2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.1.4　棱锥与棱台

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章　立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.4　棱锥与棱台
基础过关练
题组一　棱锥的结构特征
1.(2024辽宁营口月考)下列描述中,不是棱锥几何结构特征的是(　　)
A.三棱锥有4个面是三角形
B.棱锥的侧面都是三角形
C.棱锥都有两个互相平行的多边形面
D.棱锥的侧棱交于一点
2.(2023浙江宁波期中)若一个正棱锥的各侧棱长和底面边长均相等,则该棱锥一定不是(　　)
A.正三棱锥　　　　B.正四棱锥
C.正五棱锥　　　　D.正六棱锥
3.(2024河北唐山期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取4个点,能构成正三棱锥的个数为(　　)
A.16　　　　B.12　　　　C.10　　　　D.8
题组二　棱台的结构特征
4.(多选题)(2024山东日照月考)棱台具备的特点有　　(　　)
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
5.下面几何体中,是棱台的是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
6.下列说法中,正确的个数是(　　)
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱;
②由若干个平面多边形所围成的封闭几何体是多面体;
③仅有一组对面平行的五面体是棱台.
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
7.(多选题)(2022河北石家庄质检)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,则(　　)
A.“羡除”有且仅有两个面为三角形
B.“羡除”一定不是台体
C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”
D.“羡除”至多有两个面为梯形
8.一个几何体的表面展开图如图所示,该几何体中与“数”字面相对的是“　　　　”字面.
题组三　与棱锥、棱台有关的计算
9.(2024广东东莞虎门外语学校月考)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=2,S△ABC=1,∠BAC为锐角,侧棱PA=PB=PC=2,一只小虫从A点出发,绕棱锥侧面爬行一周后回到A点,则小虫爬行的最短距离为(　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.-　　　　D.+
10.(2022北京延庆期末)如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知下底面ABC的边长为6,上底面A1B1C1的边长和侧棱长都为3,则正三棱台的高为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
11.(2024四川部分名校期中联考)下图是某同学绘制的素描作品,图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成,正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面,正四棱锥的侧棱长为3,底面边长为6,正四棱柱的底面边长为2,A,B,C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点,则BC=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.
12.(2024上海洋泾中学期中)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围为(　　)
A.(0,+)　　　B.(1,2) C.(1,+)　　　D.(0,2)
13.已知正三棱锥S-ABC的高是10 cm,底面△ABC的面积是12 cm2,求正三棱锥的侧棱长.
题组四　棱锥、棱台的表面积
14.(2024湖南岳阳湘阴第二中学期中)正方体的八个顶点中,有四个恰好为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
15.(2024安徽池州第一中学联合检测)如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器,从形状上可抽象成一个正四棱台.现有一个上、下底面边长分别为20 cm和10 cm,侧棱长为15 cm的“升”,则这个“升”的侧面积为　　　　cm2.
16.(2021江西景德镇一中期末)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,截去的小棱锥的侧棱长为2,求此棱台的表面积.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　根据棱锥的几何结构,可得三棱锥有4个面是三角形,所以A正确;
根据棱锥的定义,可得棱锥的侧面都是三角形,所以B正确;
根据棱锥的定义,可得棱锥没有两个互相平行的多边形面,所以C错误;
根据棱锥的定义,可得棱锥的侧棱交于一点,所以D正确.故选C.
2.D　因为正六边形的顶点到中心的距离等于边长,所以正六棱锥的棱长必定大于底面边长,故选D.
3.C　以A为顶点,可知三棱锥A-A1BD为正三棱锥,同理,三棱锥B-AB1C,三棱锥C-BC1D,三棱锥D-ACD1,三棱锥A1-AB1D1,三棱锥B1-A1BC1,三棱锥C1-B1CD1,三棱锥D1-A1C1D均为正三棱锥,此类三棱锥共有8个;
易知三棱锥A1-BC1D,三棱锥A-B1CD1为正三棱锥,此类三棱锥共有2个,
所以符合条件的正三棱锥的个数为8+2=10.
故选C.
4.ABD　因为棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,所以棱台的两底面相似,侧面都是梯形,侧棱延长后都交于一点.故选ABD.
5.C
6.B　①中,由五个面围成的多面体可以是四棱锥、三棱台,所以①中说法不正确;易知②中说法正确;③中,仅有一组对面平行的五面体还可以是三棱柱,所以③中说法不正确.故选B.
7.ABC　如图所示,AE∥BF∥CD,四边形ACDE为梯形.对于A,由题意可知,“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A正确;对于B,由于AE∥BF∥CD,所以“羡除”一定不是台体,故B正确;对于C,假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形,则AE∥BF∥CD,且AE=BF=CD,则四边形ACDE为平行四边形,与已知的四边形ACDE为梯形矛盾,故不存在,故C正确;对于D,若AE≠BF≠CD,则“羡除”至多有三个面为梯形,故D错误.故选ABC.
8.答案　学
解析　把展开图还原得到一个三棱台,“数”“学”所在的两个平面分别为上、下底面,所以与“数”字面相对的是“学”字面.
9.D　根据题意,得S△ABC=AB·AC·sin A=1,可得sin A=,又0°易知△ABC≌PBC,故∠CPB=30°,
又△PAB,△PAC为正三角形,所以∠APB=∠APC=60°.
将三棱锥沿侧棱PA展开,得到如图所示的多边形,其中∠APA'=60°+60°+30°=150°,连接AA',易知|AA'|即为所求最短距离.
根据余弦定理,得AA'==+.故选D.
10.C　如图,将正三棱台还原为正三棱锥,顶点为P.由相似关系可知,三棱锥P-A1B1C1的棱长都是3,设点P在底面A1B1C1内的射影为O,则点O是△A1B1C1的中心,连接PO,A1O,则A1O=×=,所以PO==,根据相似关系可知,正三棱台的高是.故选C.
11.C　过点B,C作垂直于正四棱锥底面的截面,如图所示,
由题意可得DE=3,
因为正四棱锥的底面边长为6,所以EF=6,DG==6,
HI的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度,即HI=4,JA'=2,
易知△DHA'∽△DEG,则=,所以DA'=4,DJ=2,
易知△DBJ∽△DHA',则=,所以BJ=1,BC=2.
故选C.
12.A　根据两根长都为a的直铁条的相对位置,将底面三角形的三边长分为两种情况:
①当底面是边长为2的正三角形,三条侧棱长分别为2,a,a,即两根长都为a的直铁条相邻时,
如图,AB=AC=BC=SA=2,SB=SC=a,
取BC的中点D,连接SD,AD,
易得AD=,SD=,
在△ADS中,由|SA-AD|②当底面三角形的边长分别为a,2,2,三条侧棱长分别为a,2,2,即两根长都为a的直铁条不相邻时,
如图,SC=AB=a,SA=SB=CA=CB=2,
取AB的中点D,连接SD,CD,
由△ABS,△ABC为等腰三角形,得SD=CD=,
在△SCD中,由SD+CD>SC,得2>a,所以0综上所述,a的取值范围是(0,+),
故选A.
13.解析　如图所示,过点S作SO⊥底面ABC,垂足为O,则SO=10 cm,
∵S△ABC=12 cm2,∴BC=4 cm.
连接CO并延长交AB于点D,
易知O为△ABC的中心,
∴OC=CD=××4=4(cm).
在Rt△SOC中,SC===2(cm),即正三棱锥的侧棱长为2 cm.
14.B　设正方体的棱长为a,此时正四面体的棱长为a,则正方体的表面积为6a2,正四面体的表面积为4××sin=2a2,
故正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为=,故选B.
15.答案　600
解析　如图,画出这个“升”的示意图,易知几何体A1B1C1D1-ABCD是正四棱台,且上、下底面边长分别是20 cm,10 cm,侧棱长为15 cm,
取AB,A1B1的中点,分别记为F,E,连接EF,易知EF为侧面梯形A1B1BA的高.
EF===10(cm).
将各侧面展开,可拼接成一个一条边长为60 cm,另一条边长为15 cm的平行四边形,
该平行四边形的高为10 cm,所以所求面积为10×60=600(cm2).
16.解析　如图,
由题意可知,截面四边形A1B1C1D1与底面四边形ABCD相似,且面积之比为1∶4,故对应边之比为1∶2,易知△PA1B1∽△PAB,故==,由PA1=2可得PA=PB=4,所以BB1=2,又BC=2,所以B1C1=1.取BC的中点E,连接PE,交B1C1于点E1,则EE1为正四棱台的斜高,可得EE1==.
故此棱台的表面积为1×1+2×2+4××(1+2)×=5+3.
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