2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
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| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 617.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 11:08:41 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
基础过关练
题组一 柱、锥、台体的体积
1.(2024陕西铜川质量检测)已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的( )
A.倍 B.3倍 C.3倍 D.9倍
2.(2022江西吉安期末)已知一个圆锥的母线长为6,侧面积为24π,则此圆锥的体积为( )
A. B.6π C. D.12π
3.(2024山东青岛第二中学二模)在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=,A1B1=2,侧棱AA1的长为2,则此正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
4.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
5.(2023河北石家庄二中期中)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C的面积为S,侧棱AA1与该侧面的距离为a,则此斜三棱柱的体积为( )
A.Sa B.Sa C.Sa D.Sa
6.(2023天津七区期末)已知甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲,S乙,体积分别为V甲,V乙,若=,则=( )
A. B. C. D.
7.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两垂直,已知PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是 .
8.已知某圆台的上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,则该圆台的体积为 .
9.(2024浙江金华曙光中学月考)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,求三棱锥A1-D1MN的体积.
题组二 球的体积
10.(2024辽宁丹东期中)如图,这是一个水上漂浮式警示浮标,它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面积的2倍,则圆锥的体积与半球的体积的比值为( )
A. B. C. D.
11.(2022上海格致中学期中)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
12.(2024浙江宁波鄞州中学期中)已知S,A,B,C是球O表面上不同的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的体积为,则SA=( )
A. B.1 C. D.
13.如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
14.(2024浙江宁波高考模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1=,若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切,则球O的体积为 .
题组三 组合体的体积
15.(2024山东菏泽外国语学校月考)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,是古人用于祭祀的礼器(如图1).如图2,某玉琮中间内空,形状对称,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部是棱长为3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
16.(2024浙江金华曙光中学月考)如图,在平面五边形ABCDE中, AB=DE=1,BC=CD=2,AE=,∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°,则五边形ABCDE绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为 .
17.(2022湖南长沙长郡中学期中)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
能力提升练
题组一 柱、锥、台体的体积
1.(2022山东德州期末)《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( )
A. B. C. D.
2.(2024湖南长沙南雅中学月考)截角四面体可由四面体经过适当截角而得到.如图,在一个正四面体中,作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体,则该截角四面体的体积为( )
A.20 B. C.40 D.
3.设矩形的长和宽分别为a和b(a>b),将其按两种方式分别卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是( )
A.Va>Vb B.Va=Vb
C.Va4.(2022河南驻马店期末)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体,“等腰四面体”就是其中之一,它是三组对棱分别相等的四面体.已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4,2,2,则该等腰四面体的体积是( )
A.4 B. C.8 D.
5.(2022山东潍坊期中)中国馆建筑名为“华夏之光”,外观取型中国传统灯笼,寓意希望和光明,它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个中国馆的实心模型,已知模型内层底面直径为12 cm,外层底面直径为16 cm,且内、外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上.此模型的体积为( )
A.304π cm3 B.840π cm3
C.912π cm3 D.984π cm3
6.(多选题)(2024浙江G5联盟期中联考)图1是一个正四棱柱形的容器,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P,如果将容器倒置,水面也恰好过点P(如图2).下列四个命题中,正确的有( )
A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B.在图1中,若往容器内再注入a升水,则水面高度是容器高度的
C.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P
D.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P
7.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
8.(2023山东青岛实验高级中学期中)如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的棱台ABC-A'B'C'中,过上底面A'B'C'的边A'B'作一个平面把三棱台分成三棱柱和五面体两部分,则三棱柱和五面体的体积之比为 .
9.(2024湖北名校联盟月考)所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.现有一拟柱体,上、下底面均为正六边形,且下底面边长为4,上底面各顶点在下底面的射影为下底面各边的中点,高为2,则该拟柱体的体积为 .
题组二 球的体积
10.(2024河南郑州名校教研联盟模拟预测)知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》,其中提到了开普勒的将球装箱的方法:考虑一个棱长为2的正方体,分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球,这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为( )
A.π B.π C.π D.π
11.(2024浙江G5联盟期中联考)已知A,B,C,D为球面上四点,M,N分别是AB,CD的中点,以MN为直径的球称为AB,CD的伴随球,若三棱锥A-BCD的四个顶点在表面积为64π的球的球面上,且AB=2,CD=4,则AB,CD的伴随球的体积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.(2024陕西商洛学情诊断考试)某圆柱的轴截面是面积为12的正方形ABCD,P为圆柱底面圆弧CD的中点,在圆柱内放置一个球O,则当球O的体积最大时,平面PAB与球O的交线长为( )
A. B. C. D.
13.(2022福建厦门三中期中)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起,将铆钉多余的部分进行锤打,使其成为与钉帽完全相同的部分,铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件,其轴截面如图2.(加工中不计损失)
(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍,求铆钉的表面积;
(2)若每块钢板的厚度为10 mm,求钉身的长度(结果精确到1 mm).
图1 图2
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 设圆柱的高为h,底面半径为r,则其体积V=πr2h,侧面积S=2πrh.
设体积扩大9倍后的底面半径为r',则9V=9πr2h=πr'2h,∴r'=3r,
∴其侧面积变为S'=2πr'h=6πrh,∴S'=3S,即侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
2.C 设圆锥的底面半径为r,高为h,则6πr=24π,解得r=4,所以h==2,因此该圆锥的体积V=πr2h=π×42×2=,故选C.
3.C 由已知得△ABC的面积为×××=,△A1B1C1的面积为×2×2×=3,
设O,O1分别是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分别是BC,B1C1的中点,
易知A,O,D三点共线,A1,O1,D1三点共线,AD=AB×sin=×=,A1D1=A1B1×sin=2×=3,∴OD=AD=,O1D1=A1D1=1,
DD1===,
过D作DE⊥A1D1,垂足为E,则DE∥OO1,
则DE===,
∴三棱台的高为,
∴三棱台的体积V=××=.故选C.
4.B 设圆锥形器皿中水面的半径为r cm,则母线长(含水部分)l=2r cm,水面的高度h=r,即r=,
由题意得πr2h=π×22×6,即πh=24π,
∴h3=216,解得h=6.
5.C 如图,将斜三棱柱补成一个四棱柱,则三棱柱的体积是四棱柱体积的一半.以侧面BB1C1C为四棱柱的底面,则底面BB1C1C的面积为S,底面BB1C1C上的高为a,所以四棱柱的体积V=Sa,
则此斜三棱柱的体积为Sa.故选C.
6.A 设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,母线长均为l,高分别为h1,h2,
由侧面展开图的圆心角之和为2π,得=2π,即r1+r2=l,又=,所以=,即r1=r2.
不妨设l=5t,则r1=3t,r2=2t,则h1=4t,h2=t,
则==.
7.答案 4
解析 VP-ABC=VB-PAC=S△PAC·PB=××2×4×3=4.
8.答案 π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,
由S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,得r=1,R=2.
又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,∴h==,
∴该圆台的体积V=×(π+4π+)×=π.
9.答案 1
解析 如图,由正方体棱长为2及M,N分别为棱BB1,AB的中点,得=2×2-2××2×1-×1×1=,
易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高,且D1A1=2,
∴==··D1A1=××2=1.
10.D 设半球的半径为r,圆锥的高为h,
由题意得=2,解得h=r.
故圆锥的体积与半球的体积的比值为==.故选D.
11.A 设球的半径为R cm,则由题意知球被正方体上底面截得的圆面的半径为4 cm,球心到截面圆的距离为(R-2)cm,
则R2=(R-2)2+42,解得R=5.
∴球的体积为=(cm3).
12.B 因为SA⊥平面ABC,AB⊥BC,
所以四面体S-ABC的外接球即为以SA,AB,BC的长为长、宽、高的长方体的外接球,
设球O的半径为R.由球O的体积为,得=·R3,所以R=1,
所以2R==2,所以SA=1.
故选B.
13.D 作出圆锥的轴截面,如图,截面为正三角形,其边长为4,球心为截面三角形的中心,则球的半径r=×=.
溢出溶液的体积等于球的体积,即π×=π.
14.答案
解析 设棱台上、下底面的中心为N,M,连接D1B1,DB,MN,
则D1B1=2,DB=4,
所以棱台的高MN===1,
设球的半径为R,根据正四棱台的结构特征可知,球O与上底面A1B1C1D1相切于N,与棱AB,BC,CD,DA均相切于各棱中点处,且球心O在直线NM上.
设BC的中点为E,连接OE,ME,
所以OE2=OM2+ME2,
即R2=|R-1|2+22,解得R=,
所以球O的体积为πR3=.
15.A 由图可知,玉琮的体积V=π×4×+3×3×3-π×3×= cm3,故选A.
16.答案
解析 依题意可知,五边形ABCDE是由边长为2的正方形BCDF切去一个腰长为1的等腰Rt△AEF后得到的,
易知五边形ABCDE绕AB所在直线旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,故所求几何体的体积V=π×22×2-×π×12×1=π.
17.答案 118.8
解析 由题意得S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),∴VO-EFGH=×12×3=12(cm3),
∴该模型的体积V=-VO-EFGH=6×6×4-12=132(cm3),∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).
能力提升练
1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,解得π≈.故选A.
2.D 棱长为a的正四面体的底面正三角形外接圆的半径r=×a=a,则该正四面体的高h==a,该正四面体的体积V=×a2·sin 60°×h=a2×a=a3,
由题意得大正四面体的体积为×63=18,一个小正四面体的体积为×23=,
则截角四面体的体积为18-4×=.
故选D.
3.C 当卷成高为a的圆柱时,设圆柱的底面半径为r1,则2πr1=b,解得r1=,则Va=πa=;
当卷成高为b的圆柱时,设圆柱的底面半径为r2,
则2πr2=a,解得r2=,则Vb=πb=.
由a>b得>,即Vb>Va,故选C.
4.B 如图,将等腰四面体ABCD补成长方体,设该长方体的长、宽、高分别是a,b,c,
不妨令解得
则该等腰四面体的体积V=2×2×4-××2×2×4×4=,故选B.
5.C 由题意可知,实心模型由两个圆柱构成,实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积,
设内层圆柱的底面半径为r1,则r1=6 cm,
所以内层圆柱的底面积S1=π=36π(cm2),
设外层圆柱的底面半径为r2,则r2=8 cm,
所以外层圆柱的底面积S2=π=64π(cm2).
设球的半径为r,则r=10 cm.
因为内层圆柱的底面圆周在球面上,
所以内层圆柱的高为2=16(cm),所以内层圆柱的体积V1=π×62×16=576π(cm3).
同理可得,外层圆柱的高为2=12(cm),
所以外层圆柱的体积V2=π×82×12=768π(cm3).
由题意可得,外层几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去底面半径为6 cm,高为12 cm的圆柱体的体积,
即V3=768π-π×12=768π-432π=336π(cm3),
所以这个模型的体积V=V1+V3=576π+336π=912π(cm3).故选C.
6.BC 设题图1中正四棱柱的高度为h1,水的高度为h2,正四棱柱的底面边长为b,
可得题图2中水的体积为b2h1-b2h2=b2(h1-h2).
对于A,由b2h2=b2(h1-h2),得h2=h1,所以A错误;
对于B,若往容器内再注入a升水,即b2h2=a,
则水面上升的高度h===h2=×h1=h1,所以水面的高度为h+h2=h1+h1=h1,所以B正确;
对于C,水的体积V1=b2h2=b2×h1=b2h1,
除去正四棱锥的容器的体积V=b2h1-b2h2=b2h1-b2×h1=b2h1,所以V1=V,
当容器侧面水平放置时,点P在正四棱柱的中截面上,中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分,结合题意水面也恰好经过点P,所以C正确;
对于D,如图所示,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,
易得AM=2h2=h1,A1M=h1-h1=h1,易知△A1ME∽△AMB,则=,可得A1E==b,所以三棱柱BB1E-CC1F的体积为×b×h1×b=b2h1,
因为b2h1>b2h1,所以水面与正四棱锥侧面重合时,不过顶点P,所以D错误.故选BC.
7.答案 10π
解析 用与题中几何体完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
8.答案 3∶4
解析 ∵三棱台的上、下底面对应边的比是1∶2,
∴上、下底面三角形的面积比为1∶4,
设上、下底面的面积分别为S,4S,易知三棱柱和三棱台的高相同,设为h,则三棱柱FEC-A'B'C'的体积V1=Sh,三棱台ABC-A'B'C'的体积V2=(S+4S+)h=Sh,∴五面体的体积为V2-V1=Sh,
故三棱柱和五面体的体积之比为Sh∶Sh=3∶4.
9.答案 44
思路分析 由题意可得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和,由锥体的体积公式求解即可.
解析 由题意可得,该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和,
易得上底面边长为2,则正六棱柱的体积为6××(2)2×2=36,
每个四棱锥的体积为×1×2×2=,
故拟柱体的体积为36+6×=44.
10.D 以8个顶点为球心的球各有在正方体内,以6个面的中心为球心的球各有在正方体内,
所以这些球在正方体内的体积之和为4个半径为的球的体积之和,
所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为=π.
11.D 设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,球心为O,
则4πR2=64π,所以R=4,
设球O的两条弦AB,CD的中点分别为M,N,
则OM==3,ON==2,
即弦AB,CD分别是以O为球心,半径分别为3和2的球的切线,且弦AB在以O为球心,半径为2的球的外部,故MN的最大距离为3+2=5,最小距离为3-2=1,
故AB,CD的伴随球的半径的最大值和最小值分别为,,
当半径为时,AB,CD的伴随球的体积为π×=,
当半径为时,AB,CD的伴随球的体积为π×=π.
∴AB,CD的伴随球的体积的取值范围是.故选D.
名师点睛 关键点是由三棱锥A-BCD的外接球O的半径,求出OM,ON,进而求出AB,CD的伴随球的半径的最大、小值.
12.思路分析 根据条件知当球O的体积最大时,球与圆柱的上下底面及母线均相切,作出图形后,计算即可.
D 由题意知,当球O的体积最大时,球与圆柱的上、下底面及母线均相切,
因为正方形ABCD的面积为12,所以AB=BC=2,
如图1,记AB的中点为O1,CD的中点为O2,易知O1,O2分别为所在圆的圆心.
如图2,易知平面APB与球O的交线为圆,且O1E即为截面圆的直径,
易知O1P==,O1O2=2,
连接O2E,
易知Rt△O1O2P∽Rt△O1EO2,
故=,
所以O1E===,
所以交线长为π·O1E=.
故选D.
13.解析 (1)由已知可得,铆钉是以r1=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体.
由钉身长度是钉帽高度的3倍,可知圆柱的高h=3r1=45 mm,圆柱的底面半径r2=8 mm.
由题图1可知,铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r1=15 mm为半径的圆的面积.
半球的表面积S1=×4π=×4π×152=450π(mm2),圆柱的侧面积S2=2πr2h=2π×8×45=720π(mm2),圆的面积S3=π=225π(mm2).
所以铆钉的表面积S=S1+S2+S3=1 395π(mm2).
(2)设钉身的长度为x mm,其中x>20,则钉身的体积V=πx=64πx(mm3).
已知加工前后体积不变,加工后体积为钉身与钉帽的体积之和,其中钉身长度为20 mm,底面圆半径r2=8 mm,钉帽是以r1=15 mm为半径的半球,
所以加工后的体积V=π×20+×π=1 280π+2 250π=3 530π(mm3),
所以64πx=3 530π,
所以x≈55,满足条件.
所以钉身的长度为55 mm.
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第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
基础过关练
题组一 柱、锥、台体的体积
1.(2024陕西铜川质量检测)已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的( )
A.倍 B.3倍 C.3倍 D.9倍
2.(2022江西吉安期末)已知一个圆锥的母线长为6,侧面积为24π,则此圆锥的体积为( )
A. B.6π C. D.12π
3.(2024山东青岛第二中学二模)在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=,A1B1=2,侧棱AA1的长为2,则此正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
4.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
5.(2023河北石家庄二中期中)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C的面积为S,侧棱AA1与该侧面的距离为a,则此斜三棱柱的体积为( )
A.Sa B.Sa C.Sa D.Sa
6.(2023天津七区期末)已知甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲,S乙,体积分别为V甲,V乙,若=,则=( )
A. B. C. D.
7.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两垂直,已知PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是 .
8.已知某圆台的上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,则该圆台的体积为 .
9.(2024浙江金华曙光中学月考)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,求三棱锥A1-D1MN的体积.
题组二 球的体积
10.(2024辽宁丹东期中)如图,这是一个水上漂浮式警示浮标,它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面积的2倍,则圆锥的体积与半球的体积的比值为( )
A. B. C. D.
11.(2022上海格致中学期中)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
12.(2024浙江宁波鄞州中学期中)已知S,A,B,C是球O表面上不同的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的体积为,则SA=( )
A. B.1 C. D.
13.如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
14.(2024浙江宁波高考模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1=,若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切,则球O的体积为 .
题组三 组合体的体积
15.(2024山东菏泽外国语学校月考)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,是古人用于祭祀的礼器(如图1).如图2,某玉琮中间内空,形状对称,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部是棱长为3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
16.(2024浙江金华曙光中学月考)如图,在平面五边形ABCDE中, AB=DE=1,BC=CD=2,AE=,∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°,则五边形ABCDE绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为 .
17.(2022湖南长沙长郡中学期中)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
能力提升练
题组一 柱、锥、台体的体积
1.(2022山东德州期末)《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( )
A. B. C. D.
2.(2024湖南长沙南雅中学月考)截角四面体可由四面体经过适当截角而得到.如图,在一个正四面体中,作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体,则该截角四面体的体积为( )
A.20 B. C.40 D.
3.设矩形的长和宽分别为a和b(a>b),将其按两种方式分别卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是( )
A.Va>Vb B.Va=Vb
C.Va
A.4 B. C.8 D.
5.(2022山东潍坊期中)中国馆建筑名为“华夏之光”,外观取型中国传统灯笼,寓意希望和光明,它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个中国馆的实心模型,已知模型内层底面直径为12 cm,外层底面直径为16 cm,且内、外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上.此模型的体积为( )
A.304π cm3 B.840π cm3
C.912π cm3 D.984π cm3
6.(多选题)(2024浙江G5联盟期中联考)图1是一个正四棱柱形的容器,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P,如果将容器倒置,水面也恰好过点P(如图2).下列四个命题中,正确的有( )
A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B.在图1中,若往容器内再注入a升水,则水面高度是容器高度的
C.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P
D.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P
7.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
8.(2023山东青岛实验高级中学期中)如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的棱台ABC-A'B'C'中,过上底面A'B'C'的边A'B'作一个平面把三棱台分成三棱柱和五面体两部分,则三棱柱和五面体的体积之比为 .
9.(2024湖北名校联盟月考)所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.现有一拟柱体,上、下底面均为正六边形,且下底面边长为4,上底面各顶点在下底面的射影为下底面各边的中点,高为2,则该拟柱体的体积为 .
题组二 球的体积
10.(2024河南郑州名校教研联盟模拟预测)知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》,其中提到了开普勒的将球装箱的方法:考虑一个棱长为2的正方体,分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球,这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为( )
A.π B.π C.π D.π
11.(2024浙江G5联盟期中联考)已知A,B,C,D为球面上四点,M,N分别是AB,CD的中点,以MN为直径的球称为AB,CD的伴随球,若三棱锥A-BCD的四个顶点在表面积为64π的球的球面上,且AB=2,CD=4,则AB,CD的伴随球的体积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.(2024陕西商洛学情诊断考试)某圆柱的轴截面是面积为12的正方形ABCD,P为圆柱底面圆弧CD的中点,在圆柱内放置一个球O,则当球O的体积最大时,平面PAB与球O的交线长为( )
A. B. C. D.
13.(2022福建厦门三中期中)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起,将铆钉多余的部分进行锤打,使其成为与钉帽完全相同的部分,铆合的两块钢板成为某种钢结构的配件,其轴截面如图2.(加工中不计损失)
(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍,求铆钉的表面积;
(2)若每块钢板的厚度为10 mm,求钉身的长度(结果精确到1 mm).
图1 图2
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 设圆柱的高为h,底面半径为r,则其体积V=πr2h,侧面积S=2πrh.
设体积扩大9倍后的底面半径为r',则9V=9πr2h=πr'2h,∴r'=3r,
∴其侧面积变为S'=2πr'h=6πrh,∴S'=3S,即侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
2.C 设圆锥的底面半径为r,高为h,则6πr=24π,解得r=4,所以h==2,因此该圆锥的体积V=πr2h=π×42×2=,故选C.
3.C 由已知得△ABC的面积为×××=,△A1B1C1的面积为×2×2×=3,
设O,O1分别是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分别是BC,B1C1的中点,
易知A,O,D三点共线,A1,O1,D1三点共线,AD=AB×sin=×=,A1D1=A1B1×sin=2×=3,∴OD=AD=,O1D1=A1D1=1,
DD1===,
过D作DE⊥A1D1,垂足为E,则DE∥OO1,
则DE===,
∴三棱台的高为,
∴三棱台的体积V=××=.故选C.
4.B 设圆锥形器皿中水面的半径为r cm,则母线长(含水部分)l=2r cm,水面的高度h=r,即r=,
由题意得πr2h=π×22×6,即πh=24π,
∴h3=216,解得h=6.
5.C 如图,将斜三棱柱补成一个四棱柱,则三棱柱的体积是四棱柱体积的一半.以侧面BB1C1C为四棱柱的底面,则底面BB1C1C的面积为S,底面BB1C1C上的高为a,所以四棱柱的体积V=Sa,
则此斜三棱柱的体积为Sa.故选C.
6.A 设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,母线长均为l,高分别为h1,h2,
由侧面展开图的圆心角之和为2π,得=2π,即r1+r2=l,又=,所以=,即r1=r2.
不妨设l=5t,则r1=3t,r2=2t,则h1=4t,h2=t,
则==.
7.答案 4
解析 VP-ABC=VB-PAC=S△PAC·PB=××2×4×3=4.
8.答案 π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,
由S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,得r=1,R=2.
又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,∴h==,
∴该圆台的体积V=×(π+4π+)×=π.
9.答案 1
解析 如图,由正方体棱长为2及M,N分别为棱BB1,AB的中点,得=2×2-2××2×1-×1×1=,
易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高,且D1A1=2,
∴==··D1A1=××2=1.
10.D 设半球的半径为r,圆锥的高为h,
由题意得=2,解得h=r.
故圆锥的体积与半球的体积的比值为==.故选D.
11.A 设球的半径为R cm,则由题意知球被正方体上底面截得的圆面的半径为4 cm,球心到截面圆的距离为(R-2)cm,
则R2=(R-2)2+42,解得R=5.
∴球的体积为=(cm3).
12.B 因为SA⊥平面ABC,AB⊥BC,
所以四面体S-ABC的外接球即为以SA,AB,BC的长为长、宽、高的长方体的外接球,
设球O的半径为R.由球O的体积为,得=·R3,所以R=1,
所以2R==2,所以SA=1.
故选B.
13.D 作出圆锥的轴截面,如图,截面为正三角形,其边长为4,球心为截面三角形的中心,则球的半径r=×=.
溢出溶液的体积等于球的体积,即π×=π.
14.答案
解析 设棱台上、下底面的中心为N,M,连接D1B1,DB,MN,
则D1B1=2,DB=4,
所以棱台的高MN===1,
设球的半径为R,根据正四棱台的结构特征可知,球O与上底面A1B1C1D1相切于N,与棱AB,BC,CD,DA均相切于各棱中点处,且球心O在直线NM上.
设BC的中点为E,连接OE,ME,
所以OE2=OM2+ME2,
即R2=|R-1|2+22,解得R=,
所以球O的体积为πR3=.
15.A 由图可知,玉琮的体积V=π×4×+3×3×3-π×3×= cm3,故选A.
16.答案
解析 依题意可知,五边形ABCDE是由边长为2的正方形BCDF切去一个腰长为1的等腰Rt△AEF后得到的,
易知五边形ABCDE绕AB所在直线旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,故所求几何体的体积V=π×22×2-×π×12×1=π.
17.答案 118.8
解析 由题意得S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),∴VO-EFGH=×12×3=12(cm3),
∴该模型的体积V=-VO-EFGH=6×6×4-12=132(cm3),∴制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).
能力提升练
1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,解得π≈.故选A.
2.D 棱长为a的正四面体的底面正三角形外接圆的半径r=×a=a,则该正四面体的高h==a,该正四面体的体积V=×a2·sin 60°×h=a2×a=a3,
由题意得大正四面体的体积为×63=18,一个小正四面体的体积为×23=,
则截角四面体的体积为18-4×=.
故选D.
3.C 当卷成高为a的圆柱时,设圆柱的底面半径为r1,则2πr1=b,解得r1=,则Va=πa=;
当卷成高为b的圆柱时,设圆柱的底面半径为r2,
则2πr2=a,解得r2=,则Vb=πb=.
由a>b得>,即Vb>Va,故选C.
4.B 如图,将等腰四面体ABCD补成长方体,设该长方体的长、宽、高分别是a,b,c,
不妨令解得
则该等腰四面体的体积V=2×2×4-××2×2×4×4=,故选B.
5.C 由题意可知,实心模型由两个圆柱构成,实心模型的体积=内层圆柱的体积+外层几何体的体积,
设内层圆柱的底面半径为r1,则r1=6 cm,
所以内层圆柱的底面积S1=π=36π(cm2),
设外层圆柱的底面半径为r2,则r2=8 cm,
所以外层圆柱的底面积S2=π=64π(cm2).
设球的半径为r,则r=10 cm.
因为内层圆柱的底面圆周在球面上,
所以内层圆柱的高为2=16(cm),所以内层圆柱的体积V1=π×62×16=576π(cm3).
同理可得,外层圆柱的高为2=12(cm),
所以外层圆柱的体积V2=π×82×12=768π(cm3).
由题意可得,外层几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去底面半径为6 cm,高为12 cm的圆柱体的体积,
即V3=768π-π×12=768π-432π=336π(cm3),
所以这个模型的体积V=V1+V3=576π+336π=912π(cm3).故选C.
6.BC 设题图1中正四棱柱的高度为h1,水的高度为h2,正四棱柱的底面边长为b,
可得题图2中水的体积为b2h1-b2h2=b2(h1-h2).
对于A,由b2h2=b2(h1-h2),得h2=h1,所以A错误;
对于B,若往容器内再注入a升水,即b2h2=a,
则水面上升的高度h===h2=×h1=h1,所以水面的高度为h+h2=h1+h1=h1,所以B正确;
对于C,水的体积V1=b2h2=b2×h1=b2h1,
除去正四棱锥的容器的体积V=b2h1-b2h2=b2h1-b2×h1=b2h1,所以V1=V,
当容器侧面水平放置时,点P在正四棱柱的中截面上,中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分,结合题意水面也恰好经过点P,所以C正确;
对于D,如图所示,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,
易得AM=2h2=h1,A1M=h1-h1=h1,易知△A1ME∽△AMB,则=,可得A1E==b,所以三棱柱BB1E-CC1F的体积为×b×h1×b=b2h1,
因为b2h1>b2h1,所以水面与正四棱锥侧面重合时,不过顶点P,所以D错误.故选BC.
7.答案 10π
解析 用与题中几何体完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
8.答案 3∶4
解析 ∵三棱台的上、下底面对应边的比是1∶2,
∴上、下底面三角形的面积比为1∶4,
设上、下底面的面积分别为S,4S,易知三棱柱和三棱台的高相同,设为h,则三棱柱FEC-A'B'C'的体积V1=Sh,三棱台ABC-A'B'C'的体积V2=(S+4S+)h=Sh,∴五面体的体积为V2-V1=Sh,
故三棱柱和五面体的体积之比为Sh∶Sh=3∶4.
9.答案 44
思路分析 由题意可得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和,由锥体的体积公式求解即可.
解析 由题意可得,该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱锥的体积之和,
易得上底面边长为2,则正六棱柱的体积为6××(2)2×2=36,
每个四棱锥的体积为×1×2×2=,
故拟柱体的体积为36+6×=44.
10.D 以8个顶点为球心的球各有在正方体内,以6个面的中心为球心的球各有在正方体内,
所以这些球在正方体内的体积之和为4个半径为的球的体积之和,
所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为=π.
11.D 设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,球心为O,
则4πR2=64π,所以R=4,
设球O的两条弦AB,CD的中点分别为M,N,
则OM==3,ON==2,
即弦AB,CD分别是以O为球心,半径分别为3和2的球的切线,且弦AB在以O为球心,半径为2的球的外部,故MN的最大距离为3+2=5,最小距离为3-2=1,
故AB,CD的伴随球的半径的最大值和最小值分别为,,
当半径为时,AB,CD的伴随球的体积为π×=,
当半径为时,AB,CD的伴随球的体积为π×=π.
∴AB,CD的伴随球的体积的取值范围是.故选D.
名师点睛 关键点是由三棱锥A-BCD的外接球O的半径,求出OM,ON,进而求出AB,CD的伴随球的半径的最大、小值.
12.思路分析 根据条件知当球O的体积最大时,球与圆柱的上下底面及母线均相切,作出图形后,计算即可.
D 由题意知,当球O的体积最大时,球与圆柱的上、下底面及母线均相切,
因为正方形ABCD的面积为12,所以AB=BC=2,
如图1,记AB的中点为O1,CD的中点为O2,易知O1,O2分别为所在圆的圆心.
如图2,易知平面APB与球O的交线为圆,且O1E即为截面圆的直径,
易知O1P==,O1O2=2,
连接O2E,
易知Rt△O1O2P∽Rt△O1EO2,
故=,
所以O1E===,
所以交线长为π·O1E=.
故选D.
13.解析 (1)由已知可得,铆钉是以r1=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体.
由钉身长度是钉帽高度的3倍,可知圆柱的高h=3r1=45 mm,圆柱的底面半径r2=8 mm.
由题图1可知,铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r1=15 mm为半径的圆的面积.
半球的表面积S1=×4π=×4π×152=450π(mm2),圆柱的侧面积S2=2πr2h=2π×8×45=720π(mm2),圆的面积S3=π=225π(mm2).
所以铆钉的表面积S=S1+S2+S3=1 395π(mm2).
(2)设钉身的长度为x mm,其中x>20,则钉身的体积V=πx=64πx(mm3).
已知加工前后体积不变,加工后体积为钉身与钉帽的体积之和,其中钉身长度为20 mm,底面圆半径r2=8 mm,钉帽是以r1=15 mm为半径的半球,
所以加工后的体积V=π×20+×π=1 280π+2 250π=3 530π(mm3),
所以64πx=3 530π,
所以x≈55,满足条件.
所以钉身的长度为55 mm.
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