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2025人教B版高中数学必修第四册
专题强化练1 正弦定理、余弦定理的综合应用
1.(2024辽宁辽阳期中)在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C的对边.若+=3cos C,且cos(A-B)=-,则cos C=( )
A.- B.
C. D.或-
2.(2024福建福州期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,b2+c2-a2=bc,若BC边上的中线AD=,则△ABC外接圆的面积是 ( )
A.4π B.8π C.12π D.16π
3.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若2S=3(bsin C+csin B),则下列命题中错误的是( )
A.若A=,且b=7,则B有两解
B.若C=2A,且△ABC为锐角三角形,则c的取值范围为(6,6)
C.若A=2C,且sin B=2sin C,则△ABC外接圆的半径为2
D.若b=2c,则S的最大值为6
4.(2024广西南宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且∠BAC=,AD平分∠BAC,交BC于点D,AD=1,则△ABC的面积的最小值为 ;若a=2,则△ABC的面积为 .
5.( 2023广东东莞第七高级中学月考)如图所示,有一块三角形的空地,∠ABC=,BC=4千米,AB=4千米,则∠ACB= ;现要在空地中修建一个三角形的绿化区域,其三个顶点分别为B,D,E,其中D,E为AC边上的点,若∠DBE=,则BD+BE的最小值为 千米.
6.(2024山东青岛五十八中期中)在①=;②+=;③设△ABC的面积为S,且4S+3(b2-a2)=3c2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, ,b=2.
(1)若a+c=4,求△ABC的面积;
(2)求△ABC周长的取值范围;
(3)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.C 因为+=3cos C,
所以由余弦定理得+=3·,整理得3c2=a2+b2,
由正弦定理得3sin2C=sin2A+sin2B=+=1-(cos 2A+cos 2B)
=1-[cos(A+B+A-B)+cos(A+B-A+B)]
=1-cos(A+B)cos(A-B)=1+cos Ccos(A-B),
又cos(A-B)=-,
所以3sin2C=1-cos C=3-3cos2C,
解得cos C=或cos C=-,
由+=3cos C可知cos C>0,所以cos C=.
故选C.
2.A 在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===,
又0<∠BAC<π,所以∠BAC=,
因为D是BC的中点,所以=(+),
所以=(+)2=(+2·+),
即7=(c2+2c×2×cos+22),解得c=4(负值舍去),
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=22+42-2×2×4cos=12,解得a=2(负值舍去),
设△ABC外接圆的半径为R,
则由正弦定理得2R===4,则R=2,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=4π.
故选A.
3.D 设△ABC外接圆的半径为R.由正弦定理得2S=3(bsin C+csin B)=6R(sin Bsin C+sin Csin B)=12Rsin Bsin C.
由S=absin C=·2Rsin A·2Rsin B·sin C=2R2sin Asin Bsin C,
可知4R2sin Asin Bsin C=12Rsin Bsin C,即Rsin A=3,从而a=2Rsin A=6.
对于A,若A=,且b=7,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即36=49+c2-7c,解得c=或c=,因为三角形的三边确定后,三角形唯一确定,所以△ABC只有两种可能.经验证,△ABC的以下两种情况均有可能:①a=6,b=7,c=,则cos B=,②a=6,b=7,c=,则cos B=-,故B有两种可能,A中命题正确.
对于B,若C=2A,且△ABC为锐角三角形,则由正弦定理得c===2acos A=12cos A,因为△ABC为锐角三角形,所以2A<,B=π-A-C=π-3A<,解得
对于C,若A=2C,且sin B=2sin C,则b=2c,且===2cos C=,即a2b=a2c+b2c-c3,整理得a2(b-c)=c(b+c)(b-c).
因为b=2c≠c,所以b-c≠0,故a2=c(b+c)=c(2c+c)=3c2,所以c==2,b=2c=4.
所以a2+c2=36+12=48=b2,所以B=,故R=b=2,C中命题正确.
对于D,不妨设b=4,c=2,此时△ABC满足条件.
在此情况下,有cos A====,故sin A=,从而S=bcsin A=×4×2×=12,因为12>6,所以S>6,D中命题错误.
故选D.
4.答案 ;
解析 由已知可得S△ABC=S△ABD+S△ACD,
即bcsin=c·ADsin+b·ADsin,
整理得bc=b+c,因为b+c≥2,所以bc≥2,故bc≥4,当且仅当b=c时,等号成立,所以△ABC面积的最小值为×4×=.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos,即20=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,
因为b+c=bc,所以(bc)2-bc-20=0,即(bc-5)(bc+4)=0,
因为bc>0,所以bc=5,因此S△ABC=bcsin=bc=.
5.答案 ;8(-1)
解析 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=16(+2)=8(4+2)=8(1+)2,
故AC=2(+)千米,
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴sin∠ACB=,
由∠ABC=,可得∠ACB∈,∴∠ACB=.
设∠CBD=θ,θ∈,则∠BDC=-θ,∠BEC=-θ,
在△BCD中,由正弦定理得BD=·sin=(千米),
在△BCE中,由正弦定理得BE=·sin=(千米),
∴BD+BE=+
=(千米).
令t=sin θ+cos θ,则t=sin,由θ∈可得θ+∈,故t∈[1,],
则t2=1+2sin θcos θ,∴sin θcos θ=,
∴BD+BE==(千米).
设f(t)=,1≤t≤.
易知函数y=2t-在[1,]上单调递增,且y>0,
∴f(t)在[1,]上单调递减,
∴当t=时, f(t)有最小值,且f(t)min==8(-1).
故BD+BE的最小值是8(-1)千米.
6.解析 选①,由=及正弦定理得=,
即sin Bcos C=2sin Acos B-sin Ccos B,
即2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,
因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B=,又0选②,因为+=+===,
所以=,
易知sin C≠0,所以tan B=.又0选③,因为4S+3(b2-a2)=3c2,所以2acsin B=3(a2+c2-b2),
所以sin B=3·,
根据余弦定理可得sin B=3cos B,所以tan B=,又0(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,
即12=42-2ac-2ac×,解得ac=,
所以△ABC的面积为acsin B=××sin=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,
即12=(a+c)2-2ac-2ac×=(a+c)2-3ac,所以ac=-4.
因为0所以0<-4≤,所以2所以△ABC的周长的取值范围为(4,6].
(3)由正弦定理得===·+=·+,
在锐角△ABC中,0即0<π-A<,所以又tan=tan===2-,
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