指数与指数幂的运算
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文档简介
指数与指数幂的运算
一、考点、热点回顾
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）； （2）；
（3）； （4）.
3．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
4．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
5．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
6.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
二、经典例题
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
总结：（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
变式训练：计算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
例2.计算：（1）；
（2）.
总结：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
变式训练：化简：（1）；
（2）
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
总结：此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
变式训练：1、把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）； （2）
2、把下列根式化成分数指数幂：
（1）； （2）； （3）；
例4.计算：
(1)；
(2)．
变式训练：1、计算下列各式：（1）、；
（2）、
例5.化简下列各式.
(1) ； (2)； (3).
变式训练：1、化简：（1）.
(2) (3)
例6．已知，求的值．
总结： 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求及的值，然后整体代入．
变式训练：求值：已知，求的值；
三、实战训练
1、用根式的形式表示下列各式
（1）= （2）= （3）= （4）=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）= （2） （3）=
（4）= （5）= ；（6） = ；
3、求下列各式的值
（1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）=
4.计算
（1） (2)
5.解下列方程
（1） （2） （3）
6.(1).已知，求下列各式的值（1）= ；（2）=
（2）若，则的值是
(3).若，求下列各式的值：（1）= ；（2）= ；
四、课后反馈
1、 ，下列各式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2、 ，下列各式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
3、 下列各式计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
4、若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列运算结果中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.将写为根式，则正确的是（ ）A． B． C． D．
9、化简的结果为（ ） A．5 B． C． D．-5
11.与的值相等是（ ） A. B. C. D.
12、已知，则等于（ ） A．2 B． C． D．
13、化简的结果是（ ） A． B． C． D．
14、下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
15、根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A. B. C.
16、化简：（1） （2）
（3）
4
一、考点、热点回顾
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）； （2）；
（3）； （4）.
3．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
4．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
5．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
6.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
二、经典例题
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
总结：（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
变式训练：计算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
例2.计算：（1）；
（2）.
总结：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
变式训练：化简：（1）；
（2）
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
总结：此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
变式训练：1、把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）； （2）
2、把下列根式化成分数指数幂：
（1）； （2）； （3）；
例4.计算：
(1)；
(2)．
变式训练：1、计算下列各式：（1）、；
（2）、
例5.化简下列各式.
(1) ； (2)； (3).
变式训练：1、化简：（1）.
(2) (3)
例6．已知，求的值．
总结： 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求及的值，然后整体代入．
变式训练：求值：已知，求的值；
三、实战训练
1、用根式的形式表示下列各式
（1）= （2）= （3）= （4）=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）= （2） （3）=
（4）= （5）= ；（6） = ；
3、求下列各式的值
（1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）=
4.计算
（1） (2)
5.解下列方程
（1） （2） （3）
6.(1).已知，求下列各式的值（1）= ；（2）=
（2）若，则的值是
(3).若，求下列各式的值：（1）= ；（2）= ；
四、课后反馈
1、 ，下列各式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2、 ，下列各式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
3、 下列各式计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
4、若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列运算结果中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.将写为根式，则正确的是（ ）A． B． C． D．
9、化简的结果为（ ） A．5 B． C． D．-5
11.与的值相等是（ ） A. B. C. D.
12、已知，则等于（ ） A．2 B． C． D．
13、化简的结果是（ ） A． B． C． D．
14、下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
15、根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A. B. C.
16、化简：（1） （2）
（3）
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