2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.1.5　旋转体

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章　立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.5　旋转体
基础过关练
题组一　旋转体的结构特征
1.(2022广西凭祥高级中学质检)下列关于球的说法中,错误的是(　　)
A.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.用一个平面去截一个球得到的截面是圆面
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球
D.球的轴只有1条
2.(2024福建部分优质高中期中)下列说法中错误的是(　　)
A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线
3.(2023黑龙江大兴安岭开学考试)已知直角梯形ABCD,现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
A.一个圆柱、一个圆锥 B.一个圆柱、两个圆锥
C.一个圆台、一个圆柱 D.两个圆柱、一个圆台
4.给出下列说法:
(1)圆柱的底面是圆面;
(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;
(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;
(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.
其中说法正确的是　　　　.(填序号)
题组二　旋转体中的计算
5.(2022江苏无锡期中)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的侧面积为(　　)
A.8π　　　　B.8π　　　　C.12π　　　　D.10π
6.(2024浙江金华第一中学期中)已知侧面积为2π的圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面半径为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.1
7.如果三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A.1倍　　　　B.2倍　　　　C.倍　　　　D.倍
8.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为(　　)
A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.3
9.(2022江苏南通期中)某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看作一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为(　　)
A.20π　　　　B.16π　　　　C.12　　　　D.8
10.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,则该地球仪的半径是　　　　cm.
11.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　.
题组三　组合体中的计算
12.(2024辽宁大连模拟)如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=12 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是(　　)
A.(72+12)π　　　　B.(84+24)π
C.(108+12)π　　　　D.(108+24)π
13.(2023湖北武汉华中师大一附中期末)有一塔形组合体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为4,若该塔形组合体是由7个正方体构成,则该塔形组合体的表面积(含最底层的正方体的底面积)为(　　)
A.127　　　　B.127　　　　C.143　　　　D.159
14.(2022重庆西南大学附中期中)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美.一个棱数为24的半正多面体如图所示,它的所有顶点都在同一个正方体的棱上,且此正方体的棱长为4,则该半正多面体的表面积为　　　　.
15.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.
(1)求以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)求以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积.
16.某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需要加工处理费多少元
能力提升练
题组一　圆柱、圆锥和圆台的相关计算
1.(2024贵州贵阳第六中学一模)如图,这是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,半径为400 m,山高为400 m,B是山坡SA上一点,且AB=400 m.为了发展旅游业,要建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最短时,下坡路段长为(　　)
A.600 m　　　　B.120 m　　　C.720 m　　　　D.120 m
2.(2024江苏南通如皋教学质量调研)如图所示,将圆柱切割成四等份,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积是(　　)
A.10π　　　　B.20π　　　　C.10　　　　D.20
3.(2024河南新乡第一中学二模)设圆台的上、下底面的半径之比为1∶2,侧面积为18π,且上底面半径为质数,则该圆台的母线长为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.6
4.(多选题)(2024河南郑州月考)下图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则(　　)
A.圆锥的母线长为3 B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图的圆心角为60°
D.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行的最短距离为9
5.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点B(B在下底面).
(1)求绳子的最短长度;
(2)当绳子最短时,求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
6.(2023福建福州高级中学月考)已知圆锥PO的底面半径为5,高为12.
(1)求圆锥PO的母线长l;
(2)圆锥PO的内接圆柱OO'的高为h,当h为何值时,内接圆柱OO'的轴截面面积最大 最大值为多少
题组二　球的相关计算
7.一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(　　)
A.3π　　　　B.4π　　　　C.3π　　　　D.6π
8.(2024河南新乡封丘第一中学期中)已知圆锥的底面圆周在球O的球面上,顶点为球心O,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球O的表面积为(　　)
A.12π　　　　B.16π　　　　C.48π　　　　D.96π
9.(2022上海控江中学期中)如图,“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜,其反射面的形状为球冠,球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆为球冠的底,与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高,设某球冠底的半径为r,球冠的高为h,球冠所在球的半径为R(R>h),球冠的底的周长为C.
(1)求球冠所在球的半径R(结果用h,r表示);
(2)已知球冠的表面积公式为S=2πRh,当S=65 000π,C=500π时,求的值及球冠所在球的表面积.
题组三　组合体的相关计算
10.(多选题)(2022山东滨州期末)已知一个等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为(　　)
A.π　　　　B.(1+)π C.2π　　　　D.(2+)π
11.(2022湖南长沙期中)从一个底面半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示,现用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体,则截面图形的面积为　(　　)
A.4π-4　　　　B.4π　　　　C.4π-2　　　　D.2π-2
12.(2024河北石家庄二模)已知正方体的棱长为2,连接正方体各个面的中心得到一个八面体,以正方体的中心O为球心作一个半径为的球,则球O的球面与八面体各面的交线的总长为(　　)
A.2π　　　　B.π　　　　C.π　　　　D.4π
13.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D
2.C　由棱台的结构特征可知,A中说法正确;
由圆台的结构特征可知,B中说法正确;
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是由两个同底圆锥组成的几何体,C中说法错误;
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,D中说法正确.故选C.
3.A
4.答案　(1)(2)
解析　(1)正确,圆柱的底面是圆面;
(2)正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是矩形;
(3)不正确,圆台的任意两条母线延长后都交于一点;
(4)不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
5.A　设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
则2rl=8,所以rl=4,
所以圆柱的侧面积S=2πrl=8π.
故选A.
6.D　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面积为S,
则2π=πl,解得l=2,
又S=πrl=2π,所以r=1,
故选D.
7.C　设最小球的半径为r,由三个球的半径之比为1∶2∶3,得另外两个球的半径分别为2r,3r,所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2,所以=.
8.A　设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.故选A.
9.A　设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr,则r=1,由题意知R2=12+22=5,∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A.
10.答案　4
解析　如图所示,由题意知,地球仪上北纬30°所在小圆的周长为12π cm,则该小圆的半径r=6 cm,
又∠BOC=∠ABO=30°,
所以该地球仪的半径R==4(cm).
11.答案　2∶1
解析　S圆柱=π×2+πa×a=πa2,
S圆锥=π+π××a=πa2,
所以S圆柱∶S圆锥=2∶1.
12.C　由题意可知圆锥的母线长为=2(cm),
所以这个陀螺的表面积是π×62+2π×6×6+π×2×6=(108+12)π cm2.故选C.
13.D　由题意知,该组合体的表面积是最底层正方体的表面积+上面各层正方体的侧面积.由最底层正方体的棱长为4,得该正方体的表面积为6×42=96;自下向上第二层正方体的棱长为2,它的侧面积为4×(2)2=32;自下向上第三层正方体的棱长为2,它的侧面积为4×22=16;自下向上第四层正方体的棱长为,它的侧面积为4×()2=8;自下向上第五层正方体的棱长为1,它的侧面积为4×12=4;自下向上第六层正方体的棱长为,它的侧面积为4×=2;自下向上第七层正方体的棱长为,它的侧面积为4×=1,∴该塔形组合体的表面积为96+32+16+8+4+2+1=159.
14.答案　16+48
解析　由题可得这个半正多面体有12个顶点,14个面,它的所有顶点都在同一个正方体的棱上,且这些顶点是所在棱的中点,如图,
因为正方体的棱长为4,所以这个半正多面体的棱长为2,由图可知这个半正多面体由8个全等的等边三角形和6个全等的正方形组成,
所以这个半正多面体的表面积为8××(2)2+6×(2)2=16+48.
15.解析　(1)以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,母线长DC==13(cm),
所以该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线长DC=13 cm,又圆柱的母线长AD=4 cm,所以该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
16.解析　因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=A2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
又四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=A1+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120(cm2).
于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2),
0.2S=0.2×2 420=484(元),
故需要加工处理费484元.
能力提升练
1.C 2.A 3.B 4.BD 7.A 8.C 10.AB 11.C
12.B
1.C　该圆锥的母线长为=1 600 m,所以=,则圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形,
如图,将圆锥的侧面展开,连接A'B,过点S作A'B的垂线,垂足为H,
由两点之间线段最短,知观光公路最短长度为|A'B|,在Rt△SA'B中,A'B===2 000 m,
记点P为A'B上任一点,连接PS,上坡即P到山顶S的距离PS越来越小,则上坡段的公路为图中的A'H;下坡即P到山顶S的距离PS越来越大,则下坡段的公路为图中的HB,由Rt△SA'B∽Rt△HSB,得HB===720(m).故选C.
2.A　设圆柱的底面半径为r,高为h,依题意可得2rh=10,所以圆柱的侧面积S=2πrh=10π.
故选A.
3.B　设圆台上底面的半径为r,下底面的半径为R,母线为l,则R=2r.
设O1,O分别为圆台上、下底面的圆心,AB为一条母线,连接O1O,O1A,OB,过点A作AD⊥OB于点D,
则四边形OO1AD为矩形,得OD=O1A=r,
所以BD=OB-OD=R-r=r,
圆台的侧面积S=πl(r+R)=18π,
所以l===,
在Rt△ABD中,易知r所以r=2,l=3.
所以圆台的母线长为3.
故选B.
4.BD　设圆锥的母线长为l,则以S为圆心,SA为半径的圆的面积为πl2,圆锥的侧面积为3πl,
如图,沿SA将圆锥的侧面展开,
因为圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥本身滚动了3周(相当于侧面展开了3次),
所以扇形的圆心角为=120°,故C错误;
由πl2=3×3πl,得l=9,所以圆锥的母线长为9,故A错误;
圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π,故B正确;
连接AA',则△ASA'为等腰三角形,
所以|AA'|即为蚂蚁爬行的最短距离,AA'=2×9×sin 60°=9,故D正确.
故选BD.
5.解析　(1)如图所示,画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,设扇形的圆心为O,则绳子的最短长度为侧面展开图中MB'的长度.
设OA=l cm,∠AOA'=n°,
则根据弧长公式得
解得
∴OB'=40 cm,OM=30 cm,∠MOB'=90°,
∴MB'==50(cm),
即绳子的最短长度为50 cm.
(2)作OC⊥MB'于点C,交于点D,
则|DC|即为所求的最短距离.
∵OB'·OM=MB'·OC,
∴OC=24 cm.
故DC=OC-OD=24-20=4(cm),即当绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
6.解析　(1)∵圆锥PO的底面半径为5,高为12,
∴圆锥PO的母线长l==13.
(2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,
其中PO=12,OA=OB=5,OO'=h(0设圆柱底面半径为r,则=,
解得r=,
则圆柱的轴截面面积S=2r·h=(12h-h2)=×[-(h-6)2+36](0∴当h=6时,S取得最大值,且最大值为30.
7.A　∵正四面体的所有棱长都为,
∴该正四面体放在正方体中如图所示,则正方体的棱长为1.
又∵正四面体的顶点在同一球面上,
∴该正四面体的外接球即为正方体的外接球,
易知球心为正方体的中心,
则球的半径r==,
∴球的表面积S=4πr2=3π.
8.C　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由已知得球的半径为l,
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,
所以解得l=2r=2,
所以球O的表面积S=4πl2=48π.故选C.
9.解析　(1)如图所示:
设OB垂直于球冠的底(O为球冠所在球的球心),则O1B=h,OO1=R-h,O1A=r,
在Rt△OO1A中,OA2=O+O1A2,
即R2=(R-h)2+r2,解得R=.
(2)由于球冠的底的周长为500π,
所以r==250.
因为球冠的表面积S=2πRh=65 000π,
所以h==,
由(1)得R=,即R=,解得R=650(负值舍去).
所以==,
S球=4πR2=4π×6502=1 690 000π.
10.AB　若绕某一直角边所在直线旋转,则得到的几何体为底面半径为1,高为1,母线长为的圆锥,故圆锥的表面积为π×12+π×1×=(1+)π;若绕斜边所在直线旋转,则得到的几何体为同底等高的两个圆锥的组合体,每个圆锥的底面半径和高都是,母线长为1,故组合体的表面积为π××1×2=π.故选AB.
11.C　如图,用平行于底面的平面截圆柱所得圆面面积为π×22=4π,截正四棱锥所得图形为正方形,其与正四棱锥的底面相似,正四棱锥的底面面积为2×2=8,由相似多边形的面积比等于边长比的平方,可得==,所以截面四边形的面积为2,所以截面图形的面积为4π-2.
故选C.
12.B　如图1,设E,F,G,H,P,Q分别为正方体各个面的中心,M为EF的中点,过O作ON⊥PM,交PM于点N,由正方体的棱长为2,可得由正方体各个面的中心为顶点的正八面体的棱长为2,即EF=2,故OM=1,OP=,PM=,则ON·PM=OM·OP,解得ON=,
设球O与正八面体各个面的截面圆的半径为r,易知ON⊥平面PEF,则r===,
如图2,易知MN=,NJ=NI=,所以IJ=,则∠INJ=,所以平面PEF与球O的交线长等于圆心角为2π-3×=的弧的长,则球O的球面与八面体各个面的交线的总长为8×=π,故选B.
13.解析　所得几何体如图所示,
过点C作CO1⊥AB于点O1.
∵∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,
∴S球=4πR2,
=π×R×R=πR2,
=π×R×R=πR2,
∴S几何体表=S球++
=4πR2+πR2+πR2=πR2.
故所得几何体的表面积为πR2.
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