2.
3.答案 
解析 因为=i,所以=i2 021=i,
所以z=-1+i=,
所以复数z的辐角主值为.
4.解析 (1)由“模非负”知,不是三角形式.
z1=-2(cos θ+isin θ)=2(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].
(2)由“加号连”知,不是三角形式.
z2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ).
(3)由“余弦前”知,不是三角形式.
z3=-sin θ+icos θ=cos+isin.
(4)不是三角形式.
z4=-sin θ-icos θ=cos+isin.
(5)不是三角形式.
z5=cos 60°+isin 30°=+i=(1+i)=.
方法点拨 由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向时,可按照如下步骤进行:首先确定复数z在复平面内对应的点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角,此步骤可简称为“定点→定名→定角”,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率.
5.D ∵z2=2(sin 30°-icos 30°)=2(cos 300°+isin 300°),∴z1z2=(cos 60°+isin 60°)×2(cos 300°+isin 300°)=4(cos 360°+isin 360°)=
4(cos 0°+isin 0°),故选D.
6.B 1-i=2=2,
∴=22 022[cos(-674π)+isin(-674π)]=22 022.故选B.
7.D ∵-i=cos+isin,∴-i的立方根为cos+isin(其中k=0,1,2).
当k=0时,得cos+isin=i;
当k=1时,得cos+isin=--i;
当k=2时,得cos+isin=-i.故选D.
8.C (2-i)(3-i)=(cos α+isin α)×(cos β+isin β)=5[cos(α+β)+isin(α+β)].
(2-i)(3-i)=5-5i=5[cos(315°+k·360°)+isin(315°+k·360°)](k∈Z),
故α+β=315°+k·360°(k∈Z).
∵α,β分别为复数2-i和3-i的辐角主值,
∴270°<α<360°,270°<β<360°,
∴540°<α+β<720°,∴α+β=675°.
9.答案 -i
解析 原式=

==
=-i.
10.D 设z=r(cos θ+isin θ),θ∈,
则z2=r2(cos 2θ+isin 2θ),
所以=(cos 2θ+isin 2θ).
因为θ∈,所以2θ∈,
所以cos 2θ>0,sin 2θ<0,
所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
11.答案 
解析 设向量对应的复数是z,则z=-3cos+3isin=3,
所以对应的复数是z·=3·,
=3=-+i,
所以B的坐标是.
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