广西壮族自治区贵百河武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学（含解析）

2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试
数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知命题，则是（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A.3 B.0 C.1 D.2
5.给出下列结论：
①两个实数a，b之间，有且只有a﹥b，a＝b，a③若，；④已知，则.
其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正 数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正实数a，b，记，则M的最小值为（ ）
A. B.2 C.1 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。 （答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选
两个都对得4分，错选不得分）
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A.和
B.和
C.
D.和
10.下列说法正确的有（ ）
A.的最小值为2
B.已知，则的最小值为
C.若正数x、y满足，则的最小值为3
D.设x、y为实数，若，则的最大值为
11.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族，满足下列三个 条件：（1）和X在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多 个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合X上的一个拓扑.已知全集 为的非空真子集，且，则（ ）
A.族为集合上的一个拓扑
B.族为集合上的一个拓扑
C.族为集合上的一个拓扑
D.若族P为集合上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合
U上的一个拓扑
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合，若，则实数m的值是 .
13.某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只 参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加 讲座的人数为 .
14.若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的x1，， 且，都有＜0.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不 等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁 能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清 洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村 人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建 造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池 壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最 低，最低总造价是多少？
16.（本小题15分）已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
17.（本小题15分）函数的图象过点.
（1）求实数m的值，并判断函数的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明在区间上是增函数；
（3）直接写出函数的单调递减区间.
18.（本小题17分）已知函数.
（1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围.
19.（本小题17分）若函数的定义域为D.集合，若在非零实数t使得任意都有 ，且，则称为M上的t-增长函数.
（1）已知函数，函数，判断和是否为区间[-1，0]上的增长函数， 并说明理由：
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；
（3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增
长函数，求实数的取值范围.
2024级“贵百河一武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试
数 学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B B C C B A AC BCD ABD
1．D
【详解】解：，
阴影部分表示的集合为或．
故选：D．
2．B
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题，
则是.
故选：B.
3．B
【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素，
若，方程等价于，解得，满足条件；
若，方程要满足，有，
则集合仅有1个真子集，有或，
则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有，
所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件.
故选：B.
4．B
【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.
故选：B
5．C
【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确
,则,即或,所以②错误
因为,所以,即,即,所以③正确
因为,所以,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
6．C
【详解】因为函数的定义域是，即，则；
对于函数，可知，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
7．B
【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向上，所以或，
解得或，所以；
当时，，不恒成立，故不符合；
当时，在上恒成立，在上恒成立，，
而，所以在上需恒成立，
又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合；
综上可得.
故选：B.
8．A
【详解】由得，，
所以，即，
因为，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
9．AC
【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；
C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数.
故选：AC
10．BCD
【详解】显然当时，，故A错误；
原式可化为：，
当且仅当即时取得等号，故B正确；
由，
所以，
当且仅当即时取得等号，故C正确；
由，
则，当且仅当时取得等号，
故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【详解】对于A， 首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；
对于B，首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；
对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；
对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，
由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，
且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，
则(n≥1)， 下证：也是集合上的一个拓扑.
首先 满足条件（1），
其次，设，则），
而p ，故 ，
故，同理可证，
故 中的有限个元素取交后得到的集合都在中，
任意多个元素取并后得到的集合都在 中，
满足条件（3），故D正确.
故选：ABD.
填空题：12． 13．120 14．
12．
【详解】因为集合，集合，且，
当时，则，不满足；
当时，则，满足；
所以.
故答案为：
13．120
【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B，
则，
解得：,又，
所以,
则参加讲座的人数为120,
故答案为：120.
14．
【详解】因为对任意的，，且，都有，
不妨设，则，可得，则，
构造函数，则，，
所以函数在上为单调递减函数，
又因为为奇函数，所以，
所以函数为上的偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
当时，即时，有，
由，可得，
所以，解得，此时无解；
当时，即时，由，可得，
所以，解得或，
综上可得，不等式的解集为.
故答案为：.
解答题
15．当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为........................1分
可知池底总造价为：........................2分
池壁总造价为：........................3分
沼气池盖子的造价为3000元
设沼气池总造价为y元，且........................4分
由题可得：........................7分........................10分，当且仅当，即时，等号成立.........................12分
所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.................13分
16．【详解】（1）若，满足，此时，即，........................2分
当时，要使，则，即，即，.....................5分
综上实数的取值范围为.........................6分
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于....................7分
若时....................8分
当，满足，此时，即，....................10分
当时，，
若，则满足或，....................13分
即或，
综上若，得或....................14分
则当时，即实数的取值范围是.....................15分
17．【详解】（1）因为的图象过点，
所以，则.....................1分
此时,则为奇函数，理由如下：
易知的定义域为，关于原点对称，....................2分
又，则，所，....................3分
所以是奇函数．....................4分
（2）取任意，....................5分
则，....................7分
又，，，所以，....................8分
所以，即， ...................9分
即在区间上是增函数.....................10分
（3）由（2）易知，当时，，
所以在上单调递减，....................11分
在上单调递增，又是奇函数....................13分
所以在上单调递增，在上单调递减，....................14分
故的单调递减区间为，.....................15分
18．【详解】（1）①当，即时，原不等式化为，
解集为，不合题意；...................1分
②当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
则应有...............2分
即，解得...............3分
综上，m的取值范围是................4分
（2）由已知可得，
即，即
（i）当，即时，不等式化为，解得；...............5分
（ⅱ）当时，有，
解可得，或................6分
①当，又可得，即时，有，
则解可得，或；...............7分
②当，有，
解可得，．...............8分
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．...............10分
（3）不等式，即，
即．
恒成立，................11分
设，，．...............12分
．...............14分
，当且仅当时取等号，...............15分
，当且仅当时取等号...............16分
所以m的取值范围是．...............17分
19．
【详解】（1）是：因为，，；...............2分
不是，反例：当时，．...............4分
（2）由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，...............5分
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数............7分
要保证对恒成立，则，...............8分
即， 解得，...............9分
所以满足题意的最小正整数为9．...............10分
（3）根据题意， 当时，，当时，，因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以， ...............12分
（有图像得一分）.......................13分
若是R上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，（文字表述得一分，图像得一分......................15分）
所以-4<-2 ，解得，所以实数a的取值范围为 (-1,1)...............17分