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八年级《最短路径》解答题专项练习（一）
1．已知：在平面直角坐标系中，任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），其两点之间的距离公式为．如：已知A（1，5），B（﹣3，6），则AB．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．如：已知A（0，5），B（0，﹣6），则AB＝|（﹣6）﹣5|＝11．
（1）若点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（4，2），点C的坐标为（1，2）则AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）若点A的坐标为（3，1），点B的坐标为（6，3），点P是x轴上的动点，求出AP+PB的最小值；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（2，4），E（﹣2，2），F（3，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
2．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13km．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
3．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（l）已知点A（4，4），B（1，0），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
4．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高．
（1）若∠ABC＝∠ACB＝15°，请证明：；
（2）若∠ABC＝30°，CD＝3，点E是BC边上的中点，求AC+AE的最小值．
5．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式M＝a2+4a+6，利用配方法求M的最小值：
M＝a2+4a+6＝（a+2）2+2，∵（a+2）2≥0，∴当a＝﹣2时，代数式M有最小值为2．
再比如：正数a，b满足a+b＝3，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）若代数式M＝a2+2a+b2﹣4b+8，求M的最小值；
（2）已知正数x，y满足x+y＝7，求的最小值．
6．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
7．综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）．
（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为 ；
（2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标为 ；
（3）若点Q在x轴上，且使得QA+QC最小，则点Q的坐标为 ．
9．如图．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1 ，B1 ，C1 ；
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 ；
（3）求点B到边AC的距离h．
10．如图，等边三角形ABC，AB＝8，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝5，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上的一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的直最小时，求BF的值？中小学教育资源及组卷应用平台
八年级《最短路径》解答题专项练习（一）
1．已知：在平面直角坐标系中，任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），其两点之间的距离公式为．如：已知A（1，5），B（﹣3，6），则AB．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．如：已知A（0，5），B（0，﹣6），则AB＝|（﹣6）﹣5|＝11．
（1）若点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（4，2），点C的坐标为（1，2）则AB＝ 4 ，BC＝ 3 ，AC＝ 5 ；
（2）若点A的坐标为（3，1），点B的坐标为（6，3），点P是x轴上的动点，求出AP+PB的最小值；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（2，4），E（﹣2，2），F（3，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）直接根据所给两点之间的距离公式计算即可；
（2）利用将军饮马模型，确定点A关于x轴的对称点坐标，再利用两点之间的距离公式即可求出AP+PB的最小值；
（3）直接根据所给两点之间的距离公式计算出这个三角形的三边长，再根据三边长之间的关系判断此三角形的形状即可．
解：（1）∵A（4，6），B（4，2），C（1，2），
∴AB＝|2﹣6|＝4，
BC＝|1﹣4|＝3，
AC5，
故答案为：4，3，5；
（2）画出图象如下：其中点A'是点A关于x轴的对称点，
由将军饮马模型，可知AP+PB的最小值就是A'B的长，
∵A（3，1），
∴A'（3，﹣1），
∵B（6，3），
∴A'B5，
∴AP+PB的最小值为5；
（3）直角三角形．
理由：∵D（2，4），E（﹣2，2），F（3，2），
∴DE，
EF＝|3+2|＝5，
DF，
∵DE2+DF2＝20+5＝25，EF2＝25，
∴DE2+DF2＝EF2，
根据勾股定理的逆定理，知此三角形是直角三角形．
2．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13km．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
【思路点拔】（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；
（2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．
解：（1）作点A关于河边所在直线的对称点A′，连接A′B交直线于P，
则点P为水泵站的位置，
此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，
设这两线交于点C，则∠C＝90°．
又过A作AE⊥BC于E，
依题意BE＝5，AB＝13，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝132﹣52＝144．
∴AE＝12．
由平移关系，A′C＝AE＝12，
△BA′C中，∵BC＝7+2＝9，A′C＝12，
∴A′B2＝A′C2+BC2＝92+122＝225，
∴A′B＝15．
∵PA＝PA′，
∴PA+PB＝A′B＝15．
∴4000×15＝60000（元），
答：最节约铺设水管的费用为60000元．
3．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（l）已知点A（4，4），B（1，0），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
【思路点拔】（1）利用两点间距离公式计算即可．
（2）AB＝两点横坐标差的绝对值．
（3）原式表示点（x，y）到（0，﹣1）和（﹣6，7）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，﹣1）和（﹣6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
解：（1）∵点A（4，4），B（1，0），
∴AB5．
（2）根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上，
∴AB＝|6﹣（﹣2）|＝8．
（3）∵原式，
∴原式表示点（x，y）到（0，﹣1）和（﹣6，7）的距离之和．
∵两点之间线段最短，
∴点（x，y）在以（0，﹣1）和（﹣6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
∴最小值10．
4．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高．
（1）若∠ABC＝∠ACB＝15°，请证明：；
（2）若∠ABC＝30°，CD＝3，点E是BC边上的中点，求AC+AE的最小值．
【思路点拔】（1）利用等腰三角形的判定，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解决问题；
（2）延长CD到C'，使C'D＝CD＝3，连接AC'，C'E，推出AC+AE的最小值为C'E，再证明C'E＝BD，因此求出BD的长即可解决问题．
（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，
∴AC＝AB，∠CAD＝30°，
∵CD是AB边上的高，
∴CDAC，
∴CDAB；
（2）解：延长CD到C'，使C'D＝CD＝3，连接AC'，C'E，如图，
∵CD是AB边上的高，
∴BD是CC'的垂直平分线，
∴AC'＝AC，
∴AC+AE＝AC'+AE≥C'E，
即AC+AE的最小值为C'E，
∵∠ABC＝30°，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，
∵点E是BC边上的中点，
∴CE＝3＝CD，
又∵BC＝C'C＝6，∠BCD＝∠C'CE，
∴△BCD≌△C'CE（SAS），
∴BD＝C'E，
由勾股定理，得BD，
∴C'E，
即AC+AE的最小值为．
5．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式M＝a2+4a+6，利用配方法求M的最小值：
M＝a2+4a+6＝（a+2）2+2，∵（a+2）2≥0，∴当a＝﹣2时，代数式M有最小值为2．
再比如：正数a，b满足a+b＝3，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）若代数式M＝a2+2a+b2﹣4b+8，求M的最小值；
（2）已知正数x，y满足x+y＝7，求的最小值．
【思路点拔】（1）利用配方法解答即可；
（2）构造几何图形，利用勾股定理解答即可．
解：（1）M＝a2+2a+b2﹣4b+8
＝（a+1）2+（b﹣2）2+3，
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴当a＝﹣1，b＝2时，M有最小值3；
（2）如图，AB＝7，即x+y＝7，AD＝3，BE＝4，∠DAB＝∠EBA＝90°，
则为线段DC的长度，为线段CE的长度，
当的值最小时，D、C、E三点共线，
所以最小值为7．
故的最小值为7．
6．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
【思路点拔】作出点B关于直线m的对称点B'，连接AB'交m于点P，点P即为所求．
解：如图，点P即为所求．
7．综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ （x+2） km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 ＜ d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 ＜ d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
【思路点拔】（1）根据方案一表示出d1即可；
（2）根据方案二，利用勾股定理求出d2即可；
（3）①当x＝4时，求出d1，d2，再比较大小即可；
②当x＝6时，求出d1，d2，再比较大小即可；
（4）利用方框中的方法，求出，再分三种情况讨论，求出x的范围即可确定是选择方案一还是方案二．
解：（1）∵A到主管道l的距离是2km，AP⊥l，
∴PA＝2km，
∵AB＝x km．
∴d1＝AB+PA＝x+2（km），
故答案为：x+2；
（2）由题意，得BD＝3﹣2＝1（km），B'D＝2×3﹣1＝5（km），
由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝x2﹣12＝x2﹣1，
∴d2＝AB'（km），
故答案为：；
（3）①当x＝4时，d1＝4+2＝6（km），d2（km），
∵6，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
②当x＝6时，d1＝6+2＝8（km），d2（km），
∵8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞；
（4），
①当4x﹣20＞0，即x＞5时，，
∴d1﹣d2＞0，即 d1＞d2，
②当 4x﹣20＝0，即x＝5时，，
∴d1﹣d2＝0 即 d1＝d2，
③当4x﹣20＜0，即x＜5时，，
∴d1﹣d2＜0，即 d1＜d2，
综上可得：当x＞5时，选方案二；当x＝5时，选方案一或方案二；当x＜5时，选方案一．
8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）．
（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标为 （﹣2，0） ；
（3）若点Q在x轴上，且使得QA+QC最小，则点Q的坐标为 （﹣4，0） ．
【思路点拔】（1）根据A、B两点的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4），可找出原点，即可求出点C坐标；
（2）作线段AC的线段垂直平分线即可找出P的坐标；
（3）作A点的对称点A'，连接A'C，即可找出Q点坐标．
解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）；
∴即可找出原点的位置并建立直角坐标系，如图所示；
∴点C的坐标为：（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）；
（2）∵P在x轴上，且PA＝PC；
∴作线段AC的垂直平分线，交x轴于P点，
如图，此时点P即为所求，坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（3）作A点的对称点A'，连接A'C交x轴于点Q，
如图，此时Q点即为所求；
此时Q点坐标为（﹣4，0）．
9．如图．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1 （﹣1，1） ，B1 （﹣4，2） ，C1 （﹣3，4） ；
（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为 3 ；
（3）求点B到边AC的距离h．
【思路点拔】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求；
（3）根据三角形 打麻将公式即可得到结论．
解：（1）如图，
故答案为：（﹣1，1）、（﹣4，2）、（﹣3，4）；
（2）如图所示，点P即为所求，
PA+PB的最小值为3；
故答案为：3；
（3）由题意，得 ，
∵，，
∴，解得 ．
10．如图，等边三角形ABC，AB＝8，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝5，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上的一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的直最小时，求BF的值？
【思路点拔】作点E关于CD的对称点E′，作E′F⊥AB于F，交CD于P，则EP+PF最小，最小值是E′F的长，可求得BE′＝11，∠B＝60°．进一步得出结果．
解：如图，
作点E关于CD的对称点E′，作E′F⊥AB于F，交CD于P，则EP+PF最小，最小值是E′F的长，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝3，∠BE′F＝30°，
∴E′C＝CE＝3，
∴BE′＝3+8＝11，
∴BFBE′．
