2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--第十章 复数复习提升
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--第十章 复数复习提升 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-03 11:18:50 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第四册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对复数的有关概念理解不清而致误
1.(2024广东深圳致理中学月考)已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(2,-2),则复数z的虚部为( )
A.-2 B.-2i C.2 D.2i
2.(2024山东省实验中学阶段测试)复数z=a2-a-6+(a2-3a-10)i,其中a∈R.
(1)若复数z为实数,求a的值;
(2)若复数z为纯虚数,求a的值.
易错点2 混淆实数的绝对值与复数模的区别而致误
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆
4.在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.
易错点3 对复数及其运算的几何意义理解不透彻而致误
5.(2024福建师范大学附属中学期中)已知复数z满足|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为 .
6.在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
易错点4 不考虑一元二次方程的求根公式的条件而致误
7.(2023上海开学考试)若方程x2-2x+3=0的两个根分别为α,β,则|α|+|β|= .
8.已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
思想方法练
一、函数与方程思想在复数中的应用
1.(2024山东临沂一模)若虚数单位i是关于x的方程ax3+bx2+bx+1=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|=( )
A.0 B.1 C. D.2
2.已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,求复数z的模的最小值.
二、数形结合思想在复数中的应用
3.(2024江苏决胜新高考大联考)若复数z=cos θ+isin θ(θ∈R),则|z-2+2i|的最大值是( )
A.2-1 B.2+1
C.+1 D.2+3
4.在复平面内的四个点O,A,B,C恰好为平行四边形OABC的四个顶点,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则zA-zC= .
三、分类讨论思想在复数中的应用
5.若复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
6.设方程x2-2x+k=0的根分别为α,β,且|α-β|=2,求实数k的值.
四、转化与化归思想在复数中的应用
7.(2022江苏常熟外国语学校期中)设z是虚数,且实数ω=z+满足-1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
8.(2024天津第四十一中学月考)已知z是复数,z+2i与均为实数.
(1)求复数z;
(2)复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限内,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C 由已知得=2-2i,故z=2+2i,故z的虚部为2.
易错警示 复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,不是bi.
2.解析 (1)由复数z为实数,得a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2.
(2)因为复数z为纯虚数,
所以解得a=3.
易错警示 利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准分别列出实部、虚部应满足的关系式,求解参数时,考虑问题要全面.
3.A 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,∵|z|≥0,∴|z|=3,故复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆.
易错警示 在复平面内,|z|表示动点Z到定点O(0,0)的距离.
4.解析 因为x∈C,所以设x=a+bi(a,b∈R),代入方程得(a+bi)2-5+6=0,即a2-b2-5+6+2abi=0,所以
解得或
所以原方程有6个解,分别为i,-i,2,-2,3,-3.
易错警示 在复数范围内解方程,要注意此处的|x|应看成复数x的模,不能认为是x的绝对值.
5.答案 -1
解析 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复数z与复数1-2i在复平面内对应的两点之间的距离为1,所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,-2)为圆心,1为半径的圆,如图,
|z|表示圆上的点到原点的距离,由图可知,|z|的最小值为-1=-1.
方法技巧 解决复数的模的几何意义问题要把握以下关键点:①|z|表示点Z到原点的距离,②|z|=r表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆,③|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离.在遇到与此相关的题目时,通常借助复数的几何意义从几何角度解题.
6.解析 由复数减法的几何意义,得对应的复数为z2-z1,
对应的复数为z3-z1,
对应的复数为z4-z1,
根据向量的平行四边形法则,得=+,
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
所以z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
所以AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.
易错警示 本题易在复数与向量的对应运算中出现顺序错误,也易在平行四边形的向量表示中出现不等价的错误.
7.答案 2
解析 由题知Δ=4-12=-8<0,此时方程的两个根为共轭虚根,设α=m+ni(m,n∈R),则β=m-ni(m,n∈R),∴αβ=m2+n2=3,∴|α|+|β|=2=2.
8.解析 由z1-4=(3-2z1)i,得z1(1+2i)=4+3i,
所以z1==2-i,所以z=+|-i|=3+i.
若实系数一元二次方程有虚数根z=3+i,
则必有共轭虚数根=3-i.
因为z+=6,z=10,
所以所求的实系数一元二次方程是x2-6x+10=0.
易错警示 实系数一元二次方程的虚数根成对出现,且虚数根满足根与系数的关系.
思想方法练
1.C 因为i是关于x的方程ax3+bx2+bx+1=0(a,b∈R)的一个根,
所以ai3+bi2+bi+1=0,即-ai-b+bi+1=0,即(b-a)i+(1-b)=0,
利用复数相等的充要条件列出方程组.
则解得所以|a+bi|=|1+i|==.
故选C.
2.解析 设x∈R,且x≠0,
则z=-=--i,
∴|z|==≥3,
通过分离法求出复数z,应用复数模的定义将|z|表示为关于x的式子,根据均值不等式讨论最值.
当且仅当x2=,即x=±时取等号,
故|z|min=3.
思想方法 运用方程思想将复数问题转化为待定字母的确定问题,而字母的确定常通过解方程(组)来完成.求复数模的最值问题常需要转化为关于复数z=x+yi(x,y∈R)的实部x和虚部y的二次函数进行讨论,体现了函数的思想.
3.B 设z=cos θ+isin θ(θ∈R)在复平面内对应的点为P,则P(cos θ,sin θ),易知点P在以原点为圆心的单位圆上,设z1=2-2i在复平面内对应的点为A,则A(2,-2),如图,
根据复数模的几何意义,将复数模的问题转化为两点间的距离问题,画出图形求解,体现了数形结合思想.
所以|z-2+2i|=PA,易知PA≤AO+1=2+1.
故选B.
4.答案 2-4i
解析 根据题意画出图形如图所示:
因为+=,
根据复数的几何意义构造复数的等量方程.
所以(4+ai)+(a+bi)=6+8i.
因为a,b∈R,所以解得
所以zA=4+2i,zC=2+6i,
所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
5.C ①当a2-a-2≠0时,复数z一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2.
②当|a-1|-1=0时,复数z是实数,不是纯虚数,解得a=0或a=2.
不是纯虚数包含两种情况:非纯虚数与实数,结合实部的取值分类讨论.
综上,当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.
6.解析 对于方程x2-2x+k=0,有Δ=4-4k.
根据Δ的范围分类讨论.
当Δ≥0,即k≤1时,方程有两个实数根,
∴|α-β|===2,
解得k=-1;
当Δ<0,即k>1时,方程有两个虚数根,
即α=1+i,β=1-i,
∴|α-β|=|2i|=2=2,
解得k=3.
综上,实数k的值为-1或3.
7.解析 设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)由题得ω=a+bi+=+i.
∵ω是实数,∴b-=0,
∵b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1,∴ω=2a.
又-1<ω<2,∴-∴z的实部的取值范围为.
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(2)证明:μ====-i.
∵a∈,b≠0,∴μ为纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2-3,
∵a∈,∴a+1>0,
∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.
8.解析 (1)设z=x+yi(x,y∈R),所以z+2i=x+(y+2)i,===,
利用复数的除法运算法则进行分母实数化,把除法运算转化为乘法运算.
因为z+2i与均为实数,所以y+2=0且x+2y=0,
利用复数是实数的条件把求未知数的问题转化为解方程问题.
所以y=-2,x=4,所以z=4-2i.
(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
利用复数的四则运算法则把所给复数化为代数形式.
由条件得
利用复数的几何意义把待求问题转化为解不等式组问题.
解得2思想方法 在复数问题中,转化与化归思想主要是利用复数的代数形式,将复数问题转化为实数问题来解决.
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本章复习提升
易混易错练
易错点1 对复数的有关概念理解不清而致误
1.(2024广东深圳致理中学月考)已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(2,-2),则复数z的虚部为( )
A.-2 B.-2i C.2 D.2i
2.(2024山东省实验中学阶段测试)复数z=a2-a-6+(a2-3a-10)i,其中a∈R.
(1)若复数z为实数,求a的值;
(2)若复数z为纯虚数,求a的值.
易错点2 混淆实数的绝对值与复数模的区别而致误
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆
4.在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.
易错点3 对复数及其运算的几何意义理解不透彻而致误
5.(2024福建师范大学附属中学期中)已知复数z满足|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为 .
6.在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
易错点4 不考虑一元二次方程的求根公式的条件而致误
7.(2023上海开学考试)若方程x2-2x+3=0的两个根分别为α,β,则|α|+|β|= .
8.已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
思想方法练
一、函数与方程思想在复数中的应用
1.(2024山东临沂一模)若虚数单位i是关于x的方程ax3+bx2+bx+1=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|=( )
A.0 B.1 C. D.2
2.已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,求复数z的模的最小值.
二、数形结合思想在复数中的应用
3.(2024江苏决胜新高考大联考)若复数z=cos θ+isin θ(θ∈R),则|z-2+2i|的最大值是( )
A.2-1 B.2+1
C.+1 D.2+3
4.在复平面内的四个点O,A,B,C恰好为平行四边形OABC的四个顶点,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则zA-zC= .
三、分类讨论思想在复数中的应用
5.若复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
6.设方程x2-2x+k=0的根分别为α,β,且|α-β|=2,求实数k的值.
四、转化与化归思想在复数中的应用
7.(2022江苏常熟外国语学校期中)设z是虚数,且实数ω=z+满足-1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
8.(2024天津第四十一中学月考)已知z是复数,z+2i与均为实数.
(1)求复数z;
(2)复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限内,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C 由已知得=2-2i,故z=2+2i,故z的虚部为2.
易错警示 复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,不是bi.
2.解析 (1)由复数z为实数,得a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2.
(2)因为复数z为纯虚数,
所以解得a=3.
易错警示 利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准分别列出实部、虚部应满足的关系式,求解参数时,考虑问题要全面.
3.A 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,∵|z|≥0,∴|z|=3,故复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆.
易错警示 在复平面内,|z|表示动点Z到定点O(0,0)的距离.
4.解析 因为x∈C,所以设x=a+bi(a,b∈R),代入方程得(a+bi)2-5+6=0,即a2-b2-5+6+2abi=0,所以
解得或
所以原方程有6个解,分别为i,-i,2,-2,3,-3.
易错警示 在复数范围内解方程,要注意此处的|x|应看成复数x的模,不能认为是x的绝对值.
5.答案 -1
解析 根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复数z与复数1-2i在复平面内对应的两点之间的距离为1,所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,-2)为圆心,1为半径的圆,如图,
|z|表示圆上的点到原点的距离,由图可知,|z|的最小值为-1=-1.
方法技巧 解决复数的模的几何意义问题要把握以下关键点:①|z|表示点Z到原点的距离,②|z|=r表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆,③|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离.在遇到与此相关的题目时,通常借助复数的几何意义从几何角度解题.
6.解析 由复数减法的几何意义,得对应的复数为z2-z1,
对应的复数为z3-z1,
对应的复数为z4-z1,
根据向量的平行四边形法则,得=+,
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
所以z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
所以AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.
易错警示 本题易在复数与向量的对应运算中出现顺序错误,也易在平行四边形的向量表示中出现不等价的错误.
7.答案 2
解析 由题知Δ=4-12=-8<0,此时方程的两个根为共轭虚根,设α=m+ni(m,n∈R),则β=m-ni(m,n∈R),∴αβ=m2+n2=3,∴|α|+|β|=2=2.
8.解析 由z1-4=(3-2z1)i,得z1(1+2i)=4+3i,
所以z1==2-i,所以z=+|-i|=3+i.
若实系数一元二次方程有虚数根z=3+i,
则必有共轭虚数根=3-i.
因为z+=6,z=10,
所以所求的实系数一元二次方程是x2-6x+10=0.
易错警示 实系数一元二次方程的虚数根成对出现,且虚数根满足根与系数的关系.
思想方法练
1.C 因为i是关于x的方程ax3+bx2+bx+1=0(a,b∈R)的一个根,
所以ai3+bi2+bi+1=0,即-ai-b+bi+1=0,即(b-a)i+(1-b)=0,
利用复数相等的充要条件列出方程组.
则解得所以|a+bi|=|1+i|==.
故选C.
2.解析 设x∈R,且x≠0,
则z=-=--i,
∴|z|==≥3,
通过分离法求出复数z,应用复数模的定义将|z|表示为关于x的式子,根据均值不等式讨论最值.
当且仅当x2=,即x=±时取等号,
故|z|min=3.
思想方法 运用方程思想将复数问题转化为待定字母的确定问题,而字母的确定常通过解方程(组)来完成.求复数模的最值问题常需要转化为关于复数z=x+yi(x,y∈R)的实部x和虚部y的二次函数进行讨论,体现了函数的思想.
3.B 设z=cos θ+isin θ(θ∈R)在复平面内对应的点为P,则P(cos θ,sin θ),易知点P在以原点为圆心的单位圆上,设z1=2-2i在复平面内对应的点为A,则A(2,-2),如图,
根据复数模的几何意义,将复数模的问题转化为两点间的距离问题,画出图形求解,体现了数形结合思想.
所以|z-2+2i|=PA,易知PA≤AO+1=2+1.
故选B.
4.答案 2-4i
解析 根据题意画出图形如图所示:
因为+=,
根据复数的几何意义构造复数的等量方程.
所以(4+ai)+(a+bi)=6+8i.
因为a,b∈R,所以解得
所以zA=4+2i,zC=2+6i,
所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
5.C ①当a2-a-2≠0时,复数z一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2.
②当|a-1|-1=0时,复数z是实数,不是纯虚数,解得a=0或a=2.
不是纯虚数包含两种情况:非纯虚数与实数,结合实部的取值分类讨论.
综上,当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.
6.解析 对于方程x2-2x+k=0,有Δ=4-4k.
根据Δ的范围分类讨论.
当Δ≥0,即k≤1时,方程有两个实数根,
∴|α-β|===2,
解得k=-1;
当Δ<0,即k>1时,方程有两个虚数根,
即α=1+i,β=1-i,
∴|α-β|=|2i|=2=2,
解得k=3.
综上,实数k的值为-1或3.
7.解析 设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)由题得ω=a+bi+=+i.
∵ω是实数,∴b-=0,
∵b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1,∴ω=2a.
又-1<ω<2,∴-
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(2)证明:μ====-i.
∵a∈,b≠0,∴μ为纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2-3,
∵a∈,∴a+1>0,
∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.
8.解析 (1)设z=x+yi(x,y∈R),所以z+2i=x+(y+2)i,===,
利用复数的除法运算法则进行分母实数化,把除法运算转化为乘法运算.
因为z+2i与均为实数,所以y+2=0且x+2y=0,
利用复数是实数的条件把求未知数的问题转化为解方程问题.
所以y=-2,x=4,所以z=4-2i.
(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
利用复数的四则运算法则把所给复数化为代数形式.
由条件得
利用复数的几何意义把待求问题转化为解不等式组问题.
解得2
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