2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题--专题强化练2　复数四则运算的综合应用

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第四册
专题强化练2　复数四则运算的综合应用
1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则的虚部为(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.i　　　　D.-i
2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
3.(多选题)(2024湖北孝感高级中学期末)若复数z1,z2是关于x的方程x2+bx+1=0(-2A.=z2
B.∈R
C.|z1|=|z2|=1
D.若b=1,则==1
4.(多选题)(2024浙江杭州第二中学期中)已知复数z1,z2,则下列结论正确的有(　　)
A.=|z1|2
B.=·
C.若|z1|=|z2|,则=
D.=
5.(多选题)(2024山东省实验中学调研)已知复数z满足z2+z+1=0,则(　　)
A.z=-+i
B.|z|=1
C.z2=
D.z+z2+z3+…+z2 024=0
6.(2024浙江余姚中学月考)复数z1=的虚部是　　　　;若复数z2满足|z2|=1,i为虚数单位,则|+1+i|的取值范围为　　　　.
7.(2024福建三明第一中学月考)已知复数z1=-1+3i,z2=1+2i,复数z满足=+.
(1)求z;
(2)在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,其中O是原点,求∠AOB的大小.
8.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,且|z1-z2|=2,z1的虚部为正数.
(1)求实数k的值;
(2)求+++…+的值.
答案与分层梯度式解析
1.B　设z=a+bi(a,b∈R),因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a2+(b+2)2=a2+b2,解得b=-1,所以复数的虚部为-b=1.故选B.
2.A　|z|=2表示复数z在复平面内对应的点的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆,
|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|是上述圆上的点到复数-3-4i对应的点的距离,易知复数-3-4i在复平面内对应的点为(-3,-4).
因为=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是5-2=3.故选A.
3.ACD　∵-2|z1|=|z2|==1,C正确;
易得z1z2=1,∴===-i,当b≠0时, R,B错误;
当b=1时,z1=-+i,z2=--i,计算得=--i=z2=,=z1=,∴=z1z2=1,同理=1,D正确.故选ACD.
4.BD　设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
所以=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z1|2==a2+b2,所以≠, A不正确;
因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,
所以=(ac-bd)-(ad+bc)i,
·=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,
所以=·,B正确;
如z1=1-i,z2=1+i,则=-2i,=2i,且|z1|=|z2|,C不正确;
===,==,
所以=,D正确.故选BD.
5.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,
所以
解得或
所以z=-+i或z=--i,故选项A错误;
当z=-+i时,|z|==1,
当z=--i时,|z|==1,故选项B正确;
当z=-+i时,z2==--i,
=--i,所以z2=,
当z=--i时,z2==-+i,
=-+i,所以z2=,
故选项C正确;
因为z3-1=(z-1)(z2+z+1)=0,所以z3=1,所以z+z2+z3+…+z2 024=(z+z2+z3)+(z4+z5+z6)+…+(z2 020+z2 021+z2 022)+z2 023+z2 024=(z+z2+1)+z3(z+z2+1)+…+z2 019(z+z2+1)+z+z2=0+0+…+0+(-1)=-1,故选项D错误.故选BC.
6.答案　-;[-1,+1]
解析　z1==-i-=--i,故复数z1的虚部是-.
因为|z2|=1,所以可设z2=cos θ+isin θ,θ∈R,则=cos θ-isin θ,
因此|+1+i|=|(1+cos θ)+i(1-sin θ)|===,当θ∈R时,-1≤sin≤1,则3-2≤3-2sin≤3+2,即(-1)2≤3-2sin≤,
于是-1≤|+1+i|≤+1,所以|+1+i|的取值范围为[-1,+1].
7.解析　(1)由已知得z1+z2=(-1+3i)+(1+2i)=5i,
z1z2=(-1+3i)(1+2i)=(-1-6)+(3-2)i=-7+i,
又=+=,
所以z====+i.
(2)依题意得向量=(-1,3),=(1,2),
则·=-1×1+3×2=5,
||==,||==,
因为∠AOB为与的夹角,
所以cos∠AOB===,
因为∠AOB∈[0,π],
所以∠AOB=.
8.解析　(1)设z1=a+bi(b>0,a∈R),则z2=a-bi,
由题意得z1+z2=2a=2,所以a=1,
因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,解得b=1或b=-1(舍去),故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.
(2)因为==i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,
所以+++…+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)