四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·武侯开学考）一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·武侯开学考）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 733米，将0.000 000 733用科学记数法表示为( )
A．7.33×10－6 B．7.33×10－7 C．7.33×106 D．7.33×107
3．（2024八上·武侯开学考）下列不能能组成三角形的线段是（ ）
A．5cm,3cm,6cm B．3cm,4cm,5cm C．2cm,4cm,6cm D．5cm,6cm,9cm
4．（2024八上·武侯开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放广告是随机事件
B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖
C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件
5．（2024八上·武侯开学考）如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·武侯开学考）如图，要得到，则需要条件（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·武侯开学考）已知多项式x2+kx+36是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．6 C．12或—12 D．6或—6
8．（2024八上·武侯开学考）如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·武侯开学考）成立的条件是 ．
10．（2024八上·武侯开学考）如图，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD=2：7，则∠COD= °.
11．（2024八上·武侯开学考）若与的乘积中不含一次项，则m的值为 ．
12．（2024八上·武侯开学考）如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则
13．（2024八上·武侯开学考）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是 ．
14．（2024八上·武侯开学考）计算
（1）；
（2）；
（3）
15．（2024八上·武侯开学考）居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？
小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为．
（1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹）
（2）求出两点到奶站的最小距离．
16．（2024八上·武侯开学考）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目．现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
根据以上信息．解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）
（2）图②中扇形的圆心角度数为______度：
（3）计划在五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法．求恰好选中这两项活动的概率．
17．（2024八上·武侯开学考）如图所示，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的大小；
（2）求证：．
18．（2024八上·武侯开学考）如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
19．（2024八上·武侯开学考）计算的结果是 ．
20．（2024八上·武侯开学考）如图，在长方形ABCD中，点E在AD上，连接BE、CE．将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，△DCE 沿CE翻折得到△D'CE，分别作∠CED、∠A'BC的角平分线相交于点F．若∠BCE＝40°，∠A'ED'＝m°， 则∠BFE的度数为 度 （用含m的代数式表示）．
21．（2024八上·武侯开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ．
22．（2024八上·武侯开学考）如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 只填序号．
23．（2024八上·武侯开学考）代数式的最小值是 ．
24．（2024八上·武侯开学考）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，试求的值；
（3）如图3，在中，，，分别以、为边向两边作正方形，两正方形的面积分别为．设，求图中阴影部分面积．
25．（2024八上·武侯开学考）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
（2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
26．（2024八上·武侯开学考）【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．
【问题探究】
（1）的度数为 ；
（2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B中可以找到对称轴，左右对折后，折线左右两边的部分可以完成重合，折线所在直线即对称轴.
选项ACD都找不到这样的对称轴.
故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重台，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称的定义即可解答．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 733=7.33×10－7
故答案为：B.
【分析】大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为原数字从左往右数第一个不为0的数字前面的0的个数.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A. ∵5+3>6，∴5cm,3cm,6cm能组成三角形；
B. ∵3+4>5，∴3cm,4cm,5cm能组成三角形；
C. ∵2+4=6，∴2cm,4cm,6cm不能组成三角形；
D. ∵5+6>9，∴5cm,6cm,9cm能组成三角形；
故答案为：C.
【分析】由于三角形的任意两边之和大于第三边，故只需要找出较小两条的和与最长线段的长比大小即可.
4．【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，选项A说法正确，符合题意；
B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明买1000张彩票也不一定会中奖，选项B说法错误，故不符合题意；
C、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，选项C说法错误，故不符合题意；
D、任意一个三角形，其内角和为180°，故选项D是不可能事件，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项分析判断求解．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD=AE，即已知两组对应边相等，
∴可以用SSS和SAS两种方法证明，
当BC=EC时，可以用SSS证明；
当时，可以用SAS证明；
当时，，可得，
于是可SAS证明.
故选项C符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据题意，已知两边相等，可以添加第三边相等或两边的夹角相等进行证明，据此对各个选项进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴.故选项C满足条件.
选项AD中，出现∠DCF，图中没有字母D，故不能用来证明 ；
选项B中，∠ABE和∠BCF没有关系，故不能用来证明 .
故答案为：C．
【分析】分析四个选项，AD中出现字母D，可以排除；B中两个角没有关系，故不能证明 ；C中利用“内错角相等，两直线平行”得到结论 .
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+36是一个完全平方式
∴x2+kx+36=x2+kx+62=(x±6)2.
∴k=±12，
故答案为：C.
【分析】根据完全平方式的定义，结合和的完全平方公式与差的完全平方公式，将多项式表示表示成平方式的形式，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当时，如图：
∴AE=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥MN，
∴BD=2AE=2x.
∴
图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分，
当时，如图：
∵为定值，
∴函数图象是开口向下的抛物线的一部分.
故答案为：B.
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．分和两段分别讨论函数y关于x的函数以及性质，即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】任何一个不等于零的数的零次幂都等于，据此解答即可．
10．【答案】36
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ∠AOC与∠BOD都是直角，设∠AOB=x，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+x．
∵∠AOB：∠AOD=2：7，
∴，
解得：x=36°．
∴∠AOD=36°+90°=126°，
∴∠COD=∠AOD－∠AOC=126°－90°=36°.
故答案为：36．
【分析】根据∠BOD是直角，设∠AOB=x，则∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+x．根据 ∠AOB：∠AOD=2：7得比例方程，求出x的值，即可得到∠AOD的度数，用∠AOD－∠AOC即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵且与的乘积中不含的一次项，
∴
∴
故答案为：．
【分析】先求出，再计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质和外角性质可得，利用三角形的内角和性质求得∠B+∠C，即可得到的度数，即可求得∠EAF．
13．【答案】
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知，三角形的右上角和右下角完整可测量，这两角的夹边也完整可测量，故都为已知条件，故可得到与原图形全等的三角形，
即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：．
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件，即可判断出画图依据为ASA．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数，零指数次幂和乘方运算法则进行运算，然后进行加减运算即可；
（2）先运算积的乘方，然后依据单项式与单项式的乘除法运算法则按照从左到右的顺序依次运算即可；
（3）先作单项式乘以多项式的运算，然后运用多项式除以单项式的法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
15．【答案】（1）解：作点关于轴的对称点 连结交轴于点，连接.
则点应为奶站的地方.
（2）解：∵点A坐标（0，3），点A和点A'关于x轴对称，
∴的坐标为，
∵点与关于轴对称，P点为x轴上一点，
，
∵到它的距离之和最短
，
∴所求最短距离即线段的长，
∵点的坐标是， 点的坐标是，
，
即从两点到奶站的距离之和最小值是.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）在坐标轴中轴是街道所在直线，故作点关于轴的对称点连结交轴于点P，连结，则AP+BP=A'P+BP≥A'B，当B，P，A'共线时，取得最小值，此时的点即为奶站的地方；
（2）最短距离为的长度，由点是关于轴的对称点可知从而根据两点之间线段最短验证了的长即为最短距离； 根据两点距离公式即可得出的长，进而得出问题的答案.
（1）作点关于轴的对称点 连结.交轴于点，连接.则点应为奶站的地方.
（2）由图可知，的坐标为，
∵点与关于轴对称，
，
∴是的垂直平分线，
，
，
∴所求最短距离即线段的长，
∵点的坐标是， 点的坐标是，
，
即从两点到奶站的距离之和最小值是.
16．【答案】（1）解：120；
选择“：数学园地设计”的有（人），
补全统计图如下：
（2）108
（3）解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
—— AB AC AD AE
BA —— BC BD BE
CA CB —— CD CE
DA DB DC —— DE
EA EB EC ED ——
∵共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）调查学生总数为（人），
故答案为：120.
（2）图②中扇形B的圆心角度数为；
故答案为：108.
【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“：七巧板”的有36人，占调查人数的，用人数÷对应的百分比即可得到总人数，进而可补全条形统计图；
（2）用360°×扇形B所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果数，以及“ 恰好选中这两项活动”的结果数，进而可利用概率公式求出相应的概率．
（1）解：调查学生总数为（人，
选择“．数学园地设计”的有（人，
补全统计图如下：
（2）解：图②中扇形B的圆心角度数为；
（3）解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
——
——
——
——
——
∵共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
17．【答案】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠CEF=90°－∠AEC=30°，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，根据平行线的性质得到，证明∠CEF=30°，利用三角形的外角性质即可求得∠F的度数.
（2）证明为等边三角形，得；由“等角对等边”得CE=CF，即可得证结论．
（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
19．【答案】//
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
20．【答案】(25+m)
【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点A'作A'G//AD于点G，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°.
∴A'G//BC，
∴∠DEA'=∠EA'G，∠GA'B=∠A'BC，
∴∠DEA'+∠A'BC=∠EA'G+∠GA'B=∠EA'B.
∵折叠，
∴∠DEC=∠D'EC，∠A=∠EA'B=90°，
∴∠DEA'+∠A'BC=∠A=90°.
∵∠ECB=40°，AD//BC，
∴∠DEC=∠D'EC=∠ECB=40°，
∴∠DED'=2∠DEC=80°，
∵∠A'ED'=m°，
∴∠DEA'=∠DED'－∠A'ED'=80°－m°.
∴∠A'BC=90°－（80°－m°）=10°+m°.
∵BF平分∠A'BC，
∴，
∵EF平分∠CED，∠ECB=40°
∴
同理可得：∠BFE=∠DEF+∠FBC=5°+m°+20°=25°+m°，
故答案为：(25+m)．
【分析】过点A'作A'G//AD于点G，由四边形ABCD为矩形，可得AD∥BC，由平行公理推论以及平行线的性质可得∠DEA'+∠A'BC=∠EA'G+∠GA'B=∠EA'B；由折叠可得∠A=∠EA'B=90°，∠DEC=∠D'EC，从而得∠DEA'+∠A'BC=∠A=90°. 由∠ECB=40°和AD//BC，可得DEA'的度数；从而可求得可求∠A'BC的度数，由BF平分∠A'BC，可求∠FBC，同理，利用∠BFE=∠DEF+∠FBC即可得到结论．
21．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，
，
，
∵，，
，
．
故答案为：．
【分析】据线段垂直平分线的性质，推得；根据等腰三角形的性质，求出，由∠ABC－∠ABD即可得到结论．
22．【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
∴，，，
∴， .
在和中，
，
∴，
∴；故选项①正确；
②∵
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；故选项②正确；
③∵
∴，
∵∠BPO=∠APC，，；
∴∠AOB=∠ACB=60°；故选项③正确；
④∵，
，
，故选项④错误；
如图，过点作，垂足为，作，垂足为，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°－∠AOB=120°.
，
∴∠PCM=∠QCN=60°－∠MCQ.
∵，，∠PCM=∠QCN，
∴，
∴，
平分，故选项俗正确．
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：；
【分析】由等边三角形的性质证明，于是可利用SAS证明，利用全等三角形边的结论可判断①；利用ASA证明， 可得，证明△PCQ是等边三角形，利用等边三角形角的性质即可判断②；利用全等三角形角的性质得，结合对角线的性质和三角形内角和定理即可得∠AOB=∠ACB=60°，于是可判断③；利用三角形“大边对大角，大角对大边”可判断④；过点作，垂足为，作，垂足为，证明， 于是可得CM=CN，即可利用角平分线的性质判断⑤.
23．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵原式
∴代数式可看做平面直角坐标系内点P(x，0)到点A（0，2）和点B（12，3）的距离之和，
∵点P(x，0)，
所以点P为x轴上任意点，
作点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，过点B作BC⊥y轴于点C（0，3），如图：
则PA+PB=PA'+PB≥A'B，当A'，P，B三点共线时，可以取“=”，即PA+PB最小为A'B.
∵A'(0，-2)，C（0，3），B（12，3）
∴BA'=3+2=5，BB'=12，
∴最小值为
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，代数式可看做平面直角坐标系内点P(x，0)到点A（0，2）和点B（12，3）的距离之和，作直角坐标系，在坐标系中作点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，过点B作BC⊥y轴于点C（0，3），于是有PA+PB=PA'+PB≥A'B，当A'，P，B三点共线时，可以取“=”，即PA+PB最小为A'B.确定A'B，BB'的长，再利用勾股定理计算A'B的长即可.
24．【答案】（1）
（2）解：结合（1）可得：
∵，
∴
∴或
（3）解：由题意得：，
∴．
∵，
∴28+2ab=82=64.
∴ab=18，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：由图可知：图中阴影部分的面积可表示成，
也可以表示成，
∴，即；
故答案为：；
【分析】（1）用两种不同的方法表示出图中阴影部分的面积，即可得出结论；
（2）根据（1）中的结论得，代入数据求解即可；
（3）根据，利用和的完全平方公式，求出的值，根据阴影部分的面积等于，即可得解．
25．【答案】（1）解：（）∵ 从地运往处的蔬菜为吨，C地一共需要240吨，故还需从A地运往C地（240－x）吨；
∵从地运往处的蔬菜为吨，B地一共有蔬菜300吨，故可以从B地运往D地（300－x）吨；
∵蔬菜基地有蔬菜，从A地运往C地（240－x）吨；故从A地运往D地[200－(240－x)]=（x－40）吨.
填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得：，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：
，
∴，
∵在中，一次项系数，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案填表如下：
总计/
总计/
（3）解：
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，2-m<0，w随x的增大而减小，
故总费用最小，此时其调运方案如下：
总计/
总计/
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（）根据题意，用减去即得从调运往处的数量；根据C和D所需蔬菜的总吨数，分别减去从B处运往两地的，即可得到从A地运往C和D两地的数量；
（）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组确定x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得到结论；
（）本题根据m的取值范围不同而有不同的解，分、和三种情况，再利用一次函数的性质解答即可.
（1）解：（）填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：，
∴，
∵在中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/
总计/
（3）解：由题意得，
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
26．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∵，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵，
∴，
∴∠F+∠CDA=90°，
∴，
又∵，
∴，
∴，结论得证.
（3）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形外角性质得，即可求出答案；
（2）利用直角三角的性质证明，于是可利用AAS证明，于是可利用全等三角形的性质得结论；
（3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到．
（1）解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
1 / 1四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·武侯开学考）一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化，以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B中可以找到对称轴，左右对折后，折线左右两边的部分可以完成重合，折线所在直线即对称轴.
选项ACD都找不到这样的对称轴.
故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重台，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称的定义即可解答．
2．（2024八上·武侯开学考）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 733米，将0.000 000 733用科学记数法表示为( )
A．7.33×10－6 B．7.33×10－7 C．7.33×106 D．7.33×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 733=7.33×10－7
故答案为：B.
【分析】大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为原数字从左往右数第一个不为0的数字前面的0的个数.
3．（2024八上·武侯开学考）下列不能能组成三角形的线段是（ ）
A．5cm,3cm,6cm B．3cm,4cm,5cm C．2cm,4cm,6cm D．5cm,6cm,9cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A. ∵5+3>6，∴5cm,3cm,6cm能组成三角形；
B. ∵3+4>5，∴3cm,4cm,5cm能组成三角形；
C. ∵2+4=6，∴2cm,4cm,6cm不能组成三角形；
D. ∵5+6>9，∴5cm,6cm,9cm能组成三角形；
故答案为：C.
【分析】由于三角形的任意两边之和大于第三边，故只需要找出较小两条的和与最长线段的长比大小即可.
4．（2024八上·武侯开学考）下列说法中正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放广告是随机事件
B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖
C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件
【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，选项A说法正确，符合题意；
B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明买1000张彩票也不一定会中奖，选项B说法错误，故不符合题意；
C、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，选项C说法错误，故不符合题意；
D、任意一个三角形，其内角和为180°，故选项D是不可能事件，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项分析判断求解．
5．（2024八上·武侯开学考）如图，在和中，，欲证，必须补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD=AE，即已知两组对应边相等，
∴可以用SSS和SAS两种方法证明，
当BC=EC时，可以用SSS证明；
当时，可以用SAS证明；
当时，，可得，
于是可SAS证明.
故选项C符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据题意，已知两边相等，可以添加第三边相等或两边的夹角相等进行证明，据此对各个选项进行判断即可．
6．（2024八上·武侯开学考）如图，要得到，则需要条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴.故选项C满足条件.
选项AD中，出现∠DCF，图中没有字母D，故不能用来证明 ；
选项B中，∠ABE和∠BCF没有关系，故不能用来证明 .
故答案为：C．
【分析】分析四个选项，AD中出现字母D，可以排除；B中两个角没有关系，故不能证明 ；C中利用“内错角相等，两直线平行”得到结论 .
7．（2024八上·武侯开学考）已知多项式x2+kx+36是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．6 C．12或—12 D．6或—6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+36是一个完全平方式
∴x2+kx+36=x2+kx+62=(x±6)2.
∴k=±12，
故答案为：C.
【分析】根据完全平方式的定义，结合和的完全平方公式与差的完全平方公式，将多项式表示表示成平方式的形式，即可求解.
8．（2024八上·武侯开学考）如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当时，如图：
∴AE=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥MN，
∴BD=2AE=2x.
∴
图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分，
当时，如图：
∵为定值，
∴函数图象是开口向下的抛物线的一部分.
故答案为：B.
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．分和两段分别讨论函数y关于x的函数以及性质，即可得到答案.
9．（2024八上·武侯开学考）成立的条件是 ．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】任何一个不等于零的数的零次幂都等于，据此解答即可．
10．（2024八上·武侯开学考）如图，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD=2：7，则∠COD= °.
【答案】36
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ∠AOC与∠BOD都是直角，设∠AOB=x，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+x．
∵∠AOB：∠AOD=2：7，
∴，
解得：x=36°．
∴∠AOD=36°+90°=126°，
∴∠COD=∠AOD－∠AOC=126°－90°=36°.
故答案为：36．
【分析】根据∠BOD是直角，设∠AOB=x，则∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+x．根据 ∠AOB：∠AOD=2：7得比例方程，求出x的值，即可得到∠AOD的度数，用∠AOD－∠AOC即可得出答案．
11．（2024八上·武侯开学考）若与的乘积中不含一次项，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵且与的乘积中不含的一次项，
∴
∴
故答案为：．
【分析】先求出，再计算求解即可。
12．（2024八上·武侯开学考）如图在中．的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质和外角性质可得，利用三角形的内角和性质求得∠B+∠C，即可得到的度数，即可求得∠EAF．
13．（2024八上·武侯开学考）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知，三角形的右上角和右下角完整可测量，这两角的夹边也完整可测量，故都为已知条件，故可得到与原图形全等的三角形，
即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：．
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件，即可判断出画图依据为ASA．
14．（2024八上·武侯开学考）计算
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数，零指数次幂和乘方运算法则进行运算，然后进行加减运算即可；
（2）先运算积的乘方，然后依据单项式与单项式的乘除法运算法则按照从左到右的顺序依次运算即可；
（3）先作单项式乘以多项式的运算，然后运用多项式除以单项式的法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
15．（2024八上·武侯开学考）居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？
小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为．
（1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹）
（2）求出两点到奶站的最小距离．
【答案】（1）解：作点关于轴的对称点 连结交轴于点，连接.
则点应为奶站的地方.
（2）解：∵点A坐标（0，3），点A和点A'关于x轴对称，
∴的坐标为，
∵点与关于轴对称，P点为x轴上一点，
，
∵到它的距离之和最短
，
∴所求最短距离即线段的长，
∵点的坐标是， 点的坐标是，
，
即从两点到奶站的距离之和最小值是.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）在坐标轴中轴是街道所在直线，故作点关于轴的对称点连结交轴于点P，连结，则AP+BP=A'P+BP≥A'B，当B，P，A'共线时，取得最小值，此时的点即为奶站的地方；
（2）最短距离为的长度，由点是关于轴的对称点可知从而根据两点之间线段最短验证了的长即为最短距离； 根据两点距离公式即可得出的长，进而得出问题的答案.
（1）作点关于轴的对称点 连结.交轴于点，连接.则点应为奶站的地方.
（2）由图可知，的坐标为，
∵点与关于轴对称，
，
∴是的垂直平分线，
，
，
∴所求最短距离即线段的长，
∵点的坐标是， 点的坐标是，
，
即从两点到奶站的距离之和最小值是.
16．（2024八上·武侯开学考）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目．现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
根据以上信息．解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）
（2）图②中扇形的圆心角度数为______度：
（3）计划在五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法．求恰好选中这两项活动的概率．
【答案】（1）解：120；
选择“：数学园地设计”的有（人），
补全统计图如下：
（2）108
（3）解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
—— AB AC AD AE
BA —— BC BD BE
CA CB —— CD CE
DA DB DC —— DE
EA EB EC ED ——
∵共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）调查学生总数为（人），
故答案为：120.
（2）图②中扇形B的圆心角度数为；
故答案为：108.
【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“：七巧板”的有36人，占调查人数的，用人数÷对应的百分比即可得到总人数，进而可补全条形统计图；
（2）用360°×扇形B所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果数，以及“ 恰好选中这两项活动”的结果数，进而可利用概率公式求出相应的概率．
（1）解：调查学生总数为（人，
选择“．数学园地设计”的有（人，
补全统计图如下：
（2）解：图②中扇形B的圆心角度数为；
（3）解：在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
——
——
——
——
——
∵共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
17．（2024八上·武侯开学考）如图所示，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的大小；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠CEF=90°－∠AEC=30°，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，根据平行线的性质得到，证明∠CEF=30°，利用三角形的外角性质即可求得∠F的度数.
（2）证明为等边三角形，得；由“等角对等边”得CE=CF，即可得证结论．
（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2024八上·武侯开学考）如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
19．（2024八上·武侯开学考）计算的结果是 ．
【答案】//
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
20．（2024八上·武侯开学考）如图，在长方形ABCD中，点E在AD上，连接BE、CE．将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，△DCE 沿CE翻折得到△D'CE，分别作∠CED、∠A'BC的角平分线相交于点F．若∠BCE＝40°，∠A'ED'＝m°， 则∠BFE的度数为 度 （用含m的代数式表示）．
【答案】(25+m)
【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点A'作A'G//AD于点G，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°.
∴A'G//BC，
∴∠DEA'=∠EA'G，∠GA'B=∠A'BC，
∴∠DEA'+∠A'BC=∠EA'G+∠GA'B=∠EA'B.
∵折叠，
∴∠DEC=∠D'EC，∠A=∠EA'B=90°，
∴∠DEA'+∠A'BC=∠A=90°.
∵∠ECB=40°，AD//BC，
∴∠DEC=∠D'EC=∠ECB=40°，
∴∠DED'=2∠DEC=80°，
∵∠A'ED'=m°，
∴∠DEA'=∠DED'－∠A'ED'=80°－m°.
∴∠A'BC=90°－（80°－m°）=10°+m°.
∵BF平分∠A'BC，
∴，
∵EF平分∠CED，∠ECB=40°
∴
同理可得：∠BFE=∠DEF+∠FBC=5°+m°+20°=25°+m°，
故答案为：(25+m)．
【分析】过点A'作A'G//AD于点G，由四边形ABCD为矩形，可得AD∥BC，由平行公理推论以及平行线的性质可得∠DEA'+∠A'BC=∠EA'G+∠GA'B=∠EA'B；由折叠可得∠A=∠EA'B=90°，∠DEC=∠D'EC，从而得∠DEA'+∠A'BC=∠A=90°. 由∠ECB=40°和AD//BC，可得DEA'的度数；从而可求得可求∠A'BC的度数，由BF平分∠A'BC，可求∠FBC，同理，利用∠BFE=∠DEF+∠FBC即可得到结论．
21．（2024八上·武侯开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，
，
，
∵，，
，
．
故答案为：．
【分析】据线段垂直平分线的性质，推得；根据等腰三角形的性质，求出，由∠ABC－∠ABD即可得到结论．
22．（2024八上·武侯开学考）如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 只填序号．
【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
∴，，，
∴， .
在和中，
，
∴，
∴；故选项①正确；
②∵
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；故选项②正确；
③∵
∴，
∵∠BPO=∠APC，，；
∴∠AOB=∠ACB=60°；故选项③正确；
④∵，
，
，故选项④错误；
如图，过点作，垂足为，作，垂足为，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°－∠AOB=120°.
，
∴∠PCM=∠QCN=60°－∠MCQ.
∵，，∠PCM=∠QCN，
∴，
∴，
平分，故选项俗正确．
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：；
【分析】由等边三角形的性质证明，于是可利用SAS证明，利用全等三角形边的结论可判断①；利用ASA证明， 可得，证明△PCQ是等边三角形，利用等边三角形角的性质即可判断②；利用全等三角形角的性质得，结合对角线的性质和三角形内角和定理即可得∠AOB=∠ACB=60°，于是可判断③；利用三角形“大边对大角，大角对大边”可判断④；过点作，垂足为，作，垂足为，证明， 于是可得CM=CN，即可利用角平分线的性质判断⑤.
23．（2024八上·武侯开学考）代数式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵原式
∴代数式可看做平面直角坐标系内点P(x，0)到点A（0，2）和点B（12，3）的距离之和，
∵点P(x，0)，
所以点P为x轴上任意点，
作点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，过点B作BC⊥y轴于点C（0，3），如图：
则PA+PB=PA'+PB≥A'B，当A'，P，B三点共线时，可以取“=”，即PA+PB最小为A'B.
∵A'(0，-2)，C（0，3），B（12，3）
∴BA'=3+2=5，BB'=12，
∴最小值为
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，代数式可看做平面直角坐标系内点P(x，0)到点A（0，2）和点B（12，3）的距离之和，作直角坐标系，在坐标系中作点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，过点B作BC⊥y轴于点C（0，3），于是有PA+PB=PA'+PB≥A'B，当A'，P，B三点共线时，可以取“=”，即PA+PB最小为A'B.确定A'B，BB'的长，再利用勾股定理计算A'B的长即可.
24．（2024八上·武侯开学考）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，试求的值；
（3）如图3，在中，，，分别以、为边向两边作正方形，两正方形的面积分别为．设，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）解：结合（1）可得：
∵，
∴
∴或
（3）解：由题意得：，
∴．
∵，
∴28+2ab=82=64.
∴ab=18，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：由图可知：图中阴影部分的面积可表示成，
也可以表示成，
∴，即；
故答案为：；
【分析】（1）用两种不同的方法表示出图中阴影部分的面积，即可得出结论；
（2）根据（1）中的结论得，代入数据求解即可；
（3）根据，利用和的完全平方公式，求出的值，根据阴影部分的面积等于，即可得解．
25．（2024八上·武侯开学考）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
（2）设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】（1）解：（）∵ 从地运往处的蔬菜为吨，C地一共需要240吨，故还需从A地运往C地（240－x）吨；
∵从地运往处的蔬菜为吨，B地一共有蔬菜300吨，故可以从B地运往D地（300－x）吨；
∵蔬菜基地有蔬菜，从A地运往C地（240－x）吨；故从A地运往D地[200－(240－x)]=（x－40）吨.
填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得：，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：
，
∴，
∵在中，一次项系数，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案填表如下：
总计/
总计/
（3）解：
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，2-m<0，w随x的增大而减小，
故总费用最小，此时其调运方案如下：
总计/
总计/
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（）根据题意，用减去即得从调运往处的数量；根据C和D所需蔬菜的总吨数，分别减去从B处运往两地的，即可得到从A地运往C和D两地的数量；
（）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组确定x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得到结论；
（）本题根据m的取值范围不同而有不同的解，分、和三种情况，再利用一次函数的性质解答即可.
（1）解：（）填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：，
∴，
∵在中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/
总计/
（3）解：由题意得，
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
26．（2024八上·武侯开学考）【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．
【问题探究】
（1）的度数为 ；
（2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∵，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵，
∴，
∴∠F+∠CDA=90°，
∴，
又∵，
∴，
∴，结论得证.
（3）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形外角性质得，即可求出答案；
（2）利用直角三角的性质证明，于是可利用AAS证明，于是可利用全等三角形的性质得结论；
（3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到．
（1）解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
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