广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·深圳开学考）式子，，，，，中，分式有个
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义，得，，，是分式，
∴分式有4个，
故答案为：C.
【分析】由分式的定义：形如，A、B均为整式，且B中含有字母的式子叫做分式，即可求解.
2．（2024九上·深圳开学考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
3．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
4．（2024九上·深圳开学考）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据题意，得当x=-2，x=5时，有x2-bx-5=5>0，
当x=-1，x=4时，有x2-bx-5=-1<0，
∴方程的解的取值范围是或，
故答案为：A.
【分析】根据表格中x与x2-bx-5的值的变化规律可知方程的解的取值范围.
5．（2024九上·深圳开学考） 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．个 B．或个 C．个 D．或个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 解：∵直线不经过第二象限
∴a≤0
当a=0时，关于x的方程为：2x+1=0，解得：，有一个根
当a<0时，关于的方程为，，有两个根
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质和一元二次方程根的判别式进行计算即可求出答案。
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内，按以下步骤作图：
以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；
分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线，交边于点；
则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AHD=∠HDC，
根据作图，得DG平分∠ADC，
∴∠ADH=∠HDC，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD，
∵ A（0，3），D(1，0)
∴OA=3，OD=1，点H纵坐标为3，
∴，
∴，
∴点H的坐标为 ，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，从而得∠AHD=∠HDC，然后由作图得DG平分∠ADC，得∠ADH=∠HDC，从而进行等量代换求出∠ADH=∠AHD，进而根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理得AH=AD，利用勾股定理求出，最后即可得点H的坐标.
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是边上一点，连接，记面积为，面积为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠DEF=90°，
∴∠AEG=90°，
∵，，
∴，
∵EG=BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】由“射影相似模型”证出，从而根据相似三角形对应边成比例的性质得，即，然后根据正方形的性质求出CD=DE，∠AEG=90°，接下来利用三角形面积，进行等量代换后得，从而有，即可求出DE=CD的长.
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
∴∠DEA=∠DFB=∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是正方形，
∴DE=DF=OF=OE，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，BD⊥AC，
∴∠BAD=45°，∠BDA=90°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴BD=AD，
在和中，
，
∴，
∴AE=BF，
∴OE+OA=OB-OF，
∴2OE=OB-OA，
又∵ 直线分别与轴，轴交于，两点 ，
∴A（3，0），B（0，6），
∴OA=3，OB=6，
∴2OE=6-3=3，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，易证四边形OEDF是正方形，根据正方形的性质得DE=DF=OF=OE，由旋转的性质得∠BAD=45°，从而求出∠ABD=∠BAD=45°，进而根据等腰三角形判定定理得BD=AD，然后证出，根据全等三角形对应边相等得AE=BF，从而得2OE=OB-OA，接下来求出点A、B的坐标，得OA、OB的长，从而求出OE的值，即可得点D的坐标.
9．（2024九上·深圳开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据因式分解的方法-十字相乘法，即可求解.
10．（2024九上·深圳开学考）若分式方程有增根，则它的增根是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母，得4-a（x+1）=（x+1）（x-1），
∵分式方程有增根，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x+1=0或x-1=0，
∴x=-1或x=1，
当x=-1时，有4=0，舍去，
当x=1时，有4-2a=0，即a=2，
∴它的增根是x=1，
故答案为：.
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件得（x+1）（x-1）=0，从而求出x=-1或x=1，将x的值分别代入整式方程中，发现当x=-1时，有4=0不成立，故x=-1不是增根，即可求解.
11．（2024九上·深圳开学考）在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接，若，，则我们把叫做点的“角坐标”若点的坐标为，则点的“角坐标”为 ；
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴OA=2，AP∥y轴，，
∴∠PAO=90°，
∴，
∴∠POA=60°，
∴点P的“角坐标”为，
故答案为：.
【分析】根据题意画出图形，从而由P、A的坐标得OA=2，AP∥y轴，，进而求出∠PAO=90°，然后解直角三角形得，接下来根据特殊角的三角函数值求出∠POA=60°，最后根据题目中的新定义即可求出点P的“角坐标”.
12．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为当时， ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，得CD=t，BE=2t，0≤t≤4，
∵AC=6，BC=8，
∴AD=6-t，CE=8-2t，
∵的面积为S，∠C=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
故答案为：3.
【分析】根据题意得CD=t，BE=2t，0≤t≤4，从而求出AD=6-t，CE=8-2t，然后利用三角形面积公式得，整理得，接下来解一元二次方程求出t的值，注意最后t的取值要在0≤t≤4中.
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；瓜豆原理模型-点在直线上
【解析】【解答】解：连接，延长，交于点，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
当E点位于C点时，G点位于处，
当E点位于A点时，G点位于C处，
故E点在上运动时，G点在上运动，
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作于时，此时最小，又H是的中点，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【分析】连接CG， 延长CG，AD交于点G1，过H点作HG0⊥CG1于G0时，此时HG0最小， 易证，由全等三角形的性质可确定出G点的运动路径为CG所在的直线上，再由垂线段最短确定GH最小值，并结合已知计算即可.
14．（2024九上·深圳开学考）先化简：，然后从不等式组的整数解中选一个合适的数作为的值，代入求值．
【答案】解：原式
，
解不等式组得，
不等式组的整数解为、、，
且，即，
，
当时，原式=3×2-9=-3.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式通分后进行化简得原式=3a-9，然后解不等式组得解集为1≤x＜4，从而得不等式组的整数解为1、2、3，接下来由a-3≠0且a-1≠0得a=2，最后代入原式计算求解即可.
15．（2024九上·深圳开学考）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作为此，该种植户收集了家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲
乙
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角的度数是 ▲ ；
（2）表格中的 ； 填“”“”或“”；
（3）如果，，三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】（1）解：甲快递公司配送速度得分为的频数为：10-2-3-1=3（人），
∴补全频数分布直方图如下图：
扇形统计图中圆心角的度数是：；
（2）7.5；＜
（3）解：画树状图如下：
∴共有8种等可能的结果，其中三家种植户选择同一快递公司的结果有2种，
三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；折线统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由频数分布直方图，得中位数，
根据甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图的波动情况，得，
故答案为：7.5，<.
【分析】（1）先求出甲快递公司配送速度得分为的频数为3人，从而补全频数分布直方图，用360°乘圆心角α这一部分所占百分比即可求出α的度数；
（2）由频数分布直方图中的数据以及中位数的定义得m的值，根据甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图的波动情况以及方差的意义：方差越大，波动越大，方差越小，越稳定即可得；
（3）根据树状图法得所有的等可能结果数，从而得其中三家种植户选择同一快递公司的结果数，最后用概率公式进行求解.
16．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，且边长为4，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由（1）得四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长.
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，，过点作于点，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动设点的运动路程为，的面积为．
（1）请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时的取值范围保留一位小数，误差不超过
【答案】（1）解：∵，
∴∠D+∠C=180°，
，
∴∠C=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴，
∴四边形为矩形，
∴AE=AD，
∵BC=7，BE=3，AB=5，
∴CE=AD=4，，
∴CE=AD=AE=4，
∴矩形为边长为的正方形，
①当点在上运动时，有BP=x，则AP=5-x，如图，过点作于点，
∴∠AHP=90°，
∴，
∴，
②当点在上运动时，有AP=x-5，
∴，
综上所述，；
（2）解：当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
（3）解：从图象看，当时的取值范围为：或答案不唯一．
【知识点】函数自变量的取值范围；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质、垂直的定义证出，根据矩形的判定得四边形为矩形，从而利用矩形性质、勾股定理得CE=AD=AE=4，进而证出矩形为边长为的正方形，接下来进行分类讨论：①当点在上运动时，有BP=x，则AP=5-x，过点作于点，得∠AHP=90°，解直角三角形得，然后利用三角形面积公式求出；②当点在上运动时，有AP=x-5，然后利用三角形面积公式求出；
（2）先画出函数图象，然后观察函数图象，从函数的增减性入手即可求解；
（3）观察函数图象，由可知的函数图象在直线的图象的上方，找到这两个函数图象的交点，即可得x的取值范围.
18．（2024九上·深圳开学考）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材 其农户承包了一块长方形果园，图是果园的平面图，其中米，米准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于米．
素材 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为万元．
问题解决
任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围． 若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
【答案】解：（1）根据题意得：，
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，
根据题意，得，
整理得：．
解得：，，
又要让利于顾客，
，
∴每平方米草莓平均利润下调元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“道路宽度不超过米，且不小于米”得x的取值范围；
（2）利用矩形的面积公式，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，注意x的值有1个在（1）中x的取值范围内，即得路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，根据“每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为万元“列出关于y的一元二次方程，解方程求出y的值，注意由于要让利给顾客，最后要对y的值进行取舍.
19．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
【答案】（1）证明：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
由（1）得，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得BD⊥AC，从而得∠ADB=90°，进而求出∠FBA与∠EAB互余，得证结论；
（2）根据邻余四边形的概念、利用网格线中的平行线，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形“三线合一”性质得AD=CD，然后求出AD=4AE、CE=7AE，接下来根据直角三角形斜边上的中线性质得DM=ME，从而根据“等边对等角”求出∠MDE=∠MED、∠A=∠C，进而证出，由相似三角形对应边成比例的性质得，求出CN=7，从而得BN=3.5，进而得BC=10.5，最后求出AB=BC的值.
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
求证：；
连结，，若，直接写出 ▲ ；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当是等腰三角形时，的值为 ▲ 直接写出
【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠DAF=∠BCD，AD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠EDF=∠CDE+∠BCD=90°，
∵∠EDF=∠BCD，
∴∠ADF=∠CDE，
在和中，
，
∴，
∴DE=DF；
②解：如图，连接BD，交AC于点O，交EF于点O'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
由（1）得，∠DEC=90°，
∴AF=CE，DF=DE，
∴BF=BE，
∴BD垂直平分EF，
∴∠FO'D=∠AOD=90°，
∴EF∥AC，
∴，
∵，
∴，
设BE=3x，BC=4x，
∴AB=BC=CD=4x，CE=BC-BE=x，
∴，
∴，
又∵∠EDF=∠BCD，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD∥BC，AB∥CD，BC=CD，
∵，
∴∠CDB=∠ADB=∠EDF，
∴∠CDE=∠BDM，∠ADF=∠BDN，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CDE=∠BND=∠BDM，∠ADF=∠BMD=∠BDN，
∴，
∴，
①当DM=DN时，
在和中，
，
∴，
∵BD=3，
∴BN=BD=3，
∵CD∥BN，
∴，
∵CD=6，
∴，BC=CD=6，
设CE=x，则BE=6-x，
∴，
解得：x=4，即CE的值为4；
②当ND=NM时，有∠NDM=∠NMD，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠EDF=∠CDB，即∠NDM=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=∠NDM=∠NMD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BN=2BD=6，
∴BN=CD，
在和中，
，
∴，
∴CE=BE，
∵BC=6，
∴CE=3；
③当MD=MN时，有∠MDN=∠MND，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠EDF=∠ADB，即∠MDN=∠ADB，
∴∠MDN=∠MND=∠ADB=∠ABD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴2BN=BD=3，
∴，
由①得，
∴，
∴CE=4BE，
∴BC=BE+CE=5BE=6，
∴，
∴；
综上所述，CE的值为4或3或.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）①根据菱形的性质得AD=CD，∠DAF=∠BCD，AD∥BC，从而求出∠DEC=∠ADE=90°，进而得∠ADF=∠CDE，然后证出，根据全等三角形对应边相等得证结论；
②连接BD，交AC于点O，交EF于点O'，根据菱形的性质得AB=BC=CD，AC⊥BD，从而得∠AOD=90°，然后由（1）中的得AF=CE，DF=DE，从而得BF=BE，进而得BD垂直平分EF，证出EF∥AC，得，根据相似三角形对应边成比例有，接下来设BE=3x，BC=4x，从而得AB=BC=CD、CE、DF=DE的值，进而求出，由∠EDF=∠BCD，证出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，即可求出的值；
（2）由菱形的性质、，得∠CDB=∠ADB=∠EDF，然后证出∠CDE=∠BND=∠BDM，∠ADF=∠BMD=∠BDN，从而证得，根据相似三角形对应边成比例得，接下来由是等腰三角形可知要分三种情况讨论：
①当DM=DN时，易证、，得BN=BD=3，，设CE=x，则BE=6-x，从而得关于x的分式方程，解方程即可求出CE=x的值；
②当ND=NM时，根据“等边对等角”得∠CBD=∠CDB=∠NDM=∠NMD，从而证出，进而得，求出BN=CD=6，然后证明，得CE=BE的值，
③当MD=MN时，与②求法类似，同理求出，从而得，由①得，则，即可求出CE=4BE，接下来利用BC=BE+CE=5BE=6，先求BE的值，最后求CE的值.
1 / 1广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·深圳开学考）式子，，，，，中，分式有个
A． B． C． D．
2．（2024九上·深圳开学考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
4．（2024九上·深圳开学考）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2024九上·深圳开学考） 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．个 B．或个 C．个 D．或个
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内，按以下步骤作图：
以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；
分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线，交边于点；
则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是边上一点，连接，记面积为，面积为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·深圳开学考）分解因式： ．
10．（2024九上·深圳开学考）若分式方程有增根，则它的增根是 ．
11．（2024九上·深圳开学考）在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接，若，，则我们把叫做点的“角坐标”若点的坐标为，则点的“角坐标”为 ；
12．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为当时， ．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 ．
14．（2024九上·深圳开学考）先化简：，然后从不等式组的整数解中选一个合适的数作为的值，代入求值．
15．（2024九上·深圳开学考）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作为此，该种植户收集了家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲
乙
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角的度数是 ▲ ；
（2）表格中的 ； 填“”“”或“”；
（3）如果，，三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
16．（2024九上·深圳开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，，过点作于点，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动设点的运动路程为，的面积为．
（1）请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时的取值范围保留一位小数，误差不超过
18．（2024九上·深圳开学考）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材 其农户承包了一块长方形果园，图是果园的平面图，其中米，米准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于米．
素材 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为万元．
问题解决
任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围． 若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
19．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
求证：；
连结，，若，直接写出 ▲ ；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当是等腰三角形时，的值为 ▲ 直接写出
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式的定义，得，，，是分式，
∴分式有4个，
故答案为：C.
【分析】由分式的定义：形如，A、B均为整式，且B中含有字母的式子叫做分式，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
3．【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
4．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据题意，得当x=-2，x=5时，有x2-bx-5=5>0，
当x=-1，x=4时，有x2-bx-5=-1<0，
∴方程的解的取值范围是或，
故答案为：A.
【分析】根据表格中x与x2-bx-5的值的变化规律可知方程的解的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 解：∵直线不经过第二象限
∴a≤0
当a=0时，关于x的方程为：2x+1=0，解得：，有一个根
当a<0时，关于的方程为，，有两个根
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质和一元二次方程根的判别式进行计算即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AHD=∠HDC，
根据作图，得DG平分∠ADC，
∴∠ADH=∠HDC，
∴∠ADH=∠AHD，
∴AH=AD，
∵ A（0，3），D(1，0)
∴OA=3，OD=1，点H纵坐标为3，
∴，
∴，
∴点H的坐标为 ，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，从而得∠AHD=∠HDC，然后由作图得DG平分∠ADC，得∠ADH=∠HDC，从而进行等量代换求出∠ADH=∠AHD，进而根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理得AH=AD，利用勾股定理求出，最后即可得点H的坐标.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠DEF=90°，
∴∠AEG=90°，
∵，，
∴，
∵EG=BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】由“射影相似模型”证出，从而根据相似三角形对应边成比例的性质得，即，然后根据正方形的性质求出CD=DE，∠AEG=90°，接下来利用三角形面积，进行等量代换后得，从而有，即可求出DE=CD的长.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
∴∠DEA=∠DFB=∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是正方形，
∴DE=DF=OF=OE，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，BD⊥AC，
∴∠BAD=45°，∠BDA=90°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴BD=AD，
在和中，
，
∴，
∴AE=BF，
∴OE+OA=OB-OF，
∴2OE=OB-OA，
又∵ 直线分别与轴，轴交于，两点 ，
∴A（3，0），B（0，6），
∴OA=3，OB=6，
∴2OE=6-3=3，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，易证四边形OEDF是正方形，根据正方形的性质得DE=DF=OF=OE，由旋转的性质得∠BAD=45°，从而求出∠ABD=∠BAD=45°，进而根据等腰三角形判定定理得BD=AD，然后证出，根据全等三角形对应边相等得AE=BF，从而得2OE=OB-OA，接下来求出点A、B的坐标，得OA、OB的长，从而求出OE的值，即可得点D的坐标.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据因式分解的方法-十字相乘法，即可求解.
10．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母，得4-a（x+1）=（x+1）（x-1），
∵分式方程有增根，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x+1=0或x-1=0，
∴x=-1或x=1，
当x=-1时，有4=0，舍去，
当x=1时，有4-2a=0，即a=2，
∴它的增根是x=1，
故答案为：.
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件得（x+1）（x-1）=0，从而求出x=-1或x=1，将x的值分别代入整式方程中，发现当x=-1时，有4=0不成立，故x=-1不是增根，即可求解.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴OA=2，AP∥y轴，，
∴∠PAO=90°，
∴，
∴∠POA=60°，
∴点P的“角坐标”为，
故答案为：.
【分析】根据题意画出图形，从而由P、A的坐标得OA=2，AP∥y轴，，进而求出∠PAO=90°，然后解直角三角形得，接下来根据特殊角的三角函数值求出∠POA=60°，最后根据题目中的新定义即可求出点P的“角坐标”.
12．【答案】3
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，得CD=t，BE=2t，0≤t≤4，
∵AC=6，BC=8，
∴AD=6-t，CE=8-2t，
∵的面积为S，∠C=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
故答案为：3.
【分析】根据题意得CD=t，BE=2t，0≤t≤4，从而求出AD=6-t，CE=8-2t，然后利用三角形面积公式得，整理得，接下来解一元二次方程求出t的值，注意最后t的取值要在0≤t≤4中.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；瓜豆原理模型-点在直线上
【解析】【解答】解：连接，延长，交于点，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
当E点位于C点时，G点位于处，
当E点位于A点时，G点位于C处，
故E点在上运动时，G点在上运动，
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作于时，此时最小，又H是的中点，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【分析】连接CG， 延长CG，AD交于点G1，过H点作HG0⊥CG1于G0时，此时HG0最小， 易证，由全等三角形的性质可确定出G点的运动路径为CG所在的直线上，再由垂线段最短确定GH最小值，并结合已知计算即可.
14．【答案】解：原式
，
解不等式组得，
不等式组的整数解为、、，
且，即，
，
当时，原式=3×2-9=-3.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式通分后进行化简得原式=3a-9，然后解不等式组得解集为1≤x＜4，从而得不等式组的整数解为1、2、3，接下来由a-3≠0且a-1≠0得a=2，最后代入原式计算求解即可.
15．【答案】（1）解：甲快递公司配送速度得分为的频数为：10-2-3-1=3（人），
∴补全频数分布直方图如下图：
扇形统计图中圆心角的度数是：；
（2）7.5；＜
（3）解：画树状图如下：
∴共有8种等可能的结果，其中三家种植户选择同一快递公司的结果有2种，
三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；折线统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由频数分布直方图，得中位数，
根据甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图的波动情况，得，
故答案为：7.5，<.
【分析】（1）先求出甲快递公司配送速度得分为的频数为3人，从而补全频数分布直方图，用360°乘圆心角α这一部分所占百分比即可求出α的度数；
（2）由频数分布直方图中的数据以及中位数的定义得m的值，根据甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图的波动情况以及方差的意义：方差越大，波动越大，方差越小，越稳定即可得；
（3）根据树状图法得所有的等可能结果数，从而得其中三家种植户选择同一快递公司的结果数，最后用概率公式进行求解.
16．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，且边长为4，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由（1）得四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，，从而得，进而得，，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质、 证出是等边三角形，从而得，进而得，然后利用勾股定理求出OC的长，得AC=2OC的长，由（1）中四边形为矩形，得CE=OD的值，∠OCE=90°，最后利用勾股定理求出AE的长.
17．【答案】（1）解：∵，
∴∠D+∠C=180°，
，
∴∠C=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴，
∴四边形为矩形，
∴AE=AD，
∵BC=7，BE=3，AB=5，
∴CE=AD=4，，
∴CE=AD=AE=4，
∴矩形为边长为的正方形，
①当点在上运动时，有BP=x，则AP=5-x，如图，过点作于点，
∴∠AHP=90°，
∴，
∴，
②当点在上运动时，有AP=x-5，
∴，
综上所述，；
（2）解：当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
（3）解：从图象看，当时的取值范围为：或答案不唯一．
【知识点】函数自变量的取值范围；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质、垂直的定义证出，根据矩形的判定得四边形为矩形，从而利用矩形性质、勾股定理得CE=AD=AE=4，进而证出矩形为边长为的正方形，接下来进行分类讨论：①当点在上运动时，有BP=x，则AP=5-x，过点作于点，得∠AHP=90°，解直角三角形得，然后利用三角形面积公式求出；②当点在上运动时，有AP=x-5，然后利用三角形面积公式求出；
（2）先画出函数图象，然后观察函数图象，从函数的增减性入手即可求解；
（3）观察函数图象，由可知的函数图象在直线的图象的上方，找到这两个函数图象的交点，即可得x的取值范围.
18．【答案】解：（1）根据题意得：，
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，
根据题意，得，
整理得：．
解得：，，
又要让利于顾客，
，
∴每平方米草莓平均利润下调元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“道路宽度不超过米，且不小于米”得x的取值范围；
（2）利用矩形的面积公式，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，注意x的值有1个在（1）中x的取值范围内，即得路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，根据“每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为万元“列出关于y的一元二次方程，解方程求出y的值，注意由于要让利给顾客，最后要对y的值进行取舍.
19．【答案】（1）证明：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
由（1）得，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得BD⊥AC，从而得∠ADB=90°，进而求出∠FBA与∠EAB互余，得证结论；
（2）根据邻余四边形的概念、利用网格线中的平行线，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形“三线合一”性质得AD=CD，然后求出AD=4AE、CE=7AE，接下来根据直角三角形斜边上的中线性质得DM=ME，从而根据“等边对等角”求出∠MDE=∠MED、∠A=∠C，进而证出，由相似三角形对应边成比例的性质得，求出CN=7，从而得BN=3.5，进而得BC=10.5，最后求出AB=BC的值.
20．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠DAF=∠BCD，AD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠EDF=∠CDE+∠BCD=90°，
∵∠EDF=∠BCD，
∴∠ADF=∠CDE，
在和中，
，
∴，
∴DE=DF；
②解：如图，连接BD，交AC于点O，交EF于点O'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
由（1）得，∠DEC=90°，
∴AF=CE，DF=DE，
∴BF=BE，
∴BD垂直平分EF，
∴∠FO'D=∠AOD=90°，
∴EF∥AC，
∴，
∵，
∴，
设BE=3x，BC=4x，
∴AB=BC=CD=4x，CE=BC-BE=x，
∴，
∴，
又∵∠EDF=∠BCD，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD∥BC，AB∥CD，BC=CD，
∵，
∴∠CDB=∠ADB=∠EDF，
∴∠CDE=∠BDM，∠ADF=∠BDN，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CDE=∠BND=∠BDM，∠ADF=∠BMD=∠BDN，
∴，
∴，
①当DM=DN时，
在和中，
，
∴，
∵BD=3，
∴BN=BD=3，
∵CD∥BN，
∴，
∵CD=6，
∴，BC=CD=6，
设CE=x，则BE=6-x，
∴，
解得：x=4，即CE的值为4；
②当ND=NM时，有∠NDM=∠NMD，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠EDF=∠CDB，即∠NDM=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=∠NDM=∠NMD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BN=2BD=6，
∴BN=CD，
在和中，
，
∴，
∴CE=BE，
∵BC=6，
∴CE=3；
③当MD=MN时，有∠MDN=∠MND，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠EDF=∠ADB，即∠MDN=∠ADB，
∴∠MDN=∠MND=∠ADB=∠ABD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴2BN=BD=3，
∴，
由①得，
∴，
∴CE=4BE，
∴BC=BE+CE=5BE=6，
∴，
∴；
综上所述，CE的值为4或3或.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）①根据菱形的性质得AD=CD，∠DAF=∠BCD，AD∥BC，从而求出∠DEC=∠ADE=90°，进而得∠ADF=∠CDE，然后证出，根据全等三角形对应边相等得证结论；
②连接BD，交AC于点O，交EF于点O'，根据菱形的性质得AB=BC=CD，AC⊥BD，从而得∠AOD=90°，然后由（1）中的得AF=CE，DF=DE，从而得BF=BE，进而得BD垂直平分EF，证出EF∥AC，得，根据相似三角形对应边成比例有，接下来设BE=3x，BC=4x，从而得AB=BC=CD、CE、DF=DE的值，进而求出，由∠EDF=∠BCD，证出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，即可求出的值；
（2）由菱形的性质、，得∠CDB=∠ADB=∠EDF，然后证出∠CDE=∠BND=∠BDM，∠ADF=∠BMD=∠BDN，从而证得，根据相似三角形对应边成比例得，接下来由是等腰三角形可知要分三种情况讨论：
①当DM=DN时，易证、，得BN=BD=3，，设CE=x，则BE=6-x，从而得关于x的分式方程，解方程即可求出CE=x的值；
②当ND=NM时，根据“等边对等角”得∠CBD=∠CDB=∠NDM=∠NMD，从而证出，进而得，求出BN=CD=6，然后证明，得CE=BE的值，
③当MD=MN时，与②求法类似，同理求出，从而得，由①得，则，即可求出CE=4BE，接下来利用BC=BE+CE=5BE=6，先求BE的值，最后求CE的值.
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