构造等边三角形重难点突破（含解析） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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构造等边三角形重难点突破
构等边(一) 作平行
类型一 作平行线构X型全等
1.如图,△ABC 为等边三角形,D 为CB 的延长线上一点,∠ADF=∠DCF=60°.求证:BD=CF.
2.如图,在等边△ABC 中,D 是AB 上一点,E 是 BC 延长线上一点,且 AD=CE,连接DE 交 AC 于点 F.
(1)求证:DF=EF;
(2)过点 D 作DH⊥AC 于点H,求 的值.
类型二 作平行线构旋转全等
3.如图1,在等边△ABC 中,M 为AB 上一点,N 为 CB 的延长线上一点,∠MNB=∠MCB.
(1)求证:AM=BN;
(2)如图2,E 为MC 的中点,连接AE.求证:AN=2AE.
构等边(二) 作等边三角形
类型一 遇等边构等边
1如图,在四边形ABCD 中, 连接BD,则 BD 的长不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
类型二 遇 角构等边
2.如图,在 中,D,E 分别为AB,BC上的点, CD,DE=5,AD=3,,则 CD 的长为 .
C
3.如图,在四边形ABCD 中, ,AC,BD交于点O, 求证：(
突破24 构等边(一) 作平行
1.证明:过点 D 作 DE∥AC 交 AB 的延长线于点E.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC,∠BAC=∠ABC=60°.
∵DE∥AC,
∴∠EDB=∠ACB=60°,∠E=∠BAC=60°,
∴△DBE 为等边三角形,
∴DB=BE=DE,
∴AB+BE=BC+DB,即 AE=CD.
∵∠ADF=∠ABC=∠DCF=60°,
∴∠ADB + ∠CDF = ∠ADB +∠DAB,
∴∠DAB=∠CDF.
∵∠E=∠DCF=60°,
∴△ADE≌△DFC,
∴CF=DE,
∴BD=CF.
2.解:(1)过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于点G,
∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∠FDG=∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,
∠B=∠ACB=∠A=60°,
∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°,
∴△ADG是等边三角形，
∴DG=AD.
∵AD=CE,
∴DG=CE.
∵∠DFG=∠EFC,∠FDG=∠E,DG=CE,
∴△DFG≌△EFC,
∴DF=EF;
(2)∵△ADG 是等边三角形,
AD=DG,DH⊥AC,
又∵△DFG≌△EFC,
3.证明:(1)过点 M 作MH∥BC交AC于点 H.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,
∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵MH∥BC,
∴∠AMH=∠ABC=60°,∠AHM=∠ACB=60°,
∴△AMH 为等边三角形,
∴∠MHC=∠MBN=120°,
∴AM=MH.
∵MH∥BC,
∴∠HMC=∠MCB.
∵∠MCB=∠MNB,
∴MN=MC,∠MNB=∠HMC,
∴△HMC≌△BNM,
∴MH=BN,
∴AM=BN;
(2)延长 AE 至点F,使 EF=AE,连接 CF.
∵E 为 MC 的中点,
∴ME=EC.
∵∠AEM=∠FEC,
∴△AEM≌△FEC,
∴AM=CF,∠MAE=∠F,
∴AM∥CF,
∴∠FCA+∠BAC=180°.
∵∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠ACF=∠ABN=120°.
∵AM=CF,AM=BN,
∴BN=CF.
∵AB=AC,
∴△ABN≌△ACF,
∴AN=AF=2AE.
突破25 构等边(二)作等边三角形
1. D 解:连接 AC,以 AB 为边在AB的左侧作等边△ABF，
则△ABD≌△AFC(SAS),
∴BD=CF,AB=BF=3.
∵BC-BF≤CF≤BC+BF,即5-3≤CF≤5+3,
∴2≤CF≤8,
∴2≤BD≤8.故选 D.
2.8 解:延长 DE 至点 F,使 DF=CD,则△DCF 为等边三角形.
在 AC 上截取CG=CE,连接 DG,则△CDG≌△CFE(SAS),
∴∠CDG=∠F=60°,DG=EF.
设∠ACD=x,
∵BD=CD,
∴∠A=60°+x.
∵∠AGD=∠CDG+∠ACD=60°+x,
∴∠A=∠AGD,
∴DG=AD=3=EF,
∴CD=DF=DE+EF=5+3=8.
3.证明:延长OA 至点E,使OE=OB,连接BE.
∴△BOE 为等边三角形,
∴∠EBO=60°,BE=OB.
∵AB=AD,
∴可设∠ABD=∠ADB=α,则
∵AD=CD,
∴∠DCA = ∠DAC = ∠AOB -
∴∠ABE=∠DCA.
又∵∠E=∠COD=∠AOB=60°,AB=AD=CD,
∴△ABE≌△DCO(AAS),
∴OC=BE,
∴OC=OB.