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八年级上册《等边三角形判定与性质》解答题专项练习(一)
1.如图,过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的垂线MG,MN,NG,三条垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形.
【思路点拔】本题中△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,求出∠M,∠N,∠G的值即可解决问题.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BC⊥MN,BA⊥MG,
∴∠CBM=∠BAM=90°.
∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°.
∴∠M=90°﹣∠ABM=60°.
同理:∠N=∠G=60°.
∴△MNG为等边三角形.
2.如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
【思路点拔】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证;
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°,结合(1)中的结论可得∠ADO为90°,那么可得所求三角形的形状;
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数,根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可.
证明:(1)∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC,
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.
解:(2)△AOD是直角三角形.
理由如下:
∵△OCD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(3)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α,
∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=α﹣60°,
∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣(190°﹣α)﹣(α﹣60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°﹣α=50°,
∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,
α﹣60°=50°,
∴α=110°.
综上所述:当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.
3.如图,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E.
(1)求证:△ADE是等边三角形.
(2)求证:AEAB.
【思路点拔】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可.
(2)根据等边三角形的性质解答即可.
证明:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°.
∴△ADE是等边三角形.
(2)∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵BD平分∠ABC,
∴ADAC.
∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD.
∴AEAB.
4.已知:如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.
求证:△DEF是等边三角形.
【思路点拔】由△ABC是等边三角形,AD=BE=CF,易证得△ADF≌△BED,即可得DF=DE,同理可得DF=EF,即可证得:△DEF是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∵AD=BE=CF,
∴AF=BD,
在△ADF和△BED中,
,
∴△ADF≌△BED(SAS),
∴DF=DE,
同理DE=EF,
∴DE=DF=EF.
∴△DEF是等边三角形.
5.如图△ABC为等边三角形,直线a∥AB,D为直线BC上任一动点,将一60°角的顶点置于点D处,它的一边始终经过点A,另一边与直线a交于点E.
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)求证:△ADE是等边三角形;
(2)若D为直线BC上任一点(如图2),其他条件不变,上述(1)的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
【思路点拔】(1)根据题意得出EC=CD=DB,进而可证得△ABD≌△ACE,从而可判断出结论.
(2)在AC上取点F,使CF=CD,连接DF,从而证得△ADF≌△EDC,进而得出结论.
(1)证明:∵a∥AB,且△ABC为等边三角形,
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°,AB=AC,
∵BD=CD,
∴AD⊥BC
∵∠ADE=60°,
∴∠EDC=30°,
∴∠DOC=180°﹣∠EDC﹣∠ACB=90°,
∴∠DEC=∠DOC﹣∠ACE=30°,
∴∠EDC=∠DEC,
∴EC=CD=DB,
∴△ABD≌△ACE.
∴AD=AE,且∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形;
(2)在AC上取点F,使CF=CD,连接DF,
∵∠ACB=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°,
∴∠ADF=∠EDC,
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE,
∴∠DAF=∠DEC,
∴△ADF≌△EDC(AAS),
∴AD=ED,
又∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
6.有一天,小强遇到一个很有意思的问题,如图,边长是7的大正三角形图中一共有多少个等边三角形?为了解决这个问题,小强很是费了一番脑筋,最后,他决定从最简单的图形开始探究.
(1)在边长为2的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2个,正立的边长为2的正三角形有1个,倒立的正三角形有1个.
(2)在边长为3的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2+3个,正立的边长为2的正三角形有1+2个,正立的边长为3的正三角形有1个;倒立的边长为1的正三角形有1+2个.
(3)在边长为4的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个,正立的边长为2的正三角形有 1+2+3 个,正立的边长为3的正三角形有 1+2 个, 正立的边长为4的正三角形有1个 ;倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个,倒立的边长为2的正三角形有1个.
(4)在边长为5的图中,正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个,正立的边长为2的正三角形有 1+2+3+4 个,正立的边长为3的正三角形有 1+2+3 个, 正立的边长为4的正三角形有 1+2个,正立的边长为5的正三角形有 1个, ;倒立的边长为1的正三角形有 1+2+3+4 个,倒立的边长为2的正三角形有 1+2 个;
(5)那么小强开始遇到的问题,可以解决了,如图边长是7的大正三角形中,一共有 118 个等边三角形.
(6)解决问题后的小强异常兴奋,再接再厉,又解决了另一个很有挑战的问题:
在如图所示的图中,一共有 46 个等边三角形.
【思路点拔】根据(1)(2)中的数三角形的方法进行合情推理,得出结论,找出规律,列代数式算出答案.
解:(3)结合图中的等边三角形和(1)(2)中的方法得:
在边长为4的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个,正立的边长为2的正三角形有1+2+3个,正立的边长为3的正三角形有1+2个,正立的边长为4的正三角形有1个;倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个,倒立的边长为2的正三角形有1个.
(4)结合图中的等边三角形和(1)(2)中的方法得:
在边长为5的图中,正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个,正立的边长为2的正三角形有 1+2+3+4个,正立的边长为3的正三角形有 1+2+3个,正立的边长为4的正三角形有1+2个,正立的边长为5的正三角形有 1个;倒立的边长为1的正三角形有 1+2+3+4个,倒立的边长为2的正三角形有 1+2个;
(5)由前面的四个结果,得出规律,如果边长是7的大正三角形中,一共有 118个等边三角形.
6)用同样得思维模式得,一共有 46个等边三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形.
(1)如图①,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.求证:△ADE是等边三角形;
(2)如图②,△ADE仍是等边三角形,点B在ED的延长线上,连接CE,判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系,并说明理由.
【思路点拔】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°,根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可;
(2)证明△BAD≌△CAE,得到BD=CE即可证明.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°,
∴△ADE是等边三角形;
(2)解:AE+CE=BE.
∵∠BAD+∠DAC=60°,∠CAE+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴BE=BD+DE=AE+CE,∠BEC=∠AEC﹣∠AED=60°.
8.如图:在△ABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
求证:①△ADC≌△BEA;
②BP=2PQ.
【思路点拔】(1)由已知可得△ABC是等边三角形,从而得到∠BAC=∠C=60°,根据SAS即可判定△ADC≌△BEA;
(2)根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD,再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°,再根据余角的性质得到∠PBQ=30°,根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果.
证明:(1)∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=∠C=60°.
∵AB=AC,AE=CD,
∴△ADC≌△BEA.
(2)∵△ADC≌△BEA,
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠CAD+∠BAD=60°,
∴∠ABE+∠BAD=60°.
∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°.
∴BP=2PQ.
9.如图,△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形,E、F分别是AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
【思路点拔】(1)利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明;
(2)△BEF为正三角形,可解用(1)全等的结论证明;
证明:(1)∵△ABD和△BCD都为正三角形,
∴AB=AD=BC=CD=BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴∠BDE=∠BCF=60°,BD=BC,
∵AE+DE=AD=2,而AE+CF=2,
∴DE=CF,
∴△BDE≌△BCF(SAS);
(2)∵△BDE≌△BCF,
∴∠DBE=∠CBF,BE=BF,
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°,
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°,
∴△BEF为正三角形;
10.如图,在等边△ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟.
(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来.
(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?
(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
【思路点拔】(1)由三角形ABC为等边三角形,根据等边三角形的三边相等得到AB=BC=9cm,由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长,然后用边长BC减去CP即可表示出BP;由Q的速度及时间t,即可表示出Q走过的路程BQ;
(2)若△PBQ为等边三角形,根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ,由(1)表示出的代数式代入即可列出关于t的方程,求出方程的解即可得到满足题意的t的值;
(3)同时出发,要相遇其实是一个追及问题,由于Q的速度大于P的速度,即Q要追及上P,题意可知两点相距AB+AC即两个边长长,第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长,设出第一次相遇所需的时间,根据Q运动的路程﹣P运动的路程=18列出关于t的方程,求出方程的解即可求出满足题意的t的值,然后由求出t的值计算出P运动的路程,确定出路程的范围,进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=9cm,
∵点P的速度为2cm/s,时间为t s,
∴CP=2t,
则PB=BC﹣CP=(9﹣2t)cm;
∵点Q的速度为5cm/s,时间为t s,
∴BQ=5t;
(2)若△PBQ为等边三角形,
则有BQ=BP,即9﹣2t=5t,
解得t,
所以当ts时,△PBQ为等边三角形;
(3)设t s时,Q与P第一次相遇,
根据题意得:5t﹣2t=18,
解得t=6,
则6s时,两点第一次相遇.
当t=6s时,P走过得路程为2×6=12cm,
而9<12<18,即此时P在AB边上,
则两点在AB上第一次相遇.中小学教育资源及组卷应用平台
八年级上册《等边三角形判定与性质》解答题专项练习(一)
1.如图,过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的垂线MG,MN,NG,三条垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形.
2.如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
3.如图,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E.
(1)求证:△ADE是等边三角形.
(2)求证:AEAB.
4.已知:如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.
求证:△DEF是等边三角形.
5.如图△ABC为等边三角形,直线a∥AB,D为直线BC上任一动点,将一60°角的顶点置于点D处,它的一边始终经过点A,另一边与直线a交于点E.
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)求证:△ADE是等边三角形;
(2)若D为直线BC上任一点(如图2),其他条件不变,上述(1)的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
6.有一天,小强遇到一个很有意思的问题,如图,边长是7的大正三角形图中一共有多少个等边三角形?为了解决这个问题,小强很是费了一番脑筋,最后,他决定从最简单的图形开始探究.
(1)在边长为2的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2个,正立的边长为2的正三角形有1个,倒立的正三角形有1个.
(2)在边长为3的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2+3个,正立的边长为2的正三角形有1+2个,正立的边长为3的正三角形有1个;倒立的边长为1的正三角形有1+2个.
(3)在边长为4的图中,正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个,正立的边长为2的正三角形有 个,正立的边长为3的正三角形有 个, ;倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个,倒立的边长为2的正三角形有1个.
(4)在边长为5的图中,正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个,正立的边长为2的正三角形有 个,正立的边长为3的正三角形有 个, ;倒立的边长为1的正三角形有 个,倒立的边长为2的正三角形有 个;
(5)那么小强开始遇到的问题,可以解决了,如图边长是7的大正三角形中,一共有 个等边三角形.
(6)解决问题后的小强异常兴奋,再接再厉,又解决了另一个很有挑战的问题:
在如图所示的图中,一共有 个等边三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形.
(1)如图①,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.求证:△ADE是等边三角形;
(2)如图②,△ADE仍是等边三角形,点B在ED的延长线上,连接CE,判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系,并说明理由.
8.如图:在△ABC中,AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
求证:①△ADC≌△BEA;
②BP=2PQ.
9.如图,△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形,E、F分别是AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
10.如图,在等边△ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟.
(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来.
(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?
(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?