2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--第十章 复数

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2025人教B版高中数学必修第四册
第十章　复数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位,复数z=,则的虚部为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.3
C.-2 D.2
2.已知复数z=2i·(1-i),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知复数z=为纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则a=(　　)
A.-2 B.- D.2
4.已知z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t的值为(　　)
A.
C.-
6.已知1+2i是关于复数z的方程z2-mz+n=0(m,n∈R)的一根,则m+n=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
7.非零复数z1,z2在复平面内分别对应向量,(O为坐标原点),若+=0,则(　　)
A.O,Z1,Z2三点共线
B.△OZ1Z2是直角三角形
C.△OZ1Z2是等边三角形
D.以上都不对
8.若复数z=a+bi(a,b≠0),=2,则与a,b的值无关的是(　　)
A.
C.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),则下列命题正确的是(　　)
A.若z为纯虚数,则m=1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限内
10.已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z在复平面内对应的点在第一象限内,则下列结论正确的是(　　)
A.复数z的虚部为-
B.i
C.z2=z-1
D.复数z的共轭复数为-i
11.已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=|a|+|b|,D(z1,z2)=|z1-z2|,则下列结论正确的是(　　)
A.对任意的z∈C,都有D(z)>0
B.若是复数z的共轭复数,则D()=D(z)恒成立
C.若D(z1)=D(z2),则z1=z2
D.对任意z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上)
12.若复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为　　　.
13.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=　　　　;z·=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.若1≤|z|≤2,则复数u=(1+i)在复平面内对应的点A组成的集合所表示的图形的面积为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)当实数m满足什么条件时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i:
(1)与复数2-12i相等
(2)与复数12+16i互为共轭复数
(3)在复平面内对应的点在实轴上方
16.(15分)在①z<0;②z为虚数;③z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.
已知复数z=(m2-2m-8)+(m2-4)i(m∈R).
(1)若　　　　,求实数m的值或取值范围;
(2)若复数z-m2(1+i)+8的模为2,求m的值.
17.(15分)已知复数z1,z2满足z1·z2∈R,z1=.
(1)求z1;
(2)求|2z1+z2|的最小值.
18.(17分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
19.(17分)复数z和ω满足zω+2iz-2iω+1=0,其中i为虚数单位.
(1)若z和ω满足-z=2i,求z和ω;
(2)求证:如果|z|=,那么|ω-4i|是一个常数,并求这个常数.
答案全解全析
1.A　z==3i(1+i)=-3+3i,所以=-3-3i,其虚部为-3,故选A.
2.A　因为z=2i·(1-i)=2i-2i2=2+2i,所以该复数在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限.故选A.
3.B　 z=i,
因为z为纯虚数,所以.故选B.
4.A　若z1=z2,则解得m=1或m=-2,所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.
5.A　因为z2=t+i,所以=t-i,
所以z1·=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i,
因为z1·.
6.C　因为1+2i是关于复数z的方程z2-mz+n=0的一根,
所以1-2i也是关于复数z的方程z2-mz+n=0的一根,
则1+2i+1-2i=m,(1+2i)(1-2i)=n,所以m=2,n=5,所以m+n=7.故选C.
7.B　设z1=a+bi(ab≠0),z2=c+di(cd≠0),
则Z1(a,b),Z2(c,d),故=(a,b),=(c,d),
因为+=0,所以=-=,所以z1=±z2·i=±(-d+ci),
所以故=(b,-a)或=(-b,a),
当=(b,-a)时,·=0;
当=(-b,a)时,·=0,
所以OZ1⊥OZ2,所以△OZ1Z2是直角三角形,
故O,Z1,Z2三点不共线且△OZ1Z2不是等边三角形.
故选B.
8.A　因为z=a+bi(a,b≠0),所以,
所以=2,
所以+=4,即(a-a2-b2)2+b2=4(a2+b2)2,
所以a2-2a(a2+b2)+b2=3(a2+b2)2,
因为a,b≠0,所以a2+b2≠0,所以a2+b2+,所以,
所以的值与a,b的值无关.
故选A.
9.ABD　复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)的实部为m2-1,虚部为m+1,
复数z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),
对于A,若z为纯虚数,则解得m=1,故A正确;
对于B,若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则m2-1=0,故z=0,故B正确;
对于C,因为z在复平面内对应的点在直线y=2x上,
所以m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C错误;
对于D,令不等式组无解,
所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限内,故D正确.
故选ABD.
10.BC　由题意可设z=a+bi(a>0,b>0),
∵|z|=|z-1|=1,∴,故A错误;
i,故B正确;
z2=i,
∴z2=z-1,故C正确;i,故D错误.故选BC.
11.BD　对于A,由定义知,当z=0时,D(z)=0,故A错误;
对于B,由题意得=a-bi,所以D()=D(z)=|a|+|b|,故B正确;
对于C,若D(z1)=D(z2),则两个复数的实部、虚部可以对应相等,也可以对应互为相反数,故C错误;
对于D,依题意得D(z1,z3)=|z1-z3|,D(z1,z2)=|z1-z2|,D(z2,z3)=|z2-z3|,根据复数减法的模的几何意义可知,|z1-z3|表示复数z1和z3对应两点间的距离,|z1-z2|表示复数z1和z2对应两点间的距离,|z2-z3|表示复数z2和z3对应两点间的距离.根据三角形两边之和大于第三边可知|z1-z2|+|z2-z3|>|z1-z3|,当z2对应的点在z1和z3对应的两点连成的线段上时,|z1-z2|+|z2-z3|=|z1-z3|,所以D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)成立,所以D正确.故选BD.
12.答案　5-i
解析　∵(z-3)(2-i)=5,∴z-3==2+i,
∴z=5+i,∴=5-i.
13.答案　;16
解析　∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴
解得a=-2,∴z=-4i,∴,z·=16.
14.答案　6π
解析　由u=(1+i)得,因为|z|=|)2]=6π.
15.解析　(1)根据复数相等的充要条件,得解得m=-1.(4分)
(2)根据共轭复数的定义,得解得m=1.(8分)
(3)根据复数z在复平面内对应的点在实轴上方,可得m2-2m-15>0,解得m<-3或m>5.(13分)
16.解析　(1)选择①:若z<0,则解得m=2.(5分)
选择②:若z为虚数,则m2-4≠0,解得m≠±2.(5分)
选择③:若z为纯虚数,则m2-2m-8=0,且m2-4≠0,解得m=4.(5分)
(2)由z=(m2-2m-8)+(m2-4)i(m∈R)可知,
z-m2(1+i)+8=(m2-2m-8)+(m2-4)i-m2i-m2+8=-2m-4i.(10分)
依题意,得,解得m=±1.(15分)
17.解析　(1)z1=i.(5分)
(2)设z2=a+bi(a,b∈R),则z1·z2=. (8分)
因为z1·z2∈R,所以a+b+bi(b∈R).(10分)
|2z1+z2|=|(1-b)(12分)
=时取等号,
故|2z1+z2|的最小值为.(15分)
18.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件得a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,则2ab=2,所以a=b=1或a=b=-1,(4分)
即z=1+i或z=-1-i.(6分)
(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=×2×1=1;(11分)
当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=×2×1=1.
综上,△ABC的面积为1.(17分)
19.解析　(1)设z=a+bi,ω=c+di(a,b,c,d∈R).
由zω+2iz-2iω+1=0,得(a+bi)(c+di)+2i(a+bi)-2i(c+di)+1=0,
即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c)i=0,
所以ac-bd-2b+2d+1=0①,ad+bc+2a-2c=0②.
又-z=2i,所以c-di-(a+bi)=2i,即(c-a)-(b+d)i=2i,
所以c-a=0③,b+d=-2④.
由①②③④,解得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3,
所以z=-i,ω=-i或z=3i,ω=-5i.(8分)
(2)因为zω+2iz-2iω+1=0,所以z(ω+2i)=2iω-1,
所以|z(ω+2i)|=|2iω-1|,
即|z|·|ω+2i|=|2iω-1|.
设ω=x+yi(x,y∈R),代入上式并整理,得
,
两边平方,得3x2+3y2+12y+12=4x2+4y2+4y+1,化简,得x2+y2-8y=11.
所以|ω-4i|=|x+yi-4i|=
=,是一个常数.
故|ω-4i|是一个常数,且这个常数为3 .(17分)
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