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八年级上册《边三角形判定与性质》解答题专项练习（二）
1．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．
3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
5．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
6．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动的时间为ts，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E、G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长．
8．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．
9．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．
（1）判断△CED的形状，并说明理由；
（2）若OC＝3，求CD的长．
10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．中小学教育资源及组卷应用平台
八年级上册《边三角形判定与性质》解答题专项练习（二）
1．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°（3分）
∴△ODE是等边三角形；（4分）
（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，（7分）
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．（8分）
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD＝x，CF＝y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．
【思路点拔】（1）由已知可得∠FDB＝60°，∠B＝60°，从而可得到△BDF是等边三角形．
（2）由∠A＝30°，∠ACB＝90°可得AB＝2BC＝2，再将CF＝y，BF＝1﹣y，代入即可得出x，y的关系；
（3）当EF∥AB时，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，CFEF，EFDF，代入计算即可求得AD的长．
解：（1）△BDF是等边三角形，证明如下：
∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，
∴∠DFB＝60°，∴△BDF是等边三角形．
（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，
∵CF＝y，∴BF＝1﹣y，又△BDF是等边三角形，∴BD＝BF＝1﹣y，
∴x＝2﹣（1﹣y）＝1+y，∴y＝x﹣1，
（3）当EF∥AB时，∠CEF＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，
∴CFEF，EFDF，
∵DF＝BF＝1﹣y，∴y（1﹣y），∴y，
∴x＝y+1，即AD．
3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
【思路点拔】由C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，利用SAS易证得△ACD≌△BCE，继而可证得△ACP≌△BCQ，则可得CP＝CQ，又由∠BCD＝60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
∴△PCQ为等边三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
【思路点拔】由△ABC是等边三角形和DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求出∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，推出∠D＝∠E＝∠F＝60°，推出DF＝DE＝EF，即可得出△DEF等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形．
5．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【思路点拔】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠BDA＝60°，于是得到AB＝AD，等量代换得到CD＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，推出∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，即可得到结论；
（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠MDE，AB＝DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD＝∠CAD于是得到结论．
（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴AB＝AD，
∵CD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠BAD＝60°，
∴∠C＝30°；
（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，
在△ABE和△MDE中，
，
∴△ABE≌△MDE（SAS），
∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，
在△MAD与△CAD，，
∴△MAD≌△CAD，（SAS）
∴∠MAD＝∠CAD，
∴AD是∠EAC的平分线．
6．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动的时间为ts，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
（2）假设△BPQ能成为等边三角形，通过三边相等，得出t的值．
解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
理由是：
∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴当点Q到达点C时，BP＝3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．
（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP＝PQ＝BQ，
∴6﹣t＝2t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△BPQ是个等边三角形．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E、G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长．
【思路点拔】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB＝EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG＝60°，同理求出∠AGE＝60°，从而判断出，△AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．
解：如图，连接AE、AG
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB＝EA，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B＝∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠AEG＝60°，
同理可证：∠AGE＝60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE＝EG＝AG，
又∵AE＝BE，AG＝GC，
∴BE＝EG＝GC，
又BE+EG+GC＝BC＝18（cm），
∴EG＝6（cm）．
8．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．
【思路点拔】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．
解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，
∴AE＝BF＝CD，
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DE＝EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形．
9．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．
（1）判断△CED的形状，并说明理由；
（2）若OC＝3，求CD的长．
【思路点拔】（1）△CED为等边三角形，理由如下：由OC为角平分线及∠AOB度数求出∠AOC与∠COE度数，再由CE与OA平行，得到一对内错角相等，再由CD与OC垂直，求出∠ECD度数，利用三个内角相等的三角形为等边三角形即可得证；
（2）由△CED为等边三角形，得到三边相等，利用等角对等边得到OE＝CE，进而得到OE＝CE＝DE，设CD＝x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OD＝2x，再由OC的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出CD的长．
解：（1）△CED是等边三角形，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠COE＝30°，
∵CE∥OA，
∴∠AOC＝∠COE＝∠OCE＝30°，∠CED＝60°，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD＝90°，
∴∠EDC＝60°，
∴△CED是等边三角形；
（2）∵△CED是等边三角形，
∴CD＝CE＝ED，
又∵∠COE＝∠OCE，
∴OE＝EC，
∴CD＝ED＝OE，
设CD＝x，则OD＝2x，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：x2+9＝4x2，解得：x，
则CD．
10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
【思路点拔】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF＝∠CAH，BC＝AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF＝CH，根据∠FCH＝60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCD＝60°＝∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF＝CH，
又∵∠FCH＝60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD＝60°，
∴FH∥BD．
