2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.1.1　空间几何体与斜二测画法

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章　立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.1　空间几何体与斜二测画法
基础过关练
题组一　空间几何体的还原与展开
1.(2024贵州六盘水联考)下面的四个长方体中,是由图中纸板围成的是(　　)
　　　　　　　　　　　　
2.(2022福建三明期末)下列四个平面图形中,每个小四边形都是正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠成一个正方体的是(　　)
题组二　水平放置的平面图形的直观图的画法
3.(2023山东东营一中阶段检测)用斜二测画法画水平放置的图形的直观图,下列说法错误的是　　(　　)
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.90°的角的直观图会变为45°的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考)△ABC按斜二测画法得到△A'B'C',如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.腰和底边不相等的等腰三角形
D.钝角三角形
5.画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图.
题组三　平面图形的直观图的有关计算
6.(2023河北邯郸阶段检测)平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,其中O'C'⊥x'轴,A'B'⊥x'轴,B'C'∥y'轴,O'A'=O'C'=1,则四边形OABC的面积为(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.3　　　　D.
7.(2024浙江浙南名校联盟联考)如图,某四边形ABCD的直观图是正方形A'B'C'D',且O'A'=O'C'=1,则原四边形ABCD的周长等于(　　)
A.2　　　　B.2+2　　　　
C.4　　　　D.4+4
8.(2022河北定州期中)如图,△A'B'C'表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=2,则△ABC的边AB上的高为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.8
9.(2022山东济宁邹城期中)如图,△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,A'D'=2,B'C'=2,则(　　)
A.AD的长度大于AC的长度
B.BC的长度等于AD的长度
C.△ABC的面积为1
D.△A'B'C'的面积为
10.(2024上海新中高级中学期中)若正方形的边长为1,用斜二测画法所得直观图的面积为　　　　.
11.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形OABC的直观图,其中O'A'=6,O'C'=3,B'C'∥x'轴,则原平面图形OABC的面积为　　　　.
12.(2022广东广州期中)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,由斜二测画法画出这个梯形水平放置时的直观图O'A'B'C',则在直观图中梯形的高为　　　　.
13.已知坐标原点O为AC的中点,且点A、C在x轴上,等边三角形ABC的面积为,将△ABC水平放置,用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C',则点B'到A'C'的距离为　　　　.
题组四　空间几何体的直观图
14.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例尺画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
15.几何体的展开图如图所示,沿图中虚线将它折叠起来,请画出其直观图.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　由长方体的展开图可得符合的长方体为D.
故选D.
2.C　观察四个选项中的图形,易得C选项符合“231”型,即可以沿相邻正方形的公共边折叠成一个正方体.
3.B　对于A,由斜二测画法的特点知,相交直线的直观图仍是相交直线,因此三角形的直观图仍是一个三角形,故A中的说法正确;对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角,故B中的说法错误;对于C,D,由斜二测画法的特点知,C,D中的说法显然正确.故选B.
4.A　原△ABC如图所示:
由斜二测画法的规则可知,BO=CO=1,AO=,AO⊥BC,所以AB=BC=AC=2,故△ABC为等边三角形.
故选A.
5.解析　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示.
(2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.
(3)所得四边形O'B'C'D'就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图.如图③.
6.B　设y'轴与A'B'的交点为D,因为O'C'⊥x'轴,A'B'⊥x'轴,所以O'C'∥A'B',又B'C'∥y'轴,所以四边形O'DB'C'为平行四边形,所以DB'=O'C'=1,
又∠x'O'y'=45°,A'B'⊥x'轴,所以DA'=O'A'=1,故A'B'=2,则四边形A'B'C'O'的面积为×(1+2)×1=,因为四边形A'B'C'O'的面积是四边形OABC的面积的倍,所以四边形OABC的面积为3.故选B.
7.D　因为O'A'=O'C'=1,所以B'C'=,
结合直观图的特征,可得原图如下,
因为直观图中B'C'=,且B'C'与y轴平行,
所以原图中BC=2,且BC与y轴平行,
因为AC=2,所以AB==2,
由直观图的性质可知,原图中四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD的周长等于4+4.故选D.
8.D　解法一:过点C'作x'轴的平行线,交y'轴于点D',作D'E'⊥x'轴,垂足为E',如图1所示,则D'E'=B'C'=2,O'D'=D'E'=4,由斜二测画法的特点可知,D'对应的点在y轴上,且OD=8,所以△ABC的边AB上的高为8.
解法二:过点C'作y'轴的平行线,交x'轴于点D',如图2所示,则C'D'=B'C'=4,由斜二测画法的特点知,与y'轴平行的线段,长度为原来的一半,所以△ABC的边AB上的高为2×4=8.故选D.
9.D　△ABC如图所示,对于A,AD⊥BC,则有AC>AD,故A错误;对于B,BC=B'C'=2,AD=2A'D'=4,故B错误;对于C,△ABC的面积S=×BC×AD=4,故C错误;对于D,△A'B'C'的面积S'=S△ABC=,故D正确.故选D.
10.答案　
解析　由已知得S原图=1×1=1,故S直观图=S原图=.
11.答案　36
解析　由题易得原平面图形 OABC为平行四边形.在直观图中,设B'C'与y'轴的交点为D',则易得O'D'=3,所以在平行四边形OABC中,OA=O'A'=6,OD=2O'D'=6,所以其面积为6×6=36.
12.答案　
解析　根据斜二测画法得水平放置的梯形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,
易知原图形中梯形的高CD=2,所以在直观图中C'D'=1,过C'作C'E'⊥x'轴于点E',易知∠C'D'E'=45°,所以C'E'=C'D'·sin 45°=.
13.答案　
解析　等边三角形ABC在平面直角坐标系中的图形如图①所示,且BO⊥OA.以O'为原点画出水平放置的△ABC的直观图如图②所示,过点B'作B'D⊥x'轴,垂足为D.
因为等边三角形ABC的面积为,所以它的边长为2,则BO=,B'O'=,
又∠A'O'B'=45°,所以B'D=,
则点B'到A'C'的距离为.
14.C　由比例尺可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法可知,直观图中的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.故选C.
15.解析　由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.
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