2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.2　平面的基本事实与推论

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章　立体几何初步
11.2　平面的基本事实与推论
基础过关练
题组一　点、线共面问题
1.(2024四川遂宁期中)下列推理错误的是(　　)
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
C.l α,A∈l A α
D.A∈l,l α A∈α
2.(2022河南省创新发展联盟段考)如图,在下列四个正方体中,A,B,C,D分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,A,B,C,D四点共面的是(　　)
3.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学期中)下列说法不正确的有(　　)
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面
4.(2023安徽合肥期中)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论不正确的是(　　)
A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面
5.(2022上海市七宝中学阶段检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:四边形FECD1为平面图形.
题组二　点共线问题
6.在四棱锥A-BCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若GH,EF交于一点P,则(　　)
A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上
C.P在直线AC或直线BD上 D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上
7.(2023陕西西安期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点,设AM与平面BB1D1D的交点为O,则(　　)
A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1 B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1
C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1 D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1
8.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　　.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.
题组三　线共点问题
10.(2024上海崇明中学期中)三棱台的各个面所在的平面,将空间划分为　　　　个区域.
11.(2023广东广州期中)如图,在正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,已知Q,R分别为A'B',B'C'的中点.
(1)画出经过D,Q,R三点的截面(不必给出证明);
(2)证明:AQ,CR,BB'交于一点.
12.(2024四川内江威远中学月考)如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,E,F分别为AA1,AB的中点.
(1)求证:直线D1E,CF,DA交于一点;
(2)若AA1=4,求多面体BCD1EF的体积.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C
2.D　A中,AB,DC是异面直线,四点显然不共面;B中,AD,BC是异面直线,四点显然不共面;C中,AB,DC是异面直线,四点显然不共面;D中,如图,易知六边形ADCEBF为平面图形,所以A,B,C,D四点共面.故选D.
3.ABC　对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A、B错误;
对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;
对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确.
故选ABC.
4.D　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,
因为AC 平面ACC1A1,BD 平面C1BD,
所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.
因为A1C∩平面C1BD=M,A1C 平面ACC1A1,
所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.
又易知C1∈平面ACC1A1,C1∈平面C1BD,
所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确,由推论1可知B,C中结论均正确,易知D中结论不正确.
5.证明　连接A1B(图略).
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF是△ABA1的中位线,所以EF∥A1B.
由正方体的性质知,A1D1∥BC,A1D1=BC,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥D1C,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面,
所以四边形FECD1为平面图形.
6.B　由题意知GH 平面ADC.
因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.
同理,P∈平面ABC.
因为平面ABC∩平面ADC=AC,
所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.
故选B.
7.A　如图,连接AD1,BD1,BC1,
易知平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,
∵M为棱D1C1的中点,D1C1 平面ABC1D1,∴M∈平面ABC1D1.
又A∈平面ABC1D1,∴AM 平面ABC1D1.
又O∈AM,∴O∈平面ABC1D1,
∵AM与平面BB1D1D的交点为O,∴O∈平面BB1D1D,
∴O∈BD1,即D1,O,B三点共线.
易知D1M∥AB,且D1M=D1C1=AB,
∴OD1=BO,即OB=2OD1.故选A.
8.答案　P∈直线DE
解析　因为P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,平面ABC∩平面α=直线DE,所以P∈直线DE.
9.证明　∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又∵M∈直线CD,N∈直线AB,CD 平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴M,N∈平面ABCD,∴MN 平面ABCD,∴Q∈平面ABCD.
同理,EF 平面ADD1A1,∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
10.答案　21
解析　三棱台的3个侧面所在平面两两相交,且所得3条交线共点,这3个平面将空间分成7个区域,
一个底面将其所在的7个区域分成两半,另一个底面将其所在的7个区域分成两半,
所以三棱台的各个面所在的平面将空间划分的区域个数为7+7+7=21.
11.解析　(1)作直线QR分别交D'A',D'C'的延长线于M,N,连接MD交AA'于S,连接DN交CC'于点T,连接SQ,TR,如图,五边形DSQRT即为所求.
(2)证明:如图,连接AQ,CR并延长,设交点为O,连接B'O.连接QR,AC,A'C',则AC=A'C',AC∥A'C',
∵Q,R分别为A'B',B'C'的中点,∴QR为△A'B'C'的中位线,
∴QR∥A'C',QR=A'C',∴QR∥AC,QR=AC,∴四边形AQRC为梯形,
∵AQ∩CR=O,∴O∈AQ,∵AQ 平面A'ABB',∴O∈平面A'ABB',
同理O∈平面C'CBB',
又平面A'ABB'∩平面C'CBB'=BB',∴O∈BB',
故AQ,CR,BB'交于一点.
12.解析　(1)证明:连接EF,A1B,CD1,
因为E,F分别为AA1,AB的中点,所以EF∥A1B且EF=A1B.
因为ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,且底面是正方形,
所以BC∥AD∥A1D1,且BC=AD=A1D1,即四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥D1C且A1B=D1C,所以EF∥D1C,且EF≠D1C,
所以四边形EFCD1为梯形,所以D1E与CF交于一点,记为P,即P∈D1E,P∈CF,
又D1E 平面ADD1A1,CF 平面ABCD,
所以P∈平面ABCD,P∈平面ADD1A1,
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈直线AD,所以直线D1E,CF,DA交于一点.
(2)连接BE,BD1,D1F,由(1)知多面体BCD1EF是以EFCD1为底的四棱锥.
由题意可得=+=+=××1×2×2+××1×2×4=2.
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