第十四章整式的乘法与因式分解 重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解
突破1 幂的运算(一) 运算法则正逆用
类型一 幂的乘法
1.若a+b+c=1,)则 的值为__________.
2.已知m =2,m =4,则 的值为 .
类型二 幂的乘方
3.若3m+2n=5,则8m ·4n的值为( )
A.16 B.25 C.32 D.64
4.填空:(1)若 则 (2)若 则
类型三 积的乘方
5.计算:
6.若 则 若 则
类型四 幂的除法
7.化简:
8.已知 则 的值为 .
类型五 混合运用
9.已知2 =a,16"=b,m,n为正整数，则 的值为 .
10.已知 则 的值为_________
11.已知 则
12.若 则a”的值为 .
13.已知 求m 的值.
突破 2 幂的运算(二) 异“底”异“指”化相同
类型一 异“底”化同
1.已知 则6a+4b的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.若m,n 满足.3m-n-4=0,则8 ÷2 的值为 .
3.于x,y的方程组 的解满足x+y=1,则4”÷2”的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
4.已知a,b,c 均为正整数,且满足 ,则a+b+c 的取值不可能是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.已知 试求n 的值.
类型二 异“指”化同
6.比较大小(用“<”连接a,b,c,d):
(1)已知a=3 ,b=4 ,c=6 ,则a,b,c 的大小关系是 ;
(2)已知a=2 ,b=3 ,c=5 ,d=6 ,则a,b,c,d 的大小关系是 .
7.若 求 的值.
突破3 整式的乘法(一) 求参
类型一 缺项求参
1.若( 的展开式中不含x的二次项，则m 的值为( )
A.0 B.2 C.2.5 D.±2
2.若 的展开式中常数项为-2，且不含 x 项，则展开式中的一次项系数为( )
A.-2 B.2 C.3 D.-3
3.已知 的展开式中不含x 项和x 项.求m，n的值.
类型二 对照求参
4.若 则m+n的值为 .
5.若 其中a,b,c 均为整数,则a-c 的值是( )
A.1 B.7 C.11 D.13
6.对于二次三项式 (m,n为常数)，有下列结论：
①若n=36,且 则a=6;
②若 则3m--n=9;
③若n=36,且 其中a，b均为整数，则m 可能的取值有 10个.其中正确的有 .(请填写序号)
类型三 将错就错
7.小刚同学计算一道整式乘法：( 由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为
(1)求a,b的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
类型四 特值求参
8.已知 将 代入这个等式中可求出 ，用这个方法求：
的值；
的值.
9.若多项式 能被 整除，则当 时，多项式的值为0，我们把x=-3代入，多项式值为0，可得方程，求出k的值为 若多项式 除以 时，余数为6，说明当. 时，多项式的值为6，我们可以把 3代入，多项式的值为6，可得方程，求出k 的值为 .结合上述知识，解决下列问题：
(1)若 能被x-2整除，则a 的值为 ；
(2)若 除以x+22时，余数为4，则a 的值为 ；
(3)若 同时能被 与 整除，则a+b的值为 ；
(4)若 去除以x-2时，余数为1；去除以. 时，余数为 ,求a,b的值.
突破4 整式的乘法(二) 求值
类型一 整体求值
1.已知 则 的值为 .
2.若 则 的值为( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
3.已知实数 m 满足 则 的值为 .
4.计算:(1-2-3-…-2 022)×(2+3+…+2 023)-(1-2-3-…-2 023)×(2+3+…+2022)的值为( )
A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024
5.已知 则(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)的值为 .
类型二 降次求值
6.已知 则 的值是 .
7.已知 则 的值为 .
8若 则 的值为 .
突破5 整式的乘法(三) 以形释数
1.根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算( 那么根据图 2的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
2.在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示，例如： 就可以用下面图中的图1来表示.请你根据此方法写出图 2中图形的面积所表示的代数恒等式： .
3.我们已经知道，公式( 可以用平面图形面积来表示.为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形组合如图3所示的网格.他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式
(1)请写出图2 中阴影部分所表示的代数恒等式： ；
(2)仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示(
(3)图4 的矩形面积能表示：( ,(p,q均为正整数)直接写出m 的值: .
突破6 整式的乘法(四) 图形拼接
1.在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 ，图2 中阴影部分的面积为 .当AD 比AB 大3时, 的值为( )
A.3a
B.3b
C.3a-b
D.3b-a
2.学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a 的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形.
(1)选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为( 的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ；
(2)请用这 3种卡片拼出一个面积为 的长方形(数量不限)，在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张 A 型卡片，4张C 型卡片按图 4 的方式不重叠地放在长方形 DEFG 框架内，图中两阴影部分(长方形)为没有放置卡片的部分.已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为S ，S .若 则当a 与b 满足 时，S为定值，且定值为 .(用含b的代数式表示)
突破 7 乘法公式(一) 平方差公式
类型一 理解公式
1.观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为( )
类型二 运用公式
2.若(x+y+1)(x+y--1)=8,则x+y的值为( )
A.3 B.±3 C.-3 D.±5
3.已知 则 的值为 .
类型三 构造公式
4.计算:
(1)
5.计算:
6.阅读下列材料：已知实数m，n满足 试求 的值.
解：设 则原方程变为((t-1)(t+1)=80,整理,得 即
或 (舍去).
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知x,y满足 求 的值；
(2)已知a,b 满足 求(a+b)(a-b)的值.
突破8 乘法公式(二) 完全平方公式
类型一 理解公式
1把长和宽分别为a 和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是( )
2.若 则 m 的值为 .
3.如果 则 m 的值为 .
4.若代数式 则 m 的值为 .
类型二 运用公式
5.运用乘法公式计算( 得到的结果是( )
6.计算:(1)(a-b-3c) ;
类型三 构造公式
7.计算:
8.已知 求 的值.
9.已知 求 的值.
突破9 乘法公式(三) 小综合
1.计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b-c)(-a+b+c);
(3) (4)(2a--4b-6c)(a-2b+3c).
2.已知
(1)化简 T;
(2)若 求 T 的值.
3.已知 求 ab的值.
突破 10 乘法公式(四) 公式变形
类型一 在( 中，知“二”求“三”
公式变形技巧：(1)a +b =(a+b) -2ab;(2)a +b =(a-b) +2ab;
(3)(a-b) =(a+b) -4ab;(4)(a+b) =(a-b) +4ab;
(5)|a—b|=;(
1.若 ,则a-b= .
2.已知实数a，b满足 则a-b的值为 .
3.若 则x-y= .
4.已知 则 的值为 .
5.若实数x,y 满足 则 的值为 .
类型二 利用完全平方公式求 的值
6.例：已知 求 的值.
解：
观察以上解答，解答以下问题：已知
(1)求下列各式的值：
(2)直接写出 的值.
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类型三 先变倒数和差，再整体求值
7.已知 则 的值为 .
8.阅读理解:已知 求 的值.
解： 又
即
请运用以上解题方法，解答下列问题：已知 求下列各式的值：
类型四 利用隐含条件，再换元求值
9.若( 则
10.已知 求 的值.
11.若实数 x,y,z 满足 求 的值.
突破11 乘法公式(五) 配方法
类型一 配方求值
1已知 则m= ,n= .
2.已知 ,则a+b+c 的值为 .
3.若 则a+b的值为( )
A.±5 B.5 C.±4 D.4
4.已知 求a,b,c 的值.
5.若a=x+20,b=x+19,c=x+21,则
6.实数a,b 满足 则分式 的值是___________ .
类型二 配方比大小
7.设 则M，N的大小关系是( )
A. M8.已知a,b满足 则x，y的大小关系是( )
A.x≤y B. x≥y C. x>y D. x类型三 配方求最值
9.关于 x 的二次三项式 有最小值-10,，则常数a 的值为 .
10.若一个多项式的值恒为非负数，则称这个多项式为“和美多项式”.例如多项式 可做如下变形： 即 的值恒为非负数，且当 时，多项式 有最小值，最小值是 2.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)下列多项式是“和美多项式”的是 ；
(2)证明多项式 是“和美多项式”，并求出它的最小值.
11.观察下列式子：
- 2;
-2x -4x+6=-2(x +2x+1)+2+6=-2(x+1) +8≤8.解答下列问题：
则
则
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为x 米，完成下列任务：
①用含 x 的式子表示花圃的面积： ；
②请说明当x 取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米
突破12 乘法公式(六) 公式与拼图
类型一 借拼图理解公式
1.如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a-1的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方形的面积是( )
A.4a+1 B.4a+3 C.6a+3
2.用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示长方形的长和宽(a>b)，则下列等式不正确的是( )
A. a+b=12 B. a-b=2 C. ab=35
3.四张长为a，宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为S ，阴影部分的面积为S .若 则a：b的值为 .
类型二 借拼图运用公式
4.如图1所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个如图 2 所示的长方形.
(1)通过观察比较图1 与图 2 中的阴影部分面积，可以得到公式： .(用含a，b的等式表示)
(2)(应用)请应用这个公式完成下列各题：
①若a+2b=3,2b-a=2,则则 的值为 ；
②若 则2m--n 的值为 .
(3)(拓展)计算:
5. (阅读材料)我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.
在一次数学活动课上，高老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
【理解应用】(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式： .
【拓展升华】(2)利用(1)中的等式解决下列问题.
已知 求 ab 的值;
②已知(c-520)(c-512)-12,求( 的值.
6.问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为 a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形.
(1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ，图2: (用字母a,b 表示);
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题.
(2)已知 求 的值；
(3)已知(2 024-x)(2 022-x)=2 023,求 的值.
拓展运用：如图3，点C是线段AB 上一点，以AC，BC 为边向两侧作正方形ACDE 和正方形CBGF,面积分别是S 和S .若 则直接写出 的面积(用 S,m表示).
突破13 乘法公式(七) 公式拓展
类型一 项数增多
1.当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：
(1)由图2，可得等式：
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11, ab+ bc+ ac=38,求 的值.
类型二 次数升高
2.观察下列几个算式：①(a-1)(a+1)=a --1;②(a-1)(a +a+1)=a --1;③(a-1)(a +a +a+1)=a -1;④(a-1)(a +a +a +a+1)=a -1……结合你观察到的规律判断 的计算结果的末位数字为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
3杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把(a+b)"(其中n 为自然数)展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中(a+b)"展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第(n+1)行的每一项，如图所示：
杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
根据上述材料，将(2x+1) 展开后x 项的系数为 ，所有项的系数和为 .
突破14 因式分解(一) 方法
类型一 常规方法
1.分解因式：
(4)
2.分解因式:
类型二 分组分解法
3. “探究性学习“小组的甲、乙两名同学进行如下因式分解：
甲： (分成两组)
=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)
=(x-y)(x+4)
乙： (分成两组)
(直接运用公式)
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：
(2)已知 ，求式子 的值；
(3)已知 的三边长分别是a，b，c，且满足 试判断 的形状，并说明理由.
类型三 十字相乘法
4.分解因式:
5.分解因式：
类型四 换元法
6.分解因式:
(1)x(x+1)(x+2)(x+3)+1;
类型五 配方法
7.阅读材料：对于形如 这样的二次三项式，可以运用公式法将它分解成 的形式，但对于二次三项式 就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式 中先添加一项 使它与 的和组成为一个完全平方公式，再减去a ，整个式子的值不变.于是有 像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法，称为“配方法”.利用配方法，解决下列问题：
分解因式：、
突破 15 因式分解(二) 应用
类型一 求值
1.若 xy=22,2y-3x=-46,则 的值为 .
2.若a+b=2,则 的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.0
3.若 则a+b-c 的值是 .
4.已知 则 xy的值是 .
类型二 判断整除
5.不能被 整除的是( )
A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022
6对于任何整数m，多项式( 都能( )
A.被8整除 B.被m 整除
C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除
类型三 判定形状
7.已知a,b,c 是△ABC的三边长,且满足 则此三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定
类型四 探究规律
8.观察下列式子：①3 -4×1 =4×1+1;②5 -4×2 =4×2+1;③7 -4×3 =4×3+1;
请你按照上述规律，回答下列问题：
(1)写出第5个式子: .
(2)写出第 n 个式子： (用含n 的式子表示).
(3)请你按照规律计算 的值.
类型五 延伸应用
9.有一种用因式分解法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果是( 若取 时，则各个因式的值是 于是就可以把这三个数字从小到大排列为“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式 取 时，用上述方法产生的密码是 .
10.现有甲、乙、丙三种矩形卡片若干张，卡片的边长如图1 所示( .某同学分别用 6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为
(1)请用含a 的式子分别表示 当 时，求 的值；
(2)比较 与 的大小，并说明理由.
类型六 因式定理
11.对于多项式 我们把x=2代入此多项式，发现. 能使多项式 的值为0，由此可以断定多项式 中有因式 [注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式( 于是我们可以把多项式写成 分别求出 m，n后再代入 就可以把多项式 因式分解.
(1)求式子中m,n 的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式
第十四章整式的乘法与因式分解
突破 1 幂的运算(一)
运算法则正逆用
1.—8 2.8 3. C 4.(1)27 (2)±55. 6.144 45
7.解:
8. 解：
9. a b 解：
10.2
11.45 解:.
12.
13.解:
∴2m=4,解得m=2.
突破 2 幂的运算(二)
异“底”异“指”化相同
1. B 解:
∴3a+2b=4,6a+4b=4×2=8.
2.16 解:∵3m-n-4=0,
∴3m-n=4,
16.
①3. D 解: ②
①-②,得2x+2y=2m-n-1.
∵x+y=1,
∴2m-n-1=2,
∴2m--n=3,
4. D 解:
∴a+2c=7,b=3.
∵a,b,c均为正整数,
∴当c=1时,a=5,此时a+b+c=5+3+1=9;当c=2时,a=3,此时
a+b+c=3+3+2=8;
当c=3时,a=1,
此时a+b+c=1+3+3=7.
∴a+b+c不可能为10.故选 D.
5.解:
∴2n=2,角解得n=1.
6.(1)c(2)a7.解:
即(
∴xy=x+y,
突破3 整式的乘法(一) 求参
1. B 解:
∵展开式中不含x 的二次项，
∴2-m=0,解得m=2.
2. D 解:
∵展开式中常数项为-2，
且不含 x 项，
∴m=-2,m+n=0,
∴n=2,
∴mn+1=-3.
3.解:
∵展开式中不含x 项和x项，
∴m-3=0, mn+1=0,
解得
4.5 解:
∴--m=n-5,-5n=-10,
解得m=3,n=2,
则m+n=3+2=5.
5. B 解: ，比较对应项的系数，得b=5, ab+c=17, ac=-12,解得a=4,c=-3,所以a-c=7,故选 B.
6.②③ 解:(
∴a=±6,结论错误;
∴m=a+3,n=3a,
∴3m-n=3(a+3)-3a=9,结论正确；
∴ab=36,m=a+b.
∵a,b均为整数,
∴对应的a,b取值为-1 和-36,1和 36,-2 和-18,2 和 18,-3 和一12,3 和12,-4和-9,4 和9,-6 和-6,6和6,共10对,因此m 可能的取值有 10个，结论正确.
7.解:(1)由题意,得(3x-a)(2x+3) -6,
∴9-2a=b,-3a=-6,
解得a=2,b=5;
6.
8.解:(1)当x=1时, 所以
(2)当x=-1时, 即
两式相加，得
9.解:((1)-2;(2)
(3)依题意,
得
解得
∴a+b=0;
(4)依题意,
得
解得
突破 4 整式的乘法(二) 求值
1.2021 解:
∴原式： =2 021.
2. C 解:
3.8 解:
4. C 解:设2+3+…+2022=x,则原式=(1-x)(x+2 023)-(1-x--2 023)x =x +2 023--x -
5.180 解: 原式 (x -8x+15)=(3+7)×(3+15)=180.
6.7 解:
原式=x(3x+1)-(3x+1)-7x+5=3(3x+1)+x-3x-1-7x+5=7.
7.2 023解：
+1)--10(2x+1)+5x+2 027=6x +3x-20x-10+5x+2 027=6(2x+1)-12x+2 017=12x+6-12x+2 017=2 023.
8.4 解法一:
解法二：
+1=3+1=4.
突破5 整式的乘法(三)以形释数
1. A 解：用两种方式表示整个长方形的面积，有(a+3b)(a+b)=a +
3.解:(
(2)如图所示.
(3)25,14,11,10
突破6 整式的乘法(四)
图形拼接
1. B 解：由图可得 b(AB-a),
+ ab+b·AD- ab=b(AD-AB).
∵AD-AB=3,
∴b(AD-AB)=3b,
即
2.解:
(2)如图所示；
(3)设 DG 的长为x.
若 S 为定值,则2b-a=0,
∴a=2b,
∴当a 与b满足a=2b时,S 为定值,且定值为 4b .
突破7 乘法公式(一)平方差公式
1. A
2. B 解:∵(x+y+1)(x+y-1)=8,
∴x+y=±3.选 B.
3.4 解:. =7,
4.解:(1)原式=
(2)原式
5.(1)1
6.解:(1)设
∴(m+3)(m-3)=27,
即
∴m=±6.
(2)设
则(t+1)(t-1)=63,
∴t=±8,
或-7,
或-7.
突破 8 乘法公式(二)完全平方公式
1. D
2.25 解:
解得
3.±6 解:
∴n=±3,m=±6.
4.11或-13 解:
∴n=±3,
∴m+1=12或m+1=-12,
∴m=11或m=-13.
5. C
6.解:(1)原式: 6bc;
(2)原式 2yz.
7.解:(1)原式
(2)原式: 80 018.
8.解:设a-100=t,
则
即
9.解:
即
4a)+1=2×1+1=3.
突破9 乘法公式(三) 小综合
1.解:(1)原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
(2)原式=[b+(a-c)][b--(a-c)]
(3)原式:=[(x+2)-3y][(x+2)+3y]
(4)原式:=2(a-2b-3c)(a-2b+3c)
=2[(a-2b)-3c][(a-2b)+3c]
2.解
原式
3.解:
两式相加，得
∵a+b=-3,
突破 10 乘法公式(四)公式变形
1.3 解: ∴2(a-b)=6,
∴a-b=3.
2.±4 解: =40-24=16,
∴a-b=±4.
3.±1解： 2xy,
∴49=25+2xy,
∴2xy=24.
24=1,
∴x-y=±1.
4.20解：
5.56解：
6.解:
2=7,
=47;
∴原式=x(3x-1)-2(3x-1)- 3(3x-1)-9x+5=2.
7.119解：
∴m≠0,
=11,
-2=119.
8.解
∵m≠0,
即
9.199 解:设101-a=x,
100-a=y,则:x-y=1, xy=99,
10.解:设a=x-255,b=x-245,
∴(x - 255)(x - 245) = ab =
11.解:设x+y=t,则( (t
两式相加，得
突破11 乘法公式(五) 配方法
1.-4 4 解: +16=0,
=0,
∴m+n=0,n-4=0,
∴m=-4,n=4.
2.-1解： -6c+13=0,
即(
∴a-b=0,b+2=0,c-3=0,解得
a=b=-2,c=3,
则a+b+c=-2-2+3=-1.
3. A
4.解:∵a-b=8,
∴a=b+8,
-16c+80=0,
即
配方，得
∴b=-4,c=8,
∴a=4.
5.3 解:∵a=x+20,b=x+19,c=x+21,
∴a-b=1,a-c=-1,b-c=-2,
∴原式
6.7/2解： -1),
即 配方，得(
∴ab=3,a=2b,
7/2.
7. B 解:
∴M≥N,故选 B.
8. C 解: y=4(2b-a), ∴x>y.故选C.
9.26 解: -36.
有最小值a-36,
∴a-36=-10,解得a=26.
10.解:(1)①③;
且 即 是“和美多项式”，当m=2,n=3时,它的最小值为8.
11.解:(1)a=3,b=3,m=2,n=5;(2)①花圃的面积:x(60-2x);②由①可知:x(60-2x)=-2(x- ,当x=15时,花圃的最大面积为450 平方米.
突破 12 乘法公式(六)公式与拼图
1. C 2. D
3.3 解:由题意,
得
∴(a-3b)(a+b)=0.
∵a>b>0,
∴a+b>0,
∴a-3b=0,
∴a=3b,
∴a:b=3: 1.
4.解:
3×(-2)=-6;
即
∴(2m+n)(2m-n)=12.
又2m+n=4,
∴2m-n=12÷4=3;
99)+(98+97)×(98-97)+…+(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5 050.
5.解:
(2)①由题意,得 -2ab,
将 代入，
得
②由题意，得 64-2×12=40.
6.解:
(3)设2 024-x=a,2022-x=b,∴a-b=2 024-x-(2 022-x)=2.
∵ab=(2 024-x)(2 022-x)=2 023,
2 023=4+4 046=4 050,
的值为 4 050;
拓 展 运 用: Rt △ACF 的 面 积 = 理由:设AC=a,BC=b.
∵AB=m,
∴a+b=m.
∴Rt△ACF 的面积
突破 13 乘法公式(七)公式拓展
1.解: 2ab+2ac+2bc;
(2)∵a+b+c=11,
ab+ bc+ ac=38,
+ ac+ bc)=121-76=45.
2. A 解：根据观察到的规律，得(2- -1,
2的乘方的末位数字按照2，4，8，6依次循环，
∴2 的末位数字为2，
的末位数字为1.
3.160 3 解：
的展开式中x 项的系数为
令 x=1,可得( 所有项的系数和为3 .
突破 14 因式分解(一) 方法
1.解:(1)原式
(2)原式=(a-b) ;
(3)原式
(4)原式
=(a-b)(3x+4y)(3x-4y).
3.解: (a-b-1);
(2)∵a-b=3,b-c=-4,两式相加,得a-c=-1,
- bc)=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)=3×(-1)=-3;
∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
(a-b)(a+b-c)=0.
∵a+b-c>0,
∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC 为等腰三角形.
4.解:(1)原式=(y+5)(y+3);
(2)原式=(x+8)(x-2);
(3)原式=(y-8)(y+3);
(4)原式=(x-9)(x+4);
(5)原式=(y-8)(y-3);
(6)原式=-(x+10)(x-6).
5.(1)原式=(2x+1)(x+1);
(2)原式=(3x+7)(x-1);
(3)原式=(3x+2)(x-3);
(4)原式=(2x+1)(2x-5);
(5)原式
(6)原式: 2)(x-2)(x+3)(x-3).
6.解:(1)原式 2)+1,
设
则原式=t(t+2)+1
(2)原式 2)+36,
设
则原式=(t+6)(t-6)+36
7.解: -1)=(a-3)(a-5);
(x-y).
-2x+2);
突破 15 因式分解(二) 应用
1.2024 解:∵xy=22,
2y-3x=-46,
∴原式=2xy(3x-2y)=2×22×46=2 024.
2. A
3.3 解:
∴(a+b+c)(a+b-c)=24.
∵a+b+c=8,
∴a+b-c=3.
4.4 解: -3,
即
即- xy=-4,
∴xy=4.
5. A解：2 021 --2 021= 2 021×(2 021 - 1) = 2 021×(2 021+1)(2 021— 1) = 2 021×2 022×2 020,故不能被 整除的是 2 019.故选 A.
6. A 解:原式=(4m+5+3)(4m+5-3)=4(m+2)×2(2m+1)=8(m+2)(2m+1),故对于任何整数m,多项式( 都能被8整除.故选 A.
7. B 解:
∴a-b=0且b-c=0,即a=b=c,
∴此三角形是等边三角形.故选 B.
8.解:
4 001.
9.123042 解:
当x=12,y=6时,
则x=12,3x-y=30,3x+y=42,
∴六位数的密码为123042.
10.解:(1)由图可知 =5a+1.
当a=2时, +1=23;
理由：
又∵a>1,
11.解: (n-2m)x-2n,
∴m-2=-5,-2n=10,
∴m=-3,n=-5;
(2)当x=-1时,
+n)x+n,
∴m+1=5,n=4,
∴m=4,n=4.