2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--第十章 复数拔高练

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2025人教B版高中数学必修第四册
综合拔高练
五年高考练
考点1　复数的有关概念
1.(2023全国甲理,2)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
2.(2020全国Ⅲ理,2)复数的虚部是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　
C.　　　　D.
3.(2024新课标Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2
4.(2020浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
5.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　
C.2-i　　　　D.2+i
考点2　复数的几何意义
6.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
7.(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=(　　)
A.1+2i　　　　B.-2+i
C.1-2i　　　　D.-2-i
考点3　复数的运算
8.(2024全国甲理,1)若z=5+i,则i(+z)=(　　)
A.10i　　　　B.2i　　　　
C.10　　　　D.2
9.(2024新课标Ⅰ,2)若=1+i,则z=(　　)
A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　
C.1-i　　　　D.1+i
10.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.　　　　D.5
11.(2023全国甲文,2)=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　
C.1-i　　　　D.1+i
12.(2023新课标Ⅰ,2)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　　　B.i　　　　C.0　　　　D.1
13.(2022全国乙理,2)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-2　　　　B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2　　　　D.a=-1,b=-2
14.(2021全国甲理,3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=　(　　)
A.-1-i　　　　B.-1+i
C.-+i　　　　D.--i
15.(2021全国乙理,1)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i
C.1+i　　　　D.1-i
16.(2023天津,10)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　.
17.(2024上海,9)已知虚数z,其实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024安徽芜湖安徽师范大学附属中学模拟考试)已知复数z=a+bi(a,b∈R)且关于x的方程x2-(4+2i)x+4+ai=0有实数根b,则|z2|=(　　)
A.2　　　　B.12　　　　C.2　　　　D.20
2.(2024山东济南模拟)已知复数z1,z2满足2|z1|=|z2|=|2z1-z2|=2,则=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.2
3.(多选题)(2024河南许昌禹州高级中学月考)设复数z1=-i,z2=x+yi(x,y∈R),z1,z2对应的向量分别为,(O为坐标原点),则(　　)
A.|z1|=2
B.若∥,则x+y=0
C.若⊥且|z2|=1,则x=±
D.若|z1-z2|=,则|z2|的最大值为2+
4.(多选题)(2024湖南长沙四县区调研)设z为非零复数,则下列命题中正确的是(　　)
A.z2=|z|2
B.|z|2=z
C.|z2|=z2
D.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2
5.(多选题)(2024山东青岛莱西期末)欧拉公式exi=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,它把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂,根据欧拉公式,下列结论正确的是(　　)
A.e3i在复平面内对应的点在第三象限内
B.|eiθ|=1
C.eπi的共轭复数为1
D.复数的实部为
6.(2022江西南昌期末)已知复数z对应的点在复平面的第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):
甲:z+=2;乙:z-=2i;丙:z=4;丁:=.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z=　　　　.
7.(2022上海黄浦期中)已知i为虚数单位,复数z=2+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根.
(1)求实数m,n的值;
(2)在复平面内,复数z,,z2所对应的向量分别为a,b,c,若(λa+b)⊥(b+c),求实数λ的值.
迁移创新
8.(2022江苏南通海安月考)已知复数z1=(a+i)2,z2=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内,复数z1z2对应的点位于第二象限,求a的取值范围;
(2)若是纯虚数,a是正实数.
①求a;
②求+++…+.
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.C　因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,
所以解得a=1.
2.D　==,所以虚部为.
3.C　若z=-1-i,则|z|==.
故选C.
4.C　因为a-1+(a-2)i为实数,a∈R,所以a-2=0,解得a=2,故选C.
5.B　z=====1-2i,则=1+2i.
6.A　因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,所以所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.
7.B　由复数的几何意义可知z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.
8.A　由z=5+i得=5-i,则z+=10,则i(+z)=10i.
故选A.
9.C　因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C.
10.C　由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,
则|2+i2+2i3|=|1-2i|==.
11.C　==1-i.
12.A　因为z====-i,所以=i,即z-=-i.
13.A　由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以解得故选A.
14.B　由题意得z=====-1+i.
15.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
16.答案　4+i
解析　由题意,得===4+i.
17.答案　2
解析　设z=1+bi,b∈R且b≠0.
则z+=1+bi+=+i=m,
∵m∈R,∴解得m=2.
三年模拟练
1.D　由题意知b为x2-(4+2i)x+4+ai=0的实数根,
则b2-(4+2i)b+4+ai=0,即b2-4b+4+(a-2b)i=0,
则解得所以z=4+2i,
所以|z2|=42+22=20.故选D.
2.B　设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则2z1-z2=(2a-c)+(2b-d)i,由已知得2===2,
所以a2+b2=1,c2+d2=4,8-4(ac+bd)=4,即ac+bd=1,
则=
=
==,故选B.
3.ACD　对于A,由z1=-i,可得|z1|==2,所以A正确;
对于B,由z1=-i,z2=x+yi,得=(,-1),=(x,y),因为∥,所以x+y=0,所以B错误;
对于C,因为⊥,所以x-y=0,即y=x,
又因为|z2|=1,所以x2+y2=1,
由可得x2=,解得x=±,所以C正确;
对于D,由z1=-i,z2=x+yi,可得z1-z2=(-x)-(1+y)i,
因为|z1-z2|=,所以=,即(x-)2+(y+1)2=3,故z2对应的点的轨迹为以(,-1)为圆心,为半径的圆,
设C(,-1),O(0,0),则|OC|=2,故原点到圆上点的距离的最大值为|OC|+=2+,即|z2|的最大值为2+,所以D正确.
故选ACD.
4.思路分析　对于A,结合题意进行判断,举反例即可;对于B,设z=a+bi(a,b∈R),先求出共轭复数和模的平方,求解即可;对于C,举反例证明即可;对于D,利用|z|=1的几何意义求解即可.
BD　对于A,设z=a+bi(a,b∈R),当a,b均不为0时,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,为虚数,|z|2=a2+b2,为实数,所以z2=|z|2不成立,故A错误;
对于B,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以|z|=,|z|2=a2+b2,
而z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,所以|z|2=z成立,故B正确;
对于C,设z=i,|z2|=|i2|=1,又z2=i2=-1,所以|z2|≠z2,故C错误;
对于D,设z在复平面内对应的点为P,由|z|=1可知点P的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z+i|=|z-(-i)|的几何意义为点P与点(0,-1)之间的距离,设Q(0,-1),
易知当点P为(0,1)时,|PQ|最大,即|z+i|最大,
且最大值为2,故D正确.
故选BD.
5.思路分析　由复数的几何意义可判断A,由复数模的运算可判断B,由共轭复数、实部的概念可判断C、D.
BD　对于A,e3i=cos 3+isin 3在复平面内对应的点为(cos 3,sin 3),因为<3<π,所以这个点在第二象限内,故A错误;
对于B,|eiθ|=|cos θ+isin θ|==1,故B正确;
对于C,eπi=cos π+isin π=-1,其共轭复数为-1,故C错误;
对于D,==cos+isin=+i,其实部为,故D正确.
故选BD.
6.答案　1+i
解析　设z=a+bi(a,b∈R,且a>0,b>0),则=a-bi,
∴z+=2a,z-=2bi,z=a2+b2,=.
∵z=4与=不可能同时成立,
∴丙、丁的陈述不能同时正确;
∵当z-=2i时,b=,b2=3>2,∴=不成立,∴乙、丁的陈述不能同时正确;
当甲、乙的陈述正确时,a=1,b=,则丙的陈述也正确,不符合题意;
当甲、丙的陈述正确时,a=1,b=,则乙的陈述也正确,不符合题意;
当乙、丙的陈述正确时,b=,a=1,则甲的陈述也正确,不符合题意,∴甲、丁陈述正确,此时a=b=1,∴z=1+i.
7.解析　(1)因为z=2+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,
所以=2-2i也是该方程的根,
故即m=-4,n=8.
(2)因为z=2+2i,所以=2-2i,z2=(2+2i)2=8i,
故a=(2,2),b=(2,-2),c=(0,8),
因为(λa+b)⊥(b+c),
所以(λa+b)·(b+c)=(2λ+2,2λ-2)·(2,6)=4λ+4+12λ-12=0,解得λ=.
8.解析　(1)z1=(a+i)2=a2-1+2ai,
z1z2=(4a2+6a-4)+(3+8a-3a2)i,
∵在复平面内,复数z1z2对应的点位于第二象限,
∴解得-(2)①==
=
=,
∵是纯虚数,∴
又a是正实数,∴a=2.
②当a=2时,==i,则+++…+=i+i2+i3+…+i2 019+i2 020=i-1-i+…-i+1=0.
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