2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.3.1 平行直线与异面直线
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--11.3.1 平行直线与异面直线 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 502.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 11:10:11 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第四册
第十一章 立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
基础过关练
题组一 空间平行线的传递性与等角定理的应用
1.在空间四边形ABCD中,AC⊥BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH是( )
A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形
2.(多选题)(2022山东潍坊期中)下列说法中正确的是( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
3.(2024辽宁鞍山期末)已知∠AO1B和∠CO2D,∠AO1B=50°且O1A∥O2C,O1B∥O2D,则∠CO2D= .
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
题组二 空间两直线位置关系的判断
5.(2023山东临沂期中)已知直线a,b,c,若a与b是异面直线,a与c平行,则b与c的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行 D.相交或异面
6.(2022北京景山学校月考)以下四个图中,表示直线a与b平行的是( )
A B C D
7.(多选题)(2024吉林长春第二实验中学月考)已知α,β为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法错误的是( )
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
8.(2024北京海淀期末)如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关系是 (填“平行”“异面”“相交”).
能力提升练
题组 空间中两条直线的位置关系
1.(2024河南名校联盟教学质量检测)过三棱柱任意两个顶点的直线中,异面直线有( )
A.15对 B.24对 C.36对 D.54对
2.空间四边形ABCD如图所示,E,F分别是边AB,AD的中点,G,H分别是边BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC,则直线FH与直线EG( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
3.(2022山东潍坊月考)一个正方体的展开图如图所示,则在原正方体中( )
A.AB∥CD B.AD∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH
4.(2024河北沧州沧衡学校联盟期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N,G,H分别为棱AB,BC,AD,CD,A1B1,C1D1的中点,P为DH的中点,连接EH,FG.对于空间任意两点I,J,若线段IJ上不存在也在线段EH,FG上的点,则称I,J两点“可视”,则与点B1“可视”的点为( )
A.D B.P C.M D.N
5.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨第二十四中学期中)如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是棱AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是( )
A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形
6.(2022浙江杭州月考)在下列图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
7.如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 如图,在△ACD中,H,G分别为边AD,DC的中点,所以HG为△ACD的中位线,所以HG∥AC,且HG=AC,在△ABD中,H,E分别为边AD,AB的中点,所以HE为△ABD的中位线,所以HE∥BD且HE=BD,同理GF∥BD且GF=BD,所以HE GF,所以平行四边形EFGH为平行四边形,又AC⊥BD,HG∥AC且HE∥BD,所以HG⊥HE,所以平行四边形EFGH是矩形.故选B.
2.BD 由等角定理可知,A错误,B正确;
由平行线的传递性可知,D正确;
对于C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角的关系不确定,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但∠A1D1C1=,∠A1BC1=,C错误.故选BD.
3.答案 50°或130°
解析 如图1,此时∠CO2D=∠AO1B=50°,
如图2,此时∠CO2D=180°-∠AO1B=130°.
4.证明 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1D1,且AD∥A1D1.
∵M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
∴AM=A1M1,且AM∥A1M1,
∴四边形AMM1A1为平行四边形,
∴MM1=AA1且MM1∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
∴MM1=BB1且MM1∥BB1,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)证法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1的两边方向都相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
证法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1=CM.
又∵B1C1=BC,
∴△BCM≌△B1C1M1,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
5.D 由已知得直线b与c相交或异面.
6.C 易得A,B,D中的a与b均异面,故A,B,D错误;
对于C,根据三角形的相似关系可得直线a与b平行,故C正确.故选C.
7.ABC 对于A,若a α,b β,则a与b相交、平行或异面,故A错误;
对于B,若a与b异面,b与c异面,则a与c相交、平行或异面,故B错误;
对于C,若a,b不同在平面α内,则a与b相交、平行或异面,故C错误;
对于D,根据异面直线的定义,若a,b不同在任何一个平面内,则a与b是异面直线,故D正确.
故选ABC.
8.答案 异面
解析 假设直线DE,BF共面,则EB 平面DEBF,
由A∈EB,得AB 平面DEBF,
同理,DC 平面DEBF,故AB,CD共面,
这与D-ABC是三棱锥矛盾,故假设错误,故直线DE,BF异面.
能力提升练
1.C 三棱柱ABC-A1B1C1中,与A1B1异面的直线有C1C,C1A,C1B,CA,CB,
与A1C1异面的直线有B1C,B1A,B1B,BA,BC,
与B1C1异面的直线有A1C,A1B,A1A,AB,AC,
与AA1异面的直线有BC,BC1,B1C,
与BB1异面的直线有AC,AC1,A1C,
与CC1异面的直线有AB,AB1,A1B,
与A1B异面的直线有AC,B1C,AC1,
与AB1异面的直线有BC,BC1,CA1,
与B1C异面的直线有AB,AC1,
与BC1异面的直线有AC,A1C,
与A1C异面的直线有AB,与AC1异面的直线有BC,
所以异面直线有5×3+3×5+2×2+1×2=36对.
故选C.
2.B 连接BD,EF,HG.
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF为△ABD的中位线,∴EF∥BD,且EF=BD,
又∵CG=BC,CH=DC,
∴HG∥BD,且HG=BD,
∴EF∥HG,即E,F,G,H四点共面,
又EF≠HG,∴四边形EFHG是梯形,
∴直线FH与直线EG相交,故选B.
3.C 把展开图还原成正方体,如图所示,由正方体的性质得,AB与CD相交,AD与EF异面,CD与GH平行,AB与GH异面.
4.D 如图,连接B1D,B1P,B1E,由正方体的性质及E,H分别为棱AB,C1D1的中点,得B1E∥HD,
所以线段B1D与EH相交,B1P与EH相交,故A、B错误;
连接MF,B1M,有AB∥MF,AB∥B1G,故B1G∥MF,
所以线段B1M与FG相交,C错误;
连接B1N,直线B1N与EH异面,直线B1N与FG也异面,D正确.
故选D.
5.ABC 由题意得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠DBC,故B中说法正确;对于C,由等角定理知∠MEQ=∠BCD,结合B选项知△BCD∽△MEQ,故C中说法正确;对于D,没有充分的理由来推证四边形MNPQ为矩形,故D中说法不正确.
6.答案 ②④
解析 题图①中,GH∥MN,所以GH与MN共面;
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,所以GH与MN异面;
题图③中,连接GM,易得GM∥HN,所以GH与MN共面;
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,所以GH与MN异面.
7.解析 (1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,
所以GH是△FAD的中位线,所以GH∥AD,GH=AD.
又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC,
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接CE,由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形,
所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,
所以EF∥CH,EF=CH,
所以四边形EFHC是平行四边形,
所以CE与FH共面,又D∈直线FH,
所以C,D,F,E四点共面.
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第十一章 立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
基础过关练
题组一 空间平行线的传递性与等角定理的应用
1.在空间四边形ABCD中,AC⊥BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH是( )
A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形
2.(多选题)(2022山东潍坊期中)下列说法中正确的是( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
3.(2024辽宁鞍山期末)已知∠AO1B和∠CO2D,∠AO1B=50°且O1A∥O2C,O1B∥O2D,则∠CO2D= .
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
题组二 空间两直线位置关系的判断
5.(2023山东临沂期中)已知直线a,b,c,若a与b是异面直线,a与c平行,则b与c的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行 D.相交或异面
6.(2022北京景山学校月考)以下四个图中,表示直线a与b平行的是( )
A B C D
7.(多选题)(2024吉林长春第二实验中学月考)已知α,β为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法错误的是( )
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
8.(2024北京海淀期末)如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关系是 (填“平行”“异面”“相交”).
能力提升练
题组 空间中两条直线的位置关系
1.(2024河南名校联盟教学质量检测)过三棱柱任意两个顶点的直线中,异面直线有( )
A.15对 B.24对 C.36对 D.54对
2.空间四边形ABCD如图所示,E,F分别是边AB,AD的中点,G,H分别是边BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC,则直线FH与直线EG( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
3.(2022山东潍坊月考)一个正方体的展开图如图所示,则在原正方体中( )
A.AB∥CD B.AD∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH
4.(2024河北沧州沧衡学校联盟期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N,G,H分别为棱AB,BC,AD,CD,A1B1,C1D1的中点,P为DH的中点,连接EH,FG.对于空间任意两点I,J,若线段IJ上不存在也在线段EH,FG上的点,则称I,J两点“可视”,则与点B1“可视”的点为( )
A.D B.P C.M D.N
5.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨第二十四中学期中)如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是棱AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是( )
A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形
6.(2022浙江杭州月考)在下列图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
7.如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 如图,在△ACD中,H,G分别为边AD,DC的中点,所以HG为△ACD的中位线,所以HG∥AC,且HG=AC,在△ABD中,H,E分别为边AD,AB的中点,所以HE为△ABD的中位线,所以HE∥BD且HE=BD,同理GF∥BD且GF=BD,所以HE GF,所以平行四边形EFGH为平行四边形,又AC⊥BD,HG∥AC且HE∥BD,所以HG⊥HE,所以平行四边形EFGH是矩形.故选B.
2.BD 由等角定理可知,A错误,B正确;
由平行线的传递性可知,D正确;
对于C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角的关系不确定,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但∠A1D1C1=,∠A1BC1=,C错误.故选BD.
3.答案 50°或130°
解析 如图1,此时∠CO2D=∠AO1B=50°,
如图2,此时∠CO2D=180°-∠AO1B=130°.
4.证明 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1D1,且AD∥A1D1.
∵M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
∴AM=A1M1,且AM∥A1M1,
∴四边形AMM1A1为平行四边形,
∴MM1=AA1且MM1∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
∴MM1=BB1且MM1∥BB1,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)证法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1的两边方向都相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
证法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1=CM.
又∵B1C1=BC,
∴△BCM≌△B1C1M1,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
5.D 由已知得直线b与c相交或异面.
6.C 易得A,B,D中的a与b均异面,故A,B,D错误;
对于C,根据三角形的相似关系可得直线a与b平行,故C正确.故选C.
7.ABC 对于A,若a α,b β,则a与b相交、平行或异面,故A错误;
对于B,若a与b异面,b与c异面,则a与c相交、平行或异面,故B错误;
对于C,若a,b不同在平面α内,则a与b相交、平行或异面,故C错误;
对于D,根据异面直线的定义,若a,b不同在任何一个平面内,则a与b是异面直线,故D正确.
故选ABC.
8.答案 异面
解析 假设直线DE,BF共面,则EB 平面DEBF,
由A∈EB,得AB 平面DEBF,
同理,DC 平面DEBF,故AB,CD共面,
这与D-ABC是三棱锥矛盾,故假设错误,故直线DE,BF异面.
能力提升练
1.C 三棱柱ABC-A1B1C1中,与A1B1异面的直线有C1C,C1A,C1B,CA,CB,
与A1C1异面的直线有B1C,B1A,B1B,BA,BC,
与B1C1异面的直线有A1C,A1B,A1A,AB,AC,
与AA1异面的直线有BC,BC1,B1C,
与BB1异面的直线有AC,AC1,A1C,
与CC1异面的直线有AB,AB1,A1B,
与A1B异面的直线有AC,B1C,AC1,
与AB1异面的直线有BC,BC1,CA1,
与B1C异面的直线有AB,AC1,
与BC1异面的直线有AC,A1C,
与A1C异面的直线有AB,与AC1异面的直线有BC,
所以异面直线有5×3+3×5+2×2+1×2=36对.
故选C.
2.B 连接BD,EF,HG.
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF为△ABD的中位线,∴EF∥BD,且EF=BD,
又∵CG=BC,CH=DC,
∴HG∥BD,且HG=BD,
∴EF∥HG,即E,F,G,H四点共面,
又EF≠HG,∴四边形EFHG是梯形,
∴直线FH与直线EG相交,故选B.
3.C 把展开图还原成正方体,如图所示,由正方体的性质得,AB与CD相交,AD与EF异面,CD与GH平行,AB与GH异面.
4.D 如图,连接B1D,B1P,B1E,由正方体的性质及E,H分别为棱AB,C1D1的中点,得B1E∥HD,
所以线段B1D与EH相交,B1P与EH相交,故A、B错误;
连接MF,B1M,有AB∥MF,AB∥B1G,故B1G∥MF,
所以线段B1M与FG相交,C错误;
连接B1N,直线B1N与EH异面,直线B1N与FG也异面,D正确.
故选D.
5.ABC 由题意得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠DBC,故B中说法正确;对于C,由等角定理知∠MEQ=∠BCD,结合B选项知△BCD∽△MEQ,故C中说法正确;对于D,没有充分的理由来推证四边形MNPQ为矩形,故D中说法不正确.
6.答案 ②④
解析 题图①中,GH∥MN,所以GH与MN共面;
题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,所以GH与MN异面;
题图③中,连接GM,易得GM∥HN,所以GH与MN共面;
题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,所以GH与MN异面.
7.解析 (1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,
所以GH是△FAD的中位线,所以GH∥AD,GH=AD.
又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC,
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接CE,由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形,
所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,
所以EF∥CH,EF=CH,
所以四边形EFHC是平行四边形,
所以CE与FH共面,又D∈直线FH,
所以C,D,F,E四点共面.
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