30°角用法重难点突破（含解析） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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30°角用法重难点突破
30°角用法(一) 直接用
类型一 直接求
1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D 为线段 BC上一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点 F.若BC=8,则DE+DF的值为 .
2.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,E 为AD 的延长线上一点,∠AEB=90°,若AB=12,则△ABE 的面积为( )
A.18 B.36
类型二 方程求
3如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC 于点D,CE⊥AB 于点E,BD,CE交于点H,若CE=5,BD=7,则 的值为( )
A. B.
4.如图,在等边△ABC 的三边上分别取点D,E,F.若ED⊥AB 于点D,DF⊥AC 于点 F,FE⊥BC于点E,且AB=15,求CE 的长.
30°角用法(二) 构造用
类型一 作垂构“369”
1.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 E 为 DB 的中点,∠ACB=120°,∠DAC=30°.若EC=1,BC=3,求AC 的长.
2.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,∠A=30°,∠CDB=45°,求∠ABC 的度数.
3图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为BC 上一点,E 为AD 上一点,∠CED=45°,∠BED=30°,AE=2.求 EB 的长.
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是△ABC 内一点,AB=BD,∠ABD=30°.求证:AD=CD.
类型二 延长构“369”
5.如图,在四边形ABCD 中, ,E 为BC 的中点,DE平分 则 的值为 .
6.如图,在四边形ABCD 中, .求CD的长.
7.如图，在 中,∠ACB=90°,CA=CB,∠BAD=∠ADE=60°,DE=3,AB=10,CE平分 DE 与CE 相交于点E,则 AD 的长为( )
A.4 B.13 C.6.5 D.7
类型三 借 15°构30°
8.如图,在等腰△ABC 中, ,D 为AB 上一点. BC 的垂直平分线交 CD 于点E,∠BCD=15°.求证:
突破 26 30°角用法(一) 直接用
1.4 解:∵AB=AC,∠A=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
2. A 解:延长AC,交 BE 的延长线于点 F.
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠FAE=∠BAE.
∵∠AEB=90°,
∵AE=AE,
∴△AEB≌△AEF,
∴AF=AB=12,
×6=18.故选 A.
3. C 解:∵∠A=60°,CE⊥AB,BD⊥AC,
∴∠ACE=30°,∠ABD=30°,
∴CH=2DH,HB=2HE.
设 DH=x,
则 HB=7-x,CH=2x,
∴HE=5-2x.
∵HB=2HE,
∴7-x=2(5-2x),解得x=1,
∴CH=2,HE=3,
选 C.
4.解:∵ED⊥AB 于点D,DF⊥AC 于点F,FE⊥BC于点E,
∴∠AFD=∠BDE=∠FEC=90°,
∵∠A=∠B=∠C=60°,
∴∠BED=∠EFC=∠ADF=30°,
∴∠DFE=∠DEF=∠FDE=60°,
∴△DEF 为等边三角形,
∴DF=EF=DE,
∴△ADF≌△BED≌CFE.
设 CE=x,则 CF=2x,
∴BD=CE=x,AD=CF=2x.
∵BD+AD=15,
∴x+2x=15.解得x=5.
∴CE=5.
突破 27 30°角用法(二) 构造用
1.解:过点 D 作 DF∥BC,交 AC 于点 F,
∴∠DFC=∠ACB=120°,
∴∠DFA=60°.
∵∠DAC=30°,
∴∠DAF+∠DFA=90°,
∴∠ADF=90°,
∴AF=2DF.
∵∠DFC=∠ACB,∠DEF=∠BEC,DE=BE,
∴△DFE≌△BCE,
∴DF=BC=3,EF=EC=1,
∴AF=2DF=6,
∴AC=AF+FE+EC=6+1+1=8.
2.解:过点 B 作 BE⊥AC 于点E,连接DE,
∴∠AEB=90°.
∵∠A=30°,
∵D 是AB 的中点,
∴△BDE 为等边三角形,
∴AD=BD=DE,
∴∠DEA=∠A=30°.
∵∠ACD=∠CDB-∠A = 45°-
∴∠EDC=∠AED-∠ACD=30°
∴∠EDC=∠ACD,
∴CE=DE=BE,
∴△CBE 为等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=60°
3.解:过点 C 作 CF⊥CE 交 AD 的延长线于点F，连接BF，
∴∠FCE=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵∠CED=45°,
∴∠CED=∠CFE=45°,
∴CE=CF,∠CEA=135°.
∵AC=BC,
∴△ACE≌△BCF,
∴BF=AE=2,
∠CFB=∠CEA=135°,
∴∠EFB=∠CFB-∠AFC=90°.
∵∠BED=30°,
∴BE=2BF=4.
4.证明:过点 D 作DE⊥AC 于点E,过点 A 作AF⊥BD 于点 F.
∵∠ABD=30°,AB=BD,
∴∠BDA=∠BAD=75°,∠BAF=60°,
∴∠DAF=∠DAE=15°,
∴△ADE≌△ADF,
∴AF=AE.
∵∠ABD=30°,∠AFB=90°,
∴AE=CE.
∵DE⊥AC,
∴AD=CD.
5.3 解:延长 DE 与AB 的延长线交于点F,可证△CDE≌△BFE,
∴BF=CD,EF=DE.
∵DE 平分∠CDA,
∴∠ADE=∠CDE=60°,
∴∠F=60°,
∴△ADF 为等边三角形,
∴AD=AF.
∵DE=EF,
∴AE⊥DF,
∴AF=2EF.
∴EF=2BF,
∴AF=4BF,
∴AB=3BF=3CD,
6.解:延长 AD,BC 交于点 E,连接AC.
∵∠DAB=30°,
∴∠E=60°,
设 DE=x,
则CE=2DE=2x,AE=2BE,
∴AE=AD+DE=8+x=2(2x+
1),解得x=2,
∴DE=2,CE=4,AE=10,
AB,
7. D 解:延长 DE交AB 于点F,延长CE 交AB 于点G.
∵∠BAD=∠D=60°,
∴△ADF 是等边三角形,
∴AD=AF=DF,∠AFD=60°.
∵CA=CB,CE平分∠ACB,
∴CG⊥AB,
即
∴∠FEG=30°.设AD=AF=DF=a,在 Rt△GEF 中,∠AFD=60°,EF=DF-DE=a-3,
由AF-GF=AG得 ∴a=7,选 D.
8.解:过点 A,B 作直线CD 的垂线,垂足分别为 F,H,连接BE.
易证∠BEH=2∠BCD=30°,
易证△BCH≌△CAF,
∵AF⊥CD,
∴AE=AC.