第十二章 全等三角形重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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第十二章 全等三角形重难点突破
突破1 知全等(一) 求角度
类型一 对应角结合角平分线
1.如图,已知△ABC≌△DEF,CD 平分∠BCA,若∠A=28°,∠CGF=88°,则∠E 的度数为 .
类型二 对应角结合8字型
2.如图,△ABE≌△ADC≌△ABC,若∠1=130°,则∠α的度数为 .
类型三 对应角结合垂线
3.如图,△AOB≌△ADC,∠AOB=90°,且OB⊥BC,若∠OAD=80°,则∠BCD 的度数为 .
类型四 对应角结合平行线
4.如图,已知△ABC≌△DEF,DF∥BC,且∠B=60°,∠F=40°,点A 在DE上,则∠BAD 的度数为 .
5.如图,在锐角△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且BE,CD 交于点F.若∠BAC=35°,则∠BFC的度数是为 .
突破 2 知全等(二) 求长度
类型一 全等找准对应边
1.如图，△ABC 与△DEF 全等，则根据图中提供的信息，可得出x的值为( )
A.30 B.27 C.35 D.40
类型二 对应边代换求长度
2.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,△DEF≌△ABC,且FE 和AC在同一直线上,若 FC=3.
(1)求 AE 的长;
(2)若AB 与 DE 相交于点 O,连接OC,S△ABC=24,OA=2OB,直接写出S△ OAE的值为 .
类型三 对应边代换算周长
3.如图，在三角形纸片 ABC 中， .沿过点B 的直线折叠这个三角形，使得点 C 落在AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，则. 的周长为 .
4.如图,在 中,点D,点 E 分别在边 AB,BC 上,连接AE,DE,若 △BDE,AC:AB:BC=2:3:4,且△ABC的周长比 的周长大6.求 的周长.
类型四 对应边不确定
5.已知 的三边长分别为3，5，7， 的三边长分别为3,3x—2,2y—1,若这两个三角形全等，则x--y的值为 .
突破3 找全等(一) SSS
类型一 知三边，先证全等
1.如图,在△ABC 中,∠A :∠ABC:∠ACB=3:5 :10,且MN=AB,MC=AC,CN=CB,则∠N 的度数为 .
2.如图,在△ABC中,点D,F 分别在边BC,AC上,若 BC=ED,AC=CD,AB=CE,且 ，则下列角中，大小为m 的是( )
A.∠CDF B.∠ABC C.∠CFD D.∠CFE
3.如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )
A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF
类型二 知两边，找第三边
4.如图,A,B,C三点共线,BF 与CE交于点D,
(1)求证:
(2)连接EF,求证:
C
突破4 找全等(二) SAS
类型一 隐边
1.如图,AD+BC=AB,BE=CA,∠DBE=∠C=62°,∠BDE=75°,则∠AFD 的度数为( )
A.30° B.32° C.33° D.35°
2.如图,D,E 在△ABC 的边AB上,且∠ADC=∠ACB.若∠BAC 的平分线AF交CD于点F,BE+AC=AB,求证:EF∥BC.
C
类型二 隐角
3.如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,AC,BD 交于点M,则∠AMD 的度数为( )
A.α C.180°-α
4.如图,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=42°,则∠AEB 的度数为 .
5.如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,点E 在BC 上.过点 D 作DF∥BC,交 AB 于点F,连接DB.求证:DF=CE.
突破5 找全等(三) ASA、AAS
类型一 知一边一角，找一角
1.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是AC 的中点,EC⊥BD 于点E,交BA 的延长线于点F,若 BF=12,则△FBC 的面积为( )
A.40 B.46 C.48 D.50
C
类型二 知两角，找一边
2.如图,D,A,B 三点在同一条直线上,∠EDA=∠ABC=∠EAC=90°,EA=AC,AF⊥AB,AF=AB.求证:BC=2AO.
类型三 三垂直，互余导角
3.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE 于点E,AD⊥CE 于点D,若AD=8,DE=5,则△BCD 的面积为 .
C
4.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.
(1)求证:BE=CD;
(2)F 为AD上一点,DF=CD,连接 BF 交 DE 于点G,若AD=5,BE=2,求△BCG 的面积.
A
突破6 找全等(四) HL
类型一 双垂直，知两边，联想HL
1.如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,DE⊥AB 于点E,点 F 在边AC 上,BD=DF.求证:AB-AF=2EB.
2.如图,AD 是△ABC 的中线,BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD 交AD 的延长线于点 F,G 是 DA 延长线上一点,连接BG.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BG=CA,求证:GA=2DE.
3.如图,在△ABC中,AH是高,AE∥BC,AB=AE,在AB 边上取点D,连接DE,DE=AC,若 过点 E 作EP⊥BA 交BA 的延长线于点 P,则 BC的长为 。
类型二 SSA，先作垂，再证全等
4.△ABC 和△DEF 中,AB=DE,AC=DF,∠C=50°,AM,DN 分别为BC,EF 边上的高,且AM=DN,求∠DFE的度数.
突破7 找全等(五) 等线段代换证和差
类型一 代换一条线段
1.如图,D 为BC 上一点,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BC=CD+CE.
类型二 代换两条线段
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线DE 经过点A,BD⊥DE,垂足为D,CE⊥DE,垂足为E.
(1)如图1,求证:DE=CE+BD;
(2)如图2,求证:DE=CE---BD.
3.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F 是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=12,BF=9,EF=6,则AD的长为 .
类型三 代换多条线段
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC和∠BAC 的平分线相交于点 O,OD⊥OA 交AC 于点D,OE⊥OB 交BC 于点E,若 BC=4,AC=3,AB=5,求△CDE 的周长.
突破8 找全等(六) 全等计数
类型一 非网格图
1.如图,AB∥CD,AC∥DB,AD 与BC 交于点O,AE⊥BC 于点E,DF⊥BC 于点F，图中全等的三角形共有( )
A.5 对 B.6 对 C.7对 D.8对
2.如图1,已知AB=AC,D 为∠BAC 的角平分线上一点,连接BD,CD;如图2,已知AB=AC,D,E 为∠BAC 的角平分线上两点,连接BD,CD,BE,CE;如图3,已知AB=AC,D,E,F 为∠BAC 的角平分线上三点,连接 BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是( )
A. n
B.2n-1
D.3(n+1)
类型二 网格图，知全等，两定点
3.在正方形方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形.如图是5×5的正方形方格纸，以点 D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
类型三 网格图，知全等，共一边
4.在如图所示的6×6 网格中，△ABC 是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点)，则与△ABC有一条公共边且与△ABC 全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是( )
A.3个 B.4 个 C.6个 D.7 个
5.在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC 这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC 有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
类型四 网格图，知全等，两点变
6.如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC 为格点三角形，以C 为顶点画格点三角形与△ABC 全等(不包括△ABC)，则画出的三角形的个数为( )
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
类型五 网格图，知全等，三点变
7.在如图所示3×3的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出与△ABC 全等的格点三角形的个数是( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
8.如图，在一个4×4 的正方形网格中，△ABC 为格点三角形(三角形的三个顶点都在网格格点上的三角形)，在所给的网格中，与△ABC 全等的格点三角形(△ABC 除外)共有( )
A.35 个 B.31个 C.27个 D.15 个
9.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在图中与△ABC 全等(不含△ABC)的格点三角形一共有 个.
突破9 找全等(七) 动点问题
类型一 单动点，知速度，用全等求时间
1.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=7 cm,AC=24 cm,CD 为AB 边上的高,直线CD 上一点F 满足CF=AB,点E 从点B 出发在直线BC 上以3cm/s的速度移动.设运动时间为t秒,当t= 秒时,能使△ABC≌△CFE.
类型二 知速度，用全等，分类讨论求时间
2.如图,在长方形ABCD 中,AB=4,AD=6.延长BC 到点E,使 CE=2,连接DE，动点 P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿 BC一CD—DA 向终点A 运动.设点 P 的运动时间为t秒,当t的值为 秒时,△ABP 和△DCE 全等.
3.如图,点 C 在线段 BD 上,AB⊥BD 于点 B,ED⊥BD 于点 D.∠ACE=90°,且AC=5 cm,CE=6 cm,点 P 以 2cm/s的速度沿A→C→E 向终点E 运动,同时点 Q 以3c m/s的速度从 E 开始，在线段 EC 上往返运动(即沿E→C→E→C→…运动)，当点 P 到达终点时，P，Q 同时停止运动.过点 P，Q分别作BD 的垂线，垂足为M，N.设运动时间为t s，当以 P，C,M 为顶点的三角形与△QCN 全等时,t 的值为( )
A.1 或 3 B.1 或 C.1 或 或 D.1 或 或5
类型三 知时间，用全等，分类讨论求速度
4.如图,AB=7 cm,AC=5cm ,∠CAB=∠DBA,点 P 在线段AB 上以2 cm/s的速度由点 A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s的速度由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t(s)(当点 P 运动结束时，点Q运动随之停止).问：当x 为何值时，△ACP 与△BPQ全等
5.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=∠ABC,AB=5cm,AD=BC=3cm,点E 在线段AB 上以1cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时，点 F 在线段BC 上由点B 向点C运动.设运动时间为t(s)，当△ADE 与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点 F 的运动速度为 cm/s.
类型四 知速度比，用全等，求长度
6.如图,∠A=∠B=90°,AB=60,E,F 分别为线段AB 和射线BD 上的点,若点 E从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止,在射线AC 上取一点G,使△AEG 与△BEF 全等,则AG 的长为 .
突破 10 构全等(一) 知中点
类型一 倍长中线证不等关系
1.如图,在 中,AD 为BC边上的中线,E,F 分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,连接EF.求证:1
类型二 作垂线构全等
2.如图,在 中， ,直线 l经过边AB 的中点D,与 BC 交于点M,分别过点A，C作直线l 的垂线，垂足为E，F，则. 的最大值为( )
A.8 B.6 C.4 D.12
类型三 倍长中线证二倍关系
3.如图,点. ，P是y 轴正半轴上一动点，C是 AP 的中点，D 是x 轴正半轴上一点，且.
(1)求证:
(2)求点 D 的坐标.
类型四 知平行，间接倍长中线
4.如图,AB∥CD,BC 与AD 相交于点O,E 是AD 的中点,连接CE.求证:BC+CD-AB>2CE.
类型五 倍长中线证二倍角
5.如图,AD 是△ABC 的中线,AB=2AD,CF⊥AD 于点 F.求证:∠BAD=2∠ACF.
C
类型六 倍长中线求角度
6.如图,在△ABC,BA=BC,∠BAC=∠BCA=α,在△CDE中,DC=DE,∠DCE=∠DEC=β,F 是 AE 的中点,连接BF,DF.若 BF⊥DF,且α+2β=130°,则∠ABC 的度数为 .
突破11 构全等(二) 证中点
类型一 找全等，证中点
1.如图,在△ABC 中,∠A=∠ABC,延长 AC 到点 E,过点 E 作EF⊥AB 交AB的延长线于点 F,延长CB 到点 G,过点G 作GH⊥AB 交 AB 的延长线于点 H,且 EF═GH.
(1)求证:△AEF≌△BGH;
(2)连接EG与FH 相交于点D,求证:D 为FH 的中点,且AB=2FD.
类型二 作平行，证中点
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为BA 延长线上一点,E 为BC 上一点,DC=DE.
(1)求证:∠BDE=∠ACD;
(2)若DE 是△DBC 的中线,交AC 于点F,求证:DF=EF.
3.如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,D 是AC 上一点,AE⊥AC,BD⊥CE,CE交AB 于点F.若AE=AD,求证:F是AB 的中点.
类型三 作垂线，证中点
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 为AC 上一动点,BD⊥BE,且BD=BE,EC交AB 于点F.求证:F 为EC 的中点.
5.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),C(-2,0),连接AC,过点 A 向右作AD⊥AC,且AD=AC,连接CD.过点M(1,0)作直线MP 垂直于x轴,交CD 于点N,求证:N 为CD 的中点.
6.如图,D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点,点 E 在边AC 上,AB=DE,∠BAC=∠DEC.求证:CD=BC.
突破12 构全等(三) 截长补短
类型一 直接截长
1.如图,△DOE 的角平分线DB,EA 相交于点F,∠DOE=60°.求证:DE=DA+EB.
类型二 直接补短
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AC 为边作△ACD,满足 AD=AC,E 为BC 上一点，且 连接DE.求证:DE=CE+2BE.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC>90°,BD⊥AC,垂足为D,点E在AD上,BE 平分∠ABD,点 F 在BD 延长线上,BF=CE,延长FE 交BC 于点H.
(1)求证:∠CBE=45°;
(2)写出线段 BH 和EH 的位置关系和数量关系，并证明.
4.如图,在△ABC 中,∠BAC=30°,AD 平分∠BAC,点 E 在 BC 的延长线上,∠CAE=75°.若CE=BA+AC,求∠B 的度数.
类型三 间接截长(补短)
5.如图,在四边形 ABDC 中,∠D=∠B=90°,O 为 BD 上的一点,且 AO平分∠BAC,CO平分∠ACD.求证:AB+CD=AC.
6.如图,BN 为∠MBC 的平分线,P 为BN 上一点,且 PD⊥BC 于点 D,∠APC+∠ABC=180°.
(1)求证:PA=PC;
(2)求证:BC-AB=2CD.
C
突破 13 构全等(四) 面积巧转化
类型一 全等割补
1.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,E 是CD 的中点,EF⊥AB 于点F,AB=10,EF=4,则四边形ABCD 的面积为 .
类型二 全等拼接
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于点F,AD=6,CD=10,则S△ADE+ S△CDF的值为 .
类型三 作高计算
3.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC 的角平分线,若BD=8,求△BDC 的面积.
C
类型四 角分垂，出中点
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD⊥AD,连接CD,若 则S△ABC的值为 .
类型五 三垂直，用和差
5.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,M 是△ABC外一点,AM⊥CM,N是BM上一点,AN⊥CN,若AM=10,AN=7,则△AMN的面积为 .
C
类型六 手拉手，构巧图
6.如图,D 为△ABC 内一点,CD⊥BD,CD=BD,∠BAD=45°,AB=12.求
类型七 平行出，等积现
7.如图,在长方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,AB 上的点,BE,DF 交于点O,BE=DF,连接OC.求证:OC平分∠BOD.
类型八 构双高，求长度
8.如图,在正方形ABCD 中,E 是正方形内一点,AE⊥BE,连接DE,CF⊥DE 于点 F,EF=2,DF=5.
(1)求△AED 的面积;
(2)求 AE 的长.
突破14 角平分线(一) 性质与判定
类型一 知角平分线，求最值
1.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BG 平分∠ABC,交AC 于点G,若CG=1,P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为 .
类型二 知角平分线，求周长
2.如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD 平分∠BAC 交BC 于点 D,在AB 上截取AE=AC,则△BDE的周长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
C
类型三 知角平分线，求线段长
3.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的角平分线交AC 于点D,DE⊥BC 于点E,若△ABC 与△CDE 的周长分别为24和12,则 AB 的长为( )
A.10 B.16 C.8 D.6
类型四 知角平分线，求面积
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分 交BC于点D,E 为AB 的中点,连接DE.若AB=24,CD=6,则△DBE 的面积为 .
5.如图,在 中,AD 是角平分线,BE 是 的中线.若 的面积是2.5,AB=5,AC=3,则△ABC的面积是( )
A.5 B.6.8 C.7.5 D.8
6.如图,在△ABC中,AB=2AC,AD 平分∠BAC,延长AD 至点E,使 DE=AD,连接 BE.若 则△ABC 的面积为( )
A.12 B.16 C.18 D.20
类型五 知线段关系，证角平分线
7.如图,A,B 两点分别在射线OM,ON 上,点C 在∠MON 的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC 平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求 AO 的长.
类型六 知角平分线，证角平分线
8.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与外角∠ACN 的平分线交于点D,过点D 作DE⊥BN 于点E,连接AD.
(1)求证:AD 平分外角∠CAM;
(2)若△ABC周长为20,求BE的长.
突破 15 角平分线(二) 面积法
类型一 求线段长
1.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,点I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点 I 作AC 的垂线,垂足为H,若BC=3,AB=4,AC=5,则IH 的长为( )
A.1 B. C.2
2.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD 平分∠BAC.求DC 的长.
3.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,AE 是∠BAD 的角平分线,F 为AE上一点,连接 BF,且∠BFE=45°.
(1)求证:BF 平分∠ABE;
(2)连接CF 交AD 于点G,若 求证:∠AFC=90°;
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长.
4.如图,AD 为 的角平分线，且 ,则 BD 的长为( )
A.7.5 B.5 C.7.2 D.6
类型二 求线段比
5.如图,在 中， 的角平分线AD 交 BC 于点 D,E 为AD 的中点.连接BE,F 为BE上一点,且. 若 则 的值为 .
6.如图,在 中,AB=nAC,AD,AE分别为 的角平分线、中线，若 则 n 的值为( )
B.4
突破16 角平分线(三) 隐角平分线
类型一 知两条，隐一条
1.如图,在∠AOB 的边OA,OB 上分别取点M,N,连接MN,MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB.若 则OM+ON 的长是 .
类型二 知一条，隐两条
2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB=54°,∠BAC=64°,对角线 BD平分∠ABC,∠BCD+∠DCA=180°,则∠ADC 的度数为 .
3.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC,若∠CAB=100°,∠CAD=40°,则∠CDB 的度数为 .
4.如图,点A,B 在坐标轴上,∠ABO 的平分线经过点D(2,-2),且与x 轴交于点C.
(1)求证:AD 平分△OAB 的外角;
(2)求证:OA-OB+AB=4.
突破 17 角平分线(四) 对称型全等
类型一 找对称全等
1.如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是边AB,AD 上一点,CD=CE,∠BEC=∠D,∠BAD+∠BCF=180°.
(1)求证:EB=DF;
(2)连接AC,若CA 平分∠BCF,求证:AB=AF.
类型二 作垂构对称全等
2.如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,点E 在AB 的延长线上,且满足∠ADE+∠CAB=180°.若AC=6,BE=2,则线段 AB 的长为 .
类型三 截长补短构对称全等
3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE 相交于点P.
(1)求∠CPD 的度数;
(2)若AE=3,CD=7,求线段 AC 的长.
4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD 上一点,∠BAD+∠EBC+∠ACE=90°.在AB 边上取点 F,使AF=AC.
(1)求证:∠FEC+2∠EBC=180°;
(2)求证:BE 平分∠ABC.
类型四 延长垂线段(角分垂)构对称全等
5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点E,若BD=8,则 CE 的长度为 .
6.如图,AD,BE 是△ABC 的角平分线,EF⊥AD,垂足为F,当AD⊥BC时,求证:CE=2EF.
类型五 隐角平分线构对称全等
7.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 A 作MN⊥AD,E 是直线MN上异于点A 的一点,连接BE,CE,求证:AB+AC突破26 无刻度直尺画图(一) 取中点
类型一 全等画中点
1.如图, 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺画△ABC 的中线BD，CE.
类型二 等距画中点
2.如图,四边形 ABCD 的顶点都是格点,E,F 分别是AD,BC 边上的点,仅用无刻度的直尺画EF 的中点 P.
类型三 重心画中点
3.如图，A是格点，B，C是格线上的点，仅用无刻度的直尺画BC 的中点D.
类型四 等分周长
4.如图，△ABC 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺画一条直线 l，使直线l 平分△ABC 的周长.
类型五 等分面积
5.如图，△ABC 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在AB上画一点E，连接CE，使得
6.如图，△ABC 的三个顶点都是格点，N是BC 与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在线段AB 上画点 D，使得线段DN平分△ABC的面积.
突破27 无刻度直尺画图(二) 画垂直
类型一 全等画垂线
1.如图，△ABC 的三个顶点和点O 都是格点. 仅用无刻度的直尺分别过点O画AB,AC,BC 的垂线段OD,OE,OF.
类型二 画高线
2.如图，仅用无刻度的直尺画AB 边上的高CE.
类型三 垂心画高线
3.如图，仅用无刻度的直尺画AB 边上的高CH.
4.如图,仅用无刻度的直尺画△ABC 的三条高AD,BE,CF.
类型四 垂直构全等
5.如图，A，B，C，D都是格点，BD的延长线交AC 于点E.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列画图.
(1)在图1中,画出△ABE 的中线EF 和角平分线AG;
(2)在图2中,直接写出△ABD 的形状为 ;在线段AD上画点 P,使BP=AE.
突破 28 无刻度直尺画图(三) 作平行
类型一 平移法
1.如图，A，B，D 都是格点，仅用无刻度的直尺在AC 上画点N，使
类型二 倍长法
2.如图，A，B是格点，C是网格线上的点.仅用无刻度的直尺先画出BC 的中点O，再将 AB 平移到CD，使点 A 的对应点为点C.
类型三 整体法
3.如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点. A，B，C，D都是格点，E是CD 与网格线的交点，仅用无刻度的直尺画EM∥AB，且EM=AB.
类型四 平行转换法
4.如图,A,B,C,D 都是格点. 仅用无刻度的直尺先画△ABC 的高BE,再在AB 上画点F,使
5.如图,四边形ABCD 的顶点都是格点,在AB上画点E,使AE=CE.
类型五 等积分割
6.如图,A,B,C 都是格点. 仅用无刻度的直尺先在边 AB 上画点D,使S△ADC= 再在 内部画点P，使 且
突破29 无刻度直尺画图(四) 画全等
类型— SSS 画全等
1.如图,△ABC 的顶点及点D,E 均在格点上.
(1)直接写出△ABC 的面积为 ;
(2)在网格中画格点 F，使△DEF 与△ABC 全等，画出满足条件的所有的格点 F，并写出它们的坐标为 ；
(3)画△ABC 的高CH.
类型二 SAS画全等
2.如图,△ABC 的顶点都在格点上.
(1)在图1中,画格点 D,使△BCD 与△ABC 全等(点 D 与点A 不重合);
(2)在图2中,先画△ABC 的高BE,再在边 BC 上画点F,使
类型三 AAS画全等
3.如图, 的三个顶点均在格点上.
(1)在图1中,先画△ABC 的中线CD,再在边AC 上画点P,使
(2)在图2中,先画△ABC 的高CE,再在边AB 上画点Q,使AQ=CE.
突破 30 无刻度直尺画图(五) 综合训练
类型一 规律与计数
1.如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点. A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中画一个 使 与 全等；在所给定的网格中，与△ABC 全等的格点三角形(顶点都在格点上，不含 共可画出 个.
2.如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的顶点都在格点上，P是格点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图.
(1)在图1中,先过点P 画PD⊥AB,垂足为D,再在AC下方画格点E,使
(2)在图2中，与△ABC 全等且只有一条公共边的所有格点三角形共有 个，画出所有符合条件的三角形.
类型二 面积分割
3.如图是由小正方形组成的网格， 的顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图1中，画出 的中线AM 和高BN;
(2)在图2中,D,P 是边AC上的格点.先在边 AB 上画一点E,使线段 DE 平分. 的面积,再画 PQ∥BC交AB 于点Q.