数系的扩充与复数的引入
湖北省黄冈中学 徐永杰
课题引入
问题：将10分成两部分，使两者乘积为40.
思考：能否将实数集中加入一些元素扩充成一个更大的数集使得卡尔丹问题有解？
二、数系扩充回顾
小组讨论：解下列方程，并思考：到目前为止数集一共经历了哪几次扩充，为什么要扩充，几次扩充有什么共同点？
在自然数集中方程有解吗？
在整数集中方程有解吗？
在整数集中方程有解吗？
在有理数集中方程有解吗？
在有理数集中方程有解吗？
在实数集中方程有解吗？
三、 实数集扩充
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．
．”
思考：（1）“”是数吗？它的意义是什么？（2）实数集的扩充需要添加哪些新元素？
为扩充实数集，我们引入一个新数，叫做虚数单位(imaginary unit)，规定满足以下条件:（1）
（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
思考：1.引入i后，你能写出卡当要找的数吗？
2.你还能写出其他含有i的数吗？
3.你能写出扩充后的实数集元素的一般形式吗？
四、复数概念
1、复数：形如的数叫做复数，用字母表示.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.
问题：复数集和实数集之间有什么关系？
问题：中学阶段数的扩充就到此为止了.哪位同学可以总结数系的扩充过程？
2、复数代数表示,即,其中实数与实数分别叫做复数的实部与虚部.
注意：
3、复数的分类：
问题：复数何时为实数？
根据复数中的取值不同，复数可以有以下的分类：
复数
例1.当为何实数时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
（4）？（5）？
五、复数相等概念
请大家想想如何定义两个复数相等？
4、两个复数相等的充要条件：
例2.已知，其中，求与.
六、复数性质
小组讨论：能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？
性质
实数
复数
运算类型、法则
加、减、乘、除、乘方、开方
运算律
交换律、分配律
比较大小
任何两个实数均可比较大小
几何意义
与数轴上的点一一对应
函数关系
实数集间可建立函数关系
七、课堂小结
1、说说这节课的收获（1）你学到了什么？（2）你印象最深的是什么？
2、你还有什么疑惑？你想进一步探究什么？
八、课外作业：
（1）复数集能否进一步扩充？
（2）上网搜索复数在科学技术发展中的运用；
（3）书面作业:习题3.1 题3.
黄冈中学特级教师张卫兵老师点评：
这节课是徐永杰老师参加教育部重点课题生成性教学研究时的一节实验课。生成性教学对老师的教学机智要求很高。徐永杰老师作为一名青年教师，教学设计思路新颖，教学过程流畅，教态亲切自然。作为一节章头起始课，徐老师有创新之处。首先，设计教学情境让学生自己意识到复数引入的必要性、让学生在对比以前的熟悉扩充得到复数的扩充，新旧知识过渡自然，强调学生的自主学习和独立思考，有意识的培养学生的问题意识。最后通过一个小组讨论类比实数性质推导复数性质，培养学生类比推理能力，并且将本章的主要研究内容都包含在学生的探究讨论中，更易引起学生的探究兴趣。对于课堂上一些突发情况：如在引入情境中有学生提出由基本不等式可以得到卡尔丹不等式无解，徐老师借机强调运用基本不等式要注意“正、定、等”三条件，这点做的很好。总体来说，这节课比较成功。但也有一些值得商榷的地方。例如，最后一个答疑的环节设计的时间太少，学生没有充分思考、讨论。又如本节课太“重视”学生活动而忽略了对概念本身的解读，在讲解概念是强调不够到位。再如，引入情境中有些“历史”写法如等书写的科学性、规范性等问题。
数系的扩充与复数的概念教学设计
湖北省黄冈中学 徐永杰
【教材分析】本章《数系的扩充与复数的引入》是中学阶段数集的最后一次扩充。教材编写的思路是：先介绍数系的扩充和复数的概念、代数形式，然后给出复数代数形式的四则运算，最后介绍复数及其运算的几何意义。学生在学习过程中，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，这些都有助于学生的后继学习和终身发展．本节课是该章的起始课，具有承上启下、统领全章的作用.
【学情分析】学生学习本节之前已经对数集的扩充有了一定的了解，但他们对这部分知识的认识是模糊的、肤浅的、不系统的.对数系扩充的原则缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.能力方面，学生一方面具有一定的逻辑推理和合情推理能力，可以类比实数的性质“猜想”复数的性质；但另一方面，学生普遍感觉没有实际意义的纯代数符号运算的知识很抽象、难以接受.
【教学目标】
知识与技能目标：了解引进复数的必要性, 理解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法；掌握复数相等的概念,
过程与方法目标：经历数系扩充的过程，体会类比推理思想在数系扩充过程中的作用；体会复数分类中的分类讨论思想方法；掌握复数相等问题中的转化化归和方程的思想方法的运用.
情感、态度与价值观目标：在经历数系扩充的过程中,体验数学发现和创造的喜悦;；感受数学理性思维在数系扩充中的作用；养成勇于知疑问难、善于探索的学习习惯和思维品质.
【教学重点】了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；理解复数的基本概念,初步了解复数性质；掌握复数的代数表示；掌握复数相等的充要条件.
【教学难点】复数概念的引入；虚数单位的理解；复数性质的“猜想”.
【教学策略】
1．借助数学史中卡尔丹的故事引出实数集扩充的必要性；
2．借助方程求解回顾数系扩充历史，引导学生寻找数系扩充的一般规律，突破复数引入这个难点；
3．利用学生类比推理能力，通过总结实数的一些性质引导学生自己探究复数性质，为学生进一步学习做铺垫；
4．在教学过程中，将探索问题细化，每个问题都设置在学生的最近发展区，为学生解决问题搭梯子，激起他们求知的欲望和研究的兴趣；设置一些问题让学生通过自由讨论与交流，借助集体的力量，在合作中解决问题，培养学生团队合作意识；让学生自己讲解问题，培养学生数学逻辑思维能力和口头表达能力.
教学过程:
课题引入
问题：将10分成两部分，使两者乘积为40.
解：设其中一个数为，则另一个数为，则，化简得，此方程无实根.
【设计意图】通过对介绍数学家卡尔丹提出的问题吸引学生的注意力，激发学生的探究兴趣，让学生感悟数学并不神秘，只要肯思考感悟数学发现并不神秘，数学家的研究和创造灵感也都来自于非常简单、常规的问题．
思考：能否将实数集中加入一些元素扩充成一个更大的数集使得卡尔丹问题有解？
【设计意图】直接提问引出课题，使学生认识到实数集扩充是数学内部发展的需要；引导学生思考数集扩充一般方法.
二、数系扩充回顾
小组讨论：解下列方程，并思考：到目前为止数集一共经历了哪几次扩充，为什么要扩充，几次扩充有什么共同点？
在自然数集中方程有解吗？
在整数集中方程有解吗？
在整数集中方程有解吗？
在有理数集中方程有解吗？
在有理数集中方程有解吗？
在实数集中方程有解吗？
在扩充过程中：①增添了新元素；
②原有的一些基本关系和运算在新数集里仍能运用；
③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
【设计意图】通过细化问题提示学生回顾已学的数集的扩充的历史，然后通过对前几次数集扩充的梳理进行合情推理，交流讨论完成对数系扩充一般规律的探索，借此突破本节课教学中的第一个难点.在此教学环节中有意识的培养学生发现问题、归纳推理解决问题、书面口头表达问题的能力和团结合作解决问题的意识.
三、 实数集扩充（讨论、反思卡尔丹问题）
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．
．”
思考：（1）“”是数吗？它的意义是什么？（2）实数集的扩充需要添加哪些新元素？
事实上添加这些新元素都归结为要添加即可.
【设计意图】卡尔丹的自问自答引发了学生的认知冲突，学生认知新概念的欲望得到调动．笔者再通过将问题设置在学生的“最近发展区”和新知识的生长点来引导学生逐步完成对实数系的扩充、对虚数单位的理解，突破教学中的第二个难点.
为扩充实数集，我们引入一个新数，叫做虚数单位(imaginary unit)，规定满足以下条件:
（1）
（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
【设计意图】介绍虚数单位，有了前面的铺垫学生很容易理解虚数单位满足的两个条件.引入虚数单位后复数的扩充难点就完全突破了.
深入讨论引入情境的问题，引入复数概念：
思考：1.引入i后，你能写出卡尔当要找的数吗？
2.你还能写出其他含有i的数吗？
3.你能写出扩充后的实数集元素的一般形式吗？
【设计意图】逐步递进的问题帮助学生由特殊到一般，得到复数的一般代数形式，锻炼学生的抽象概括能力.
四、复数概念
1、复数：形如的数叫做复数，用字母表示.全体复数组成的集合叫做复数集,记作C.
2、复数代数表示,即,其中实数与实数分别叫做复数的实部与虚部.
注意：复数的实部和虚部均为实数.
【设计意图】实数的虚部一定要交代清楚为实数，这是学生的易错点.要提醒学生格外注意.
3、复数的分类：
问题：复数何时为实数？
根据复数中的取值不同，复数可以有以下的分类：
复数
【设计意图】从数理逻辑来讲，复数集是在实数集基础上扩充过来的，问题的提出很自然的让学生想到分类讨论的思想，通过对复数分类更进一步的理解概念，完成概念体系的建立过程，培养学生逻辑思维能力，帮助学生养成严谨的学习习惯．
例1.当为何实数时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
（4）？（5）？(让学生自己讲解)
解：（1）；（2）；（3）
（4）； （5）
【设计意图】检验、强化学生对复数概念的理解，检验对分类讨论思想方法的运用.培养学生逻辑思维的严密性和用数学语言表达问题的口头表达能力.
五、复数相等概念
请大家想想如何定义两个复数相等？
4、两个复数相等的充要条件：
【设计意图】由学习过的向量作为基础，学生有能力自己得到复数相等的条件，在此以问题的形式引导学生自己说出复数相等的概念可以为后面学习复数几何意义做铺垫.
六、复数性质
小组讨论：能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？
性质
实数
复数
运算类型、法则
加、减、乘、除、乘方、开方
运算律
交换律、分配律
比较大小
任何两个实数均可比较大小
几何意义
与数轴上的点一一对应
函数关系
实数集间可建立函数关系
【设计意图】根据教育学的“先行组织者”理论，笔者在此设计这个小组讨论可以起到起始课的统领全章的作用，同时可以培养学生的类比推理能力和分工协作合作解决问题的意识.
七、课堂小结
1、说说这节课的收获:（1）你学到了什么？（2）你印象最深的是什么？
2、你还有什么疑惑？你想进一步探究什么？
【设计意图】带领学生总结、反思这节课的主要内容，激发学生进一步探索数学真理的欲望.
八、课外作业：
（1）复数集能否进一步扩充？
（2）上网搜索复数在科学技术发展中的运用；
（3）书面作业:习题3.1 题3.
【设计意图】巩固课堂所学内容，培养学生学习数学的兴趣.
教学反思：
这个教学设计是我参加生成性教学模式是笔者根据前期问卷调查分析和学生访谈结果，结合自己的教学经验设计的。教师设计问题情境，引导学生通过小组讨论、师生对话生成知识和方法。课堂的探究气氛热烈，学生的参与度高，通过课堂观察和访谈调查，证实这样的课堂确实深受学生喜爱，正如实验班的郑柳萌所言“我很喜欢老师这样讲课，它让我亲身体验、探索了复数的起源、发展和成熟。在老师的指导下，我们自己摸索清了知识的来龙去脉，很有成就感，而且印象深刻，希望老师其他章节也能这样上”。
事实上，在具体的教学和课堂中，生成性教学模式对老师的要求很高。首先，在设计教学情境的时候要预测学生在探究时可能会遇到的问题，思考我们该如何有针对性的指导学生，必须要有预设。然而，更多的时候，面对课堂学生突发的奇思异想会手足无措。这堂课总体来说比较成功，很受学生欢迎。但基于本人能力限制，对于课堂上一些突发情况没有完全掌控好。例如，在引入情境中有学生提出由基本不等式可以得到卡尔丹不等式无解，我当时第一反应是强调运用基本不等式要注意“正、定、等”三条件，怕影响进度马上就跳过去了，知识、方法的意外生成没有做好。事实上，如果根据学生的回答进一步引导他们去验证这三个条件，证实在此问题中运用基本不等式是可行的，不仅可以很好的解决问题，还可以帮助学生复习基本不等式、培养学生严谨思维习惯。由于首次运用此教学模式讲课，对自己的教学设计不够自信，课堂上放得不是很开，特别是最后一个答疑的环节设计的时间太少不够用，导致最精彩的教学环节没有完成好、意外生成有限。还有，在教学课堂中学生的参与程度不是想象的那么高。我想可能与自己的问题、情境的设置有一定的关系吧。教学设计中每个情境要达到的教学目标是什么？怎样能最大限度的引起学生的探究欲望，让全体学生都参与到我们的教学讨论中去？具体怎样设计才能让学生“跳一跳、够得着”？小组讨论怎样才能保证效率？等问题都值得我去深思。接下来我将进一步尝试着根据学生的反馈意见和教学中的上述问题修改、优化此教学模式，并以此为基础初步探索生成性教学模式在数学概念课中的应用。
课件17张PPT。数 系 的 扩 充与
复数的引入
湖北省黄冈中学 徐永杰卡尔丹(Cardano,1501 ～ 1576)问题：将10分成两个部分，使它们的乘积等于40.一、课题引入想想：能否扩充实数集使得卡尔丹问题有解？二、数系扩充回顾解下列方程，并思考：到目前为止数集一共经历了哪几次扩充，为什么要扩充，这几次数集扩充有什么共同点？小组讨论（2）在整数集中方程 有解吗?（3）在整数集中方程 有解吗?（4）在有理数集中方程 有解吗?（1）在自然数集中方程 有解吗?（5）在有理数集中方程 有解吗?（6）在实数集中方程 有解吗?自然数集 整数集 有理数集 实数集二、数系扩充回顾引入分数引入引入负整数无理数+，×，乘方+，×， 乘方，减法 +，×， 乘方，减法，÷+，×， 乘方，减法，÷，开方在扩充过程中：
①增添了新元素；
②原有的一些基本关系和运算法则
在新数集里仍能运用；
③新数集解决了原数集一些不能解决的问题. 1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．”三、实数集扩充（2）实数集的扩充需要加入哪些元素？ 1637年，法国数学家笛卡尔把这些数叫做“虚数” (R.Descartes,1596～1661)笛卡尔如 等，当时包括卡尔丹在内的数学家都认为这些数是没有意义的、虚无缥缈的 三、实数集扩充 1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次使用符号“i ” 它满足: 称为虚数单位.欧拉(L.Euler,1707 ～ 1783)事实上，这些数最终都归结为-1的平方根三、实数集扩充三、实数集扩充为扩充实数集，我们引入新数i,叫做虚数单位（imaginary unit），并规定:
(1)
(2)实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法运算律仍然成立
思考：（1）引入i 后你能写出卡尔当要找的数吗？
（2）你能写出其他含有 i 的数吗？
（3）你能写出实数集扩充后的数集元素的一般形 式吗？1、复数的概念：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字母 z 表示.实部虚部其中 称为虚数单位.2、复数的代数形式：z=a+bi四、复数概念注意：复数实部和虚部都是实数3、复数的分类：
4、复数集：全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示.四、复数概念思考：复数集与实数集有什么关系？总结：中学阶段数系扩充过程复 数 集添加虚数四、复数概念想想：如何定义两个复数相等？反之,也成立. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,则五、复数相等例2.已知其中,求与 ．解：由已知得：六、复数性质小组讨论能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？七、课堂小结（1）说说这节课的收获：你学到了什么？你印象最深刻的是什么？
（2）你还有什么疑惑？你进一步想探究的是什么？八、课外作业1、思考：复数集能否进一步扩充？
2、上网搜索复数的发展历史和在科学技术发展中的作用
3、习题3.1 题3谢谢！
