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八年级《最短路径》专项练习
一．选择题（共2小题）
1．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（ ）
A．14 B．16或22 C．22 D．14或22
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
二．填空题（共2小题）
3．如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 ．
4．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝36°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 ．
三．解答题（共11小题）
5．综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ ，C′B＝ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
6．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．
（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
7．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结BP，CP，求证：BP＝CP；
（2）连结AP，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，求△APC的周长的最小值．
8．如图，某公路（可视为x轴）的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边（x轴上）建一仓库D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中x轴上标出使送货路线之和最短的点D所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
10．在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一动点，连接BE，在BE的下方作等边△BEF．
（1）当BD＝DE时，连接CF，
①∠ABF＝ ．
②求证：△ABE≌△CBF．
（2）连接DF，△BDF的周长是否有最小值，若有请求出此时∠DBF的度数；若没有请说明理由．
11．如图，CA∥BD，CA⊥AB，AC＝5，BD＝3，AB＝8，E是AB上一动点，设AE＝x．
（1）用x表示CE；
（2）当x为何值时，CE＝DE；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
12．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．
13．如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE．
（1）证明：∠BAC＝∠BDC；
（2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值．
14．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
15．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
八年级《最短路径》专项练习
一．选择题（共2小题）
1．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（ ）
A．14 B．16或22 C．22 D．14或22
【思路点拔】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成24cm和30cm两部分，可得|AB﹣BC|＝30﹣24＝6，AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
解：如图，
∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
即AD＝CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝30﹣24＝6（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54（cm），
若AB＞BC，则AB﹣BC＝6（cm），
又∵2AB+BC＝54（cm），
联立方程组：，解得：AB＝20cm，BC＝14cm，
20、20、14三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB＝6（cm），
又2AB+BC＝54（cm），
联立方程组：，解得：AB＝16，BC＝22，
16、16、22三边能够组成三角形；
∴BC＝14或22．
故选：D．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4 B．3 C．4或3 D．4或6
【思路点拔】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD24＝12cm，
设点P、Q的运动时间为t s，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16﹣4t）cm
①当BD＝PC时，16﹣4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4（cm/s）；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8cm，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6（cm/s）．
故选：D．
二．填空题（共2小题）
3．如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 34° ．
【思路点拔】在AC上截取AE＝AB，连接DE，则可证明△ABD≌△AED，得出BD＝ED，DE＝EC，将∠ACB转化为∠ABD进行计算．
解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AC＝AB+BD，
∴EC＝BD，
在△ABD和△AED中，
AB＝AE，∠DAC＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝ED，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠ACB＝∠EDC+∠ECD＝∠AED＝∠ABD∠ABC＝34°．
故答案为34°．
4．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝36°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 36°或144° ．
【思路点拔】由“HL”可证Rt△DPN≌Rt△DQH，由全等三角形的性质可求解．
解；如图，过点D作DH⊥OA于H，DN⊥OB于N，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，
∴DH＝DN，
当点Q在点H的右侧时，
在Rt△DPN和Rt△DQH中，
，
∴Rt△DPN≌Rt△DQH（HL），
∴∠DPO＝∠DQO＝36°，
当点Q'在点H左侧时，同理可求∠DQ'H＝36°，
∴∠DQ'O＝144°，
综上所述：∠DQO的度数为36°或144°，
故答案为：36°或144°．
三．解答题（共11小题）
5．综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ CB′ ，C′B＝ C′B′ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【思路点拔】（1）先由轴对称的性质得到CB＝CB′，C′B＝C′B′，则AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+C′B′，再由两点之间线段最短即可证明结论；
（2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求．
解：分析问题：根据题意可知：CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+C′B′，
∴AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+CB＜AC′+C′B，
∴作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
故答案为：CB′，C′B′
解决问题：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求．
∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求．
6．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．
（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣a，b） ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可；
（3）连接A'C，与直线l交于点P，连接PA，此时PA+PC最短．
解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；
（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）；
（3）如图，点P即为所求．
7．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结BP，CP，求证：BP＝CP；
（2）连结AP，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，求△APC的周长的最小值．
【思路点拔】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，即可求解．
（1）证明：∵P是直线m上的一动点，m是BC的垂直平分线，
∴BP＝CP；
（2）解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于T，如图：
∵BP＝CP，
∴当P和T重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是：AP+CP+AC＝AB+AC＝6+4＝10．
8．如图，某公路（可视为x轴）的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边（x轴上）建一仓库D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中x轴上标出使送货路线之和最短的点D所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
【思路点拔】作A点关于x轴的对称点A′，再连接A′C，则A′C与x轴的交点即为点D．
解：两条路线中，AB、BC的长度是固定的，
∴送货路线之和最短，则D到A、C的路径最短，
∴作A点关于x轴的对称点A′，再连接A′C，则A′C与x轴的交点即为点D，
则点D即为所求．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50° ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长的最小值是8+6＝14cm，
10．在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上一动点，连接BE，在BE的下方作等边△BEF．
（1）当BD＝DE时，连接CF，
①∠ABF＝ 75° ．
②求证：△ABE≌△CBF．
（2）连接DF，△BDF的周长是否有最小值，若有请求出此时∠DBF的度数；若没有请说明理由．
【思路点拔】（1）①根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠EBF＝60°，∠ADB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠EBD＝∠BED＝45°，求得∠CBF＝15°，再利用∠ABF＝∠ABC+∠CBF求解即可；
②根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC，BE＝BF，再利用等量代换可得ABE＝∠CBF，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）连接CF，由②同理可证△ABE≌△CBF（SAS），可得∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF＝FG，当B、F、G三点共线，BF+DF的最小值为BG，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可．
解：（1）①∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∵BD＝DE，
∴∠EBD＝∠BED＝45°，
∴∠CBF＝∠EBF﹣∠EBD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝60°+15°＝75°，
故答案为：75°；
②证明：∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC，BE＝BF，
∵∠ABE+∠EBD＝60°，CBF+∠EBD＝60°，
∴ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC，BE＝BF，
∵∠ABE+∠EBD＝60°，CBF+∠EBD＝60°，
∴ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF＝FG，
∴当B、F、G三点共线，BF+DF的最小值为BG，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质得，∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠CGD＝∠CDG＝60°，
∵BG⊥CG，即∠CGB＝90°，
∴∠DBF＝90°﹣60°＝30°．
11．如图，CA∥BD，CA⊥AB，AC＝5，BD＝3，AB＝8，E是AB上一动点，设AE＝x．
（1）用x表示CE；
（2）当x为何值时，CE＝DE；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
【思路点拔】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）首先根据题意可得BD⊥AB，BE＝8﹣x，然后由勾股定理可得，当CE＝DE，可有x2+25＝（8﹣x）2+9，求解即可获得答案；
（3）作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，由对称的性质可得，EC＝FE，证明四边形AFGB为矩形，由矩形的性质可得BG＝AF＝AC＝5，FG＝AB＝8，易得DG＝8；结合（1）（2）可知，故当点D、E、F在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，然后利用勾股定理求解即可．
解：（1）∵CA⊥AB，AC＝5，AE＝x．
∴；
（2）∵CA∥BD，BD＝3，AB＝8，
∴BD⊥AB，BE＝8﹣x，
∴，
∵CE＝DE，
∴x2+25＝（8﹣x）2+9，
解得 x＝3，
∴当x为3时，CE＝DE；
（3）如图，作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，
由对称的性质可得，EC＝FE，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴∠BAF＝∠ABG＝∠BGF＝90°，
∴四边形AFGB为矩形，
∴BG＝AF＝AC＝5，FG＝AB＝8，
∴DG＝DB+BG＝8，
∵，
∴当点D、E、F在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，
∴CE+DE的最小值为，
即的最小值为．
12．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
（2）连接B1C与DE交于点P，则点P即为所求点；
（3）作AC的中垂线与DE交于点Q，则点Q即为所求点．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）连接B1C，B1C与DE的交点即为点P；
（3）作AC的中垂线，与DE的交点即为所求点Q．
13．如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE．
（1）证明：∠BAC＝∠BDC；
（2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值．
【思路点拔】（1）连接AD，如图，利用对称的性质得到BN垂直平分AD，则BA＝BD，CA＝CD，然后证明△BAC≌△BDC，从而得到∠BAC＝∠BDC；
（2）先证明∠E＝∠BDE＝60°，则△BDE为等边三角形，所以DE＝BE＝12，再利用BN垂直平分AD，则PA＝PD，所以PE+PD＝PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号），于是可判断P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，从而得到△PDE周长的最小值．
（1）证明：连接AD，如图，
∵点A关于射线BN对称点为D，
∴BN垂直平分AD，
∴BA＝BD，CA＝CD，
在△BAC和△BDC中，
，
∴△BAC≌△BDC（SSS），
∴∠BAC＝∠BDC；
（2）解：∵△BAC≌△BDC，
∴∠DBN＝∠ABN＝60°，
∵BE＝BA，BA＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ABD＝∠E+∠BDE，
∴∠E＝∠BDE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DE＝BE＝12，
∵BN垂直平分AD，
∴PA＝PD，
∴PE+PD＝PE+PA，
∵PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号），
即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36．
14．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100° ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
【思路点拔】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
15．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．
【思路点拔】分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN，利用轴对称的性质解答即可．
解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
则△MON为等边三角形，
即NM＝ON＝OP＝10cm．
即△PQR周长的最小值等于10cm．
