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八年级《最短路径》解答题专项练习（二）
1．综合与实践
【问题情景】
（1）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．设CD＝x，用含x的代数式表示AC+CE的长．
【数学思考】
（2）如图2，在某河道一侧有两家工厂A，B，它们到河道的距离AD，BC分别是5km，7km，两工厂之间的距离AB是7km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P抽水，且使得抽水点P到两家工厂A，B的距离之和最短，求出PA+PB的最小值．
【深入探究】
（3）请结合（2）的思路，直接写出代数式（0≤x≤6）的最小值： 10 ．
【思路点拔】（1）根据图1，利用勾股定理即可含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，推出PA+PB的最小值就是A'B的长，再利用勾股定理求出A'B的长即可；
（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
解：（1）∵BD＝8，CD＝x，
∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，
∴由勾股定理，得AC，
在Rt△EDC中，
∵DE＝1，
∴由勾股定理，得CE，
∴AC+CE；
（2）作点A关于l的对称点A'，过点A'作A'E⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图，
则四边形ADCF，四边形DA'EC，四边形AA'EF都是矩形，PA'＝PA，
∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B，
∴PA+PB的最小值为A'B，
∵AD＝5km，BC＝7km，AB＝7km，
∴EC＝A'D＝AD＝FC＝5km，BE＝BC+CE＝12km，BF＝BC﹣FC＝2km，
在Rt△ABF中，
由勾股定理，得AF（km），
∴A'Ekm，
在Rt△A'BE中，
由勾股定理，得A'B（km），
∴PA+PB的最小值为km；
（3）构造图形如下，其中C为线段BD上点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，其中AB＝6，DE＝2，BD＝6．CD＝x，
则BC＝6﹣x，CE，AC，
连接AE，
∵AC+CE≥AE，
∴代数式（0≤x≤6）的最小值为AE的长，
过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，
则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝BD＝6，BF＝DE＝2，
∴AF＝AB+BF＝8，
在Rt△AEFG中，
由勾股定理，得AE10，
∴代数式（0≤x≤6）的最小值为10．
故答案为：10．
2．（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n＝2，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝2，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n．
①用含m的代数式表示CE＝ ，用含n的代数式表DE＝ ；
②据此写出的最小值 ；
（2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值；
（3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1，试运用构图法，直接写出的最小值 ．
【思路点拔】（1）①根据图形，运用勾股定理即可求解；②根据勾股定理，最短路径的运用即可求解；
（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解；
（3）构造边长为1的正方形，根据勾股定理即可求解．
解：（1）①根据题意，△ACE，△BDE都是直角三角形，∠A＝∠B＝90°，
∴在Rt△ACE中，AC＝1，AE＝m，
∴，
在Rt△BDE中，BD＝2，BE＝n，
∴，
故答案为：；
②如图所示，过点D所DG∥AB交CA延长线于点G，
∴AG＝BD＝2DG＝AE+BE＝AB＝2，
当点C，E，D三点共线时，有最小值，
∴，
在直角△CDG中，CG＝CA+AG＝1+2＝3，DG＝AB＝2，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2），，
如图所示，PQ⊥QR，QR⊥RS，PQ＝6，QR＝8，RS＝9，设QT＝x，则RT＝8﹣x，
∴，，
当P，T，S三点共线时，PT+TS的值最小，
∴根据（1）中的证明可得，PJ＝PQ+QJ＝6+9＝15，SJ＝QR＝8，
∴在直角△PJS中，，
∴的最小值为17，
故答案为：17；
（3）∵a+b+c＝1，如图所示，作边长为1的正方形，在边上截取长为a，b，c的线段，
∴，，，
则，
当点A，B，C，D四点共线时，线段最短，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s，整个接水的过程不计热量损失．
科学常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．【理解“科学常识”】若某同学接了9s的温水，又接了3s的开水，得到一杯44℃的温水，则一定有15×3×（100﹣44）＝20×9×（44﹣30）．
（1）甲同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为40℃的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间；
（2）乙同学计划花15s先接温水再接开水，得到一杯不少于280ml的温水，他至少要接温水多少s？此时他得到的温水为多少℃？
【思路点拔】（1）设该学生接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，由物理常识的公式列出方程组即可．
（3）设乙同学接温水时间是a s，由一杯不少于280ml的温水，得出20a+15（15﹣a）≥280，即可求得a≥11，设此时他得到的温水为t℃，根据公式列式得到15×4（100﹣t）＝20×11（t﹣30），解得t＝45．
解：（1）设该学生接温水的时间为x s，接开水的时间为y s．
根据题意可得方程组：，
解得：，
答：学生接温水的时间为12s，接开水的时间为s；
（2）设乙同学接温水时间是a s，则接开水时间是（15﹣a）s，
则20a+15（15﹣a）≥280，
解得a≥11，
设此时他得到的温水为t℃，
则15×4（100﹣t）＝20×11（t﹣30），
解得t＝45，
答：他至少要接温水11s，此时他得到的温水为45℃．
4．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．
【思路点拔】（1）根据勾股定理可得本题答案；
（2）利用两点之间直线最短可知当A，C，E三点为一条直线时，即点C为AE和BD交点时，AC+CE最小，
（3）过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，连接AE交BD于点C，构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形性质和直角三角形性质可求AE即为代数式最小值．
解：（1）∵BD＝8，设CD＝x．
∴BC＝BD﹣CD＝8﹣x，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
，
∴；
（2）∵两点之间直线最短，
∴当A，C，E三点为一条直线时，即点C为AE和BD交点时，AC+CE最小，
∵AB∥DE，AB＝4，DE＝2，
∴，
∵BC+CD＝BD＝8，
∴BC＝2CD，，
∴CD+2CD＝8，即：，
，即：，
∴点C在BD上距离点B距离为时，AC+CE最小；
（3）过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，连接AE交BD于点C，使得AB＝4，ED＝3，DB＝24，
∵，
∴AE的长即为代数式的最小值，
∴过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得到AFDB矩形，
∴AB＝DF＝4，AF＝BD＝24，
∴，
∴即AE的最小值为25，
∴代数式的最小值为25．
5．如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？
【思路点拔】根据题意，要使铺设水管的费用最省，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，则BA′与直线l的交点即是水厂的位置M，根据勾股定理，求出A′B的长度，再根据总价＝单价×数量，即可得出答案．
解：作点A关于直线CD的对称点A'．连接BA'，交CD于点M，则A'B＝AM+BM，
此时AM+BM为铺设水管的最短路线，
过A'作CD的平行线，交BD的延长线于点E，得Rt△A'BE，
∵DE＝A'C＝AC＝6千米，BE＝DE+BD＝20千米，A'E＝CD＝15千米，∴A'B25，
∴总费用是：3×25＝75（万元）．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数．
（2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；
②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ACB＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵MN⊥AB，
∴∠ANM＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣∠A﹣∠ANM＝40°；
（2）如图：连接BM，
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
∴△MBC＝MB+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝20（cm）；
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是12cm．
7．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．
（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？
（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为 10 ．
【思路点拔】（1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解；
（2）根据（1）可直接进行求解．
解：（1）根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段AE和BD交点处时AC+CE的值最小，如图所示：
过点A、D分别作AF∥BD，DF∥AB，交于一点F，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵AB⊥BD，即∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形，
∵AB＝5，DE＝1，BD＝8，
∴AB＝DF＝5，BD＝AF＝8，
∴EF＝6，
∴，
∴AC+CE的最小值为10；
（2）由（1）可知：的最小值为10；
故答案为10．
8．已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
【思路点拔】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．
作法：
作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点P，
则P点为所求．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，D为线段BC的中点，E是线段AC上的一动点，求ED+BE的最小值．
【思路点拔】作点B关于AC的对称点F，连接FC，FD，EF，得出△CFB是等边三角形，进而根据ED+BE＝ED+EF≥DF得出最小值为DF的长，勾股定理，即可求解．
解：如图所示，作点B关于AC的对称点F，连接FC，FD，EF，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵CF＝CB，
∴△CFB是等边三角形，
∵CA⊥FB，
∴EF＝EB，
∴ED+BE＝ED+EF≥DF，
即最小值为DF的长，
∵，则FB＝6，
∴．
10．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
（1）∠BEA的度数为 30° ；
（2）连接PE，交AM于点N，试说明AM垂直平分PE；
（3）点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【思路点拔】（1）根据题意可证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），得到∠CAD＝∠CAB，由CA＝CE，可得∠CAD＝∠BEA，然后根据直角三角形的性质即可解答；
（2）先说明AE∥MP，由平行的性质可得∠PMC＝∠MAE＝30°，然后再证明△NEC≌△NPC（SAS）可得EN＝PN，再根据等腰三角形的性质可证明结论；
（3）先说明PE＝QE，则ME+PE＝ME+QE≥MQ，此时ME+PE的值最小，进而证明结论．
解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠CAD＝∠CAB，
∵CA＝CE，
∴∠CAD＝∠BEA，
∵∠EBA＝90°，
∴∠CAD＝∠BEA＝∠CAB＝30°，
故答案为：30°；
（2）证明：∵AE⊥PD，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC＝∠MAE＝30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB＝∠ABE＝90°，
∴∠MEA＝90°+30°＝120°，
∵∠MAE＝30°，
∴∠EMA＝30°，
∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，MC＝MC，
∴△MEC≌△MPC（AAS），
∴PC＝EC，
在△NEC和△NPC中，
，
∴△NEC≌△NPC（SAS），
∴EN＝PN，
∴N是PE的中点，
∴AM垂直平分PE；
（3）证明：如图，延长PD、ME交于Q点，
由（1）（2）知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，
∴∠MEA＝120°，
∴∠DEQ＝60°，
∵AE⊥PD，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠EQD＝30°，
∵∠CPN＝30°，
∴∠EPD＝∠DQE，
∴PE＝QE，
∴ME+PE＝ME+QE≥MQ，此时ME+PE的值最小，
∵点O是直线上AE的动点，
∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．中小学教育资源及组卷应用平台
八年级《最短路径》解答题专项练习（二）
1．综合与实践
【问题情景】
（1）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．设CD＝x，用含x的代数式表示AC+CE的长．
【数学思考】
（2）如图2，在某河道一侧有两家工厂A，B，它们到河道的距离AD，BC分别是5km，7km，两工厂之间的距离AB是7km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P抽水，且使得抽水点P到两家工厂A，B的距离之和最短，求出PA+PB的最小值．
【深入探究】
（3）请结合（2）的思路，直接写出代数式（0≤x≤6）的最小值： ．
2．（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n＝2，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝2，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n．
①用含m的代数式表示CE＝ ，用含n的代数式表DE＝ ；
②据此写出的最小值 ；
（2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值；
（3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1，试运用构图法，直接写出的最小值 ．
3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s，整个接水的过程不计热量损失．
科学常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．【理解“科学常识”】若某同学接了9s的温水，又接了3s的开水，得到一杯44℃的温水，则一定有15×3×（100﹣44）＝20×9×（44﹣30）．
（1）甲同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为40℃的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间；
（2）乙同学计划花15s先接温水再接开水，得到一杯不少于280ml的温水，他至少要接温水多少s？此时他得到的温水为多少℃？
4．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．
5．如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数．
（2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．
7．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．
（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？
（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为 ．
8．已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，D为线段BC的中点，E是线段AC上的一动点，求ED+BE的最小值．
10．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
（1）∠BEA的度数为 ；
（2）连接PE，交AM于点N，试说明AM垂直平分PE；
（3）点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
