第三章 圆锥曲线的方程章末小结复习课 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程章末复习小结
人教A版（2019)
知识复习
知识体系构建
知识梳理
1.椭圆概念与简单几何性质
椭圆定义 椭圆标准方程
焦点坐标
半轴长 对称性 顶点坐标
a、b、c关系 离心率 图形
范围
把平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆
(a>b>0).
(a>b>0).
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
关于x、y轴成轴对称;关于原点(0,0)成中心对称
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
长半轴长为a,短半轴长为b(a>b).
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
a2=b2+c2(a>b>0).
e=, e∈(0,1).
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
知识梳理
2.双曲线的概念与简单几何性质
双曲线定义 标准方程
图像
焦点
顶点
范围
对称性 虚实轴 离心率 渐近线
F1(-c,0)
F2(c,0)
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2(0,c)
F1(0,-c)
x
B1
y
O
.
B2
A1
A2
.
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称轴：x轴、y轴；中心：原点
实轴长：2a；虚轴长：2b
e=∈(1,+∞)，c2=a2+b2
.
.
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹
)
)
知识梳理
3.抛物线的概念与简单几何性质
抛物线定义 图形
标准方程
焦点坐标
准线
顶点坐标 对称轴 离心率 范围
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹
y2=2px(p＞0)
y2=-2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=-2py(p＞0)
F(,0)
F(,0)
F(0,)
F(0,)
x=－.
x=.
y=－.
y=.
(0,0)
x轴
y轴
e=1
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
题型探究
【例1】⑴若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
⑵平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 ．
解：
⑴若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)；
∴甲是乙的必要不充分条件.故选B.
题型1：圆锥曲线的定义　
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)，则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在．
⑵|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，
∴b2＝16，
故轨迹方程为(x≥3)．
B
(x≥3)
初试身手
1.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点, 则|FN|=_______.
解：
如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
∴|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
∵M为FN的中点,
6
∴|FN|=2|FM|=6.
题型探究
【例2】⑴已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆+ =1有公共焦点,则C的方程为(　　)
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
解：
⑴由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为=k(k>0),即=1,
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
∵双曲线与椭圆+=1有公共焦点,
题型2：圆锥曲线的标准方程　
∴4k+5k=12-3,解得k=1,
故双曲线C的方程为=1.
B
题型探究
【例2】⑵已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点. 若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为(　 )
A. +y2=1 B. +=1 C. +=1 D.+=1
解：
⑵设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,
∴|AF1|=2x，
题型2：圆锥曲线的标准方程　
即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1 ②,
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,
即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1 ①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,
由①②得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆的方程为+=1.故选B.
B
初试身手
2.⑴已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A. B. C. D.
解：
⑴∵2a＝18,2c＝×2a＝6，
∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
∴所求方程为.故选A.
A
初试身手
2.⑵已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为(　　)
A. B. C. D.
解：
⑵根据双曲线C的渐近线方程为y＝,
可知. ①
又椭圆的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
∴a2＋b2＝9. ②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
∴C的方程为.故选B.
B
题型探究
【例3】⑴双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　 )
A. y=±x B. y=± x C. y=± x D. y=± x
题型3：圆锥曲线的简单几何性质
解：
⑴∵e=,
∴,
∴双曲线的渐近线方程为y=± x=±x.故选A.
A
题型探究
【例3】⑵已知F1,F2是椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
题型3：圆锥曲线的简单几何性质
解：
⑵由题意可得直线AP的方程为y= (x+a),①
直线PF2的方程为y= (x-c).②
如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).
联立①②得y= (a+c),
∵∠PF2H=60°, PF2=F1F2=2c, PH= (a+c),
∴sin 60°= , 即a+c=5c, 即a=4c,
∴e= .故选D.
D
题型探究
【例2】⑶(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x
解：
⑵由已知得抛物线的焦点F(,0),设点M(x0，y0)，
则,
题型3：圆锥曲线的简单几何性质
　
,
由已知得
即，y0＝4，M(,4),
由|MF|＝5，得
又p>0，解得p＝2或p＝8.
∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选AD.
AD
初试身手
解：
3.⑴设F为双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　 　)
A. B. C.2 D.
⑴∵|PQ|=|OF|=c,
∴P .
∴PQ过点.
∴a2= ,
又∵|OP|=a,
∴ =2, e= .故选A.
A
初试身手
解：
3.⑵已知椭圆(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
⑵∵A(－a,0)，B(0，b)，M()，F(c,0)，
∴,
又，
∴结合0＜e＜1,得0＜e≤－1.
∴2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，
0＜e≤－1
初试身手
解：
3.⑶(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是 (　　)
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2.
⑵如图，F(,0)，直线l的斜率为，则
联立,得12x2-20px+3p2=0,
由|AF|＝=4，得p=2,
∴抛物线方程为y2＝4x.
直线方程为y＝(x-)，
解得，
初试身手
解：
3.⑶(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　 )
A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2.
∴,|BF|=,
|BD|＋|BF|＝＝4，则F为AD中点，
故选ABC.
∴抛物线方程为y2＝4x.
|BD|=，|BD|=2|BF|.
ABC
题型探究
【例4】已知椭圆(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
⑴求椭圆的方程；
⑵求弦长|CD|.
题型4：直线与圆锥曲线的位置关系
解：
⑴∵椭圆(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，
∴b=1,
又,a2=b2+c2,
∴a2=2，c=1.
∴椭圆的方程为.
⑵设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
椭圆的左焦点F1(－1,0)，所以直线BF1的方程为,即y＝－2x－2，
联立，得9x2＋16x＋6＝0，
题型探究
【例4】已知椭圆(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.
⑴求椭圆的方程；
⑵求弦长|CD|.
题型4：直线与圆锥曲线的位置关系
解：
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
=.
∴|CD|＝.
联立，得9x2＋16x＋6＝0，
题型探究
【例5】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
⑴若|AF|+|BF|=4, 求l的方程;
∴|AF|+|BF|=x1+x2+ ,
⑴由题设得F ,
设直线l:y= x+t, A(x1,y1), B(x2,y2).
题型4：直线与圆锥曲线的位置关系　
由 可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
解：
由题设可得x1+x2=.
则x1+x2=- .
∴- = , 得t=- .
∴l的方程为y=x-.
题型探究
【例5】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
⑵若=3, 求|AB|
由,得y2-2y+2t=0.
⑵由=3可得y1=-3y2.
题型4：直线与圆锥曲线的位置关系　
代入C的方程得x1=3, x2= .
解：
∴y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,y2=-1, y1=3.
∴|AB|= .
初试身手
解：
4.已知椭圆C：(a＞b＞0)过点(1,)，且焦距为2.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵设过点P(－2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点，求直线l的斜率k的取值范围．
⑴由2c＝2得c＝1，则a2＝b2＋c2＝b2＋1，
解得b2＝1，a2＝2，
⑵由题意设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
把(1,)代入椭圆C的方程,得,
∴故椭圆C的标准方程为.
当k＝0时，显然满足题意．
当k≠0时，联立,整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
初试身手
解：
4.已知椭圆C：(a＞b＞0)过点(1,)，且焦距为2.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵设过点P(－2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点，求直线l的斜率k的取值范围．
由Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，
解得,
∴斜率k的取值范围为.
当k≠0时，联立,整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
初试身手
解：
5.知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则△AOB的面积为( 　)
A.2 B. C.2 D.4
方法1：设直线AB的方程为x=ty+1, A(x1,y1), B(x2,y2), 线段AB的中点为M,
∴y1+y2=4t,y1y2=-4,
由yM= =2t=2, 得t=1,
由，消去x得y2-4ty-4=0,
A
∴S△AOB= |OF||y1-y2|= =2.故选A.
初试身手
解：
5.知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则△AOB的面积为( 　)
A.2 B. C.2 D.4
方法2：设A(x1,y1), B(x2,y2).
∴直线AB的方程为y=x-1,
由抛物线定义可得|AB|=x1+x2+2=y1+y2+4=8,
由,得kAB= = =1,
A
∴S△AOB= |AB|d=2.故选A.
而点O到直线AB的距离d= ,
题型探究
【例6】已知点P()是椭圆C：(a＞b＞0)上一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，直线l过椭圆C的右焦点F，且点A，B到直线l的距离的比值为3．
⑴求椭圆C的标准方程；
题型5：圆锥曲线中的证明问题　
⑴由点P()在椭圆C：(a＞b＞0)上，得 ①,
设F(c,0)，由点A，B到直线l的距离的比值为3得|AF|=3|BF|，即a+c=3(a-c)，a=2c，
∴a2=4c2=4a2-4b2，即3a2=4b2 ②
由①②得a2=4,b2=3,
∴椭圆C的标准方程为.
解：
题型探究
【例6】已知点P()是椭圆C：(a＞b＞0)上一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，直线l过椭圆C的右焦点F，且点A，B到直线l的距离的比值为3．
⑵若点Q是直线x=4上且不在x轴上的动点，直线AQ，BQ分别与椭圆C交于另一点M，N，求证：M，F，N三点共线．
题型5：圆锥曲线中的证明问题　
⑵由⑴知F(1,0)，A(-2,0),B(2,0),
易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my+t，
代入,得(3m2+4)y2+6tmy+3t2-12=0，
∴Δ=48(3m2-t2+4)>0,
设M(x1,y1),(x2,y2),(4,y0)(y0≠0),
解：
∴,
题型探究
【例6】已知点P()是椭圆C：(a＞b＞0)上一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，直线l过椭圆C的右焦点F，且点A，B到直线l的距离的比值为3．
⑵若点Q是直线x=4上且不在x轴上的动点，直线AQ，BQ分别与椭圆C交于另一点M，N，求证：M，F，N三点共线．
题型5：圆锥曲线中的证明问题　
由A，M，Q三点共线得,即，
由B，N，Q三点共线得,
∴=3，
∴t=1,直线MN的方程为x=my+1，
解：
∴直线MN的过点F,则M，F，N三点共线．
初试身手
解：
⑴∵, ∴,
∴a2=5,.
⑵证明：由⑴可知直线,点F2(3,0),
设P(,t)，Q(x0，y0)，则,
∵，
∴，
即.
6.已知双曲线E：(a＞0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足.
⑴求实数a的值；
⑵证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
初试身手
解：
∵点Q(x0，y0)在双曲线E上，
∴,即,
∴,
∴直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.
即.
6.已知双曲线E：(a＞0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足.
⑴求实数a的值；
⑵证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
作业布置
作业： p145 复习参考题3 第2,4，6，7,8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
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