勾股定理—北师大版数学八（上）知识点训练
一、勾股定理
1．（2024八上·福田开学考）阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（ ）
A．5 B．12 C．17 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴c=.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据勾股定理得，再把a、b的值代入计算即可求解.
2．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
3．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为（ ）
A．17 B．3 C．17或3 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】解答：当高AD是在三角形的内部时，BD= ，CD= ，所以 ，；当高AD是在三角形的外部时，BC= ，故选C．
分析：三角形的高把三角形分为两个直角三角形，这个高可能在三角形的内部或在外部，分情况讨论求解，是培养学生矛盾的两面性的逻辑思维的方法．
4．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
5．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
6．（2020八上·禅城月考）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ．
【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
在直角三角形中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
．
故答案为25．
【分析】根据勾股定理确定即可解决问题。
7．（2021八上·揭阳月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是5．
【答案】（1）解：∵ 32＋42＝52
故可以画一个直角边分别为3和4，斜边为5的直角三角形如下图：
（2）解：∵正方形的面积为5
∴正方形的边长为 ，
又∵
故可以画四个直角边分别为1和2，斜边为 的直角三角形，再画正方形即可如下图：
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）直接利用三角形三边长分别为3、4、5得出答案即可；
（2）由正方形的面积为5，得出正方形的边长为 ，由此得出可以画四个直角边分别为1和2，斜边为 的直角三角形，再画正方形即可。
8．（2024八上·雅安期末）如图，，，，，，是上一动点，设．
（1）用表示；
（2）当为何值时，；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由
【答案】（1）解：∵，，．
∴
（2）解：∵，，，
∴，，
∴
∵
∴
解，得
（3）解：作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，
可知，，
∵
∴的最小值为
即的最小值为
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，则，，由对称的性质可得，EC=FE，于是有，故当点在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，再利用勾股定理求解即可．
9．（2023八上·绥德月考）分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示；
（2）推算出的值；
（3）求出的值．
【答案】（1）解：由给出各式可得：
；
（2）解：∵，
∴，∴；
（3）解：∵，，，，，
∴
．
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【分析】(1)观察题中所给出各式，从中找出规律，写出 即可；
（2）通过观察写出，再求出 的值；
（3）结合（1）写出 ， ， ，，再代入求值.
10．（2023八上·邛崃月考）阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，．
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较与的大小；
（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出的最小值．
【答案】（1）解：由图1可知：，在中，
（2）解：如图2可知：如图3可知：
（3）解：如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=．
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC和AB的长度，结合三角形的三边关系比较大小；
（2）同理，结合（1）的方法，构造三角形比较无理数的大小；
（3）根据题意，由勾股定理将式子的最小值转化为求AC+CE长度的最小值，计算得到答案。
二、勾股定理的逆定理
11．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
12．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选B．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
13．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
14．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是 。
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
15．（2023八上·坪山期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB，且CD＝4，BD=3.
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝13，AC=12
∴BC＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴∠D=90°，
∴△BCD是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理即可求得BC的长；
（2）在△BCD中，利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
16．（2021八上·清新期中）阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
【答案】（1）解：∵点A(－3，4)，B(5，10)，
∴AB= =10；
（2）解：△ABC是直角三角形；理由如下：
∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，
∴= =65，
= =52，
= =13，
∴+=，
故△ABC是直角三角形；
（3）解：过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO=∠NOB，
∴△MAO≌△NOB，
∴AM=ON，MO=BN，
∵A(-4，3)，
∴OM=4，AM=3，
∴ON=3，BN=4，
∴B（3，4），
∵点A关于直线OC的对称点是B，
∴EA+ED的最小值为BD，
∵D(－1，)，
∴BD= =，
故DE＋EA的最小值为.
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式可得AB的长；
（2）先利用两点之间的距离公式可得AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（3）过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，先证明△MAO≌△NOB，可得AM=ON，MO=BN，求出点B的坐标，再根据“点A关于直线OC的对称点是B”可得EA+ED的最小值为BD，再利用勾股定理求出BD的长即可。
三、勾股数
17．判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，， B．8，15，17 C．7，14，15 D．，，1
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是，因为和不是正整数；
B、是，因为82+152=172，且8、15、17是正整数；
C、不是，因为72+142≠152；
D、不是，因为与不是正整数．
故选B．
【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
18．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
【答案】15
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15，
②172+82=x2，
解得：x=（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得出①x2+82=172，②172+82=x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．
19．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【答案】解：当n=1，a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a=5时， （m2﹣1）=5，解得：m= （舍去），
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时， （m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4
【知识点】勾股定理；勾股数
【解析】【分析】由n=1，得到a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．
四、勾股定理的证明
20．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
21．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
22．（2019八上·即墨期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的， ，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为 ．
【答案】110
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明
【解析】【解答】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形.
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB(AAS)，
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
所以，矩形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110.
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
23．（2023八上·南海月考）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______；
（2）如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理．
（3）如图③，如果以的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为、、，试猜想、、之间存在的等量关系______；并说明理由．
（4）如图④，在中，，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）证明：如图，
∵与全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴
∵，，，
∴．
故；
（4）解：∵，
∴，
.
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】（1）解：由图形可得该正方形的面积为：(a+b)2或a2+b2+2ab，
∴；
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）从整体法与局部法分别表示出该图形的面积，从而根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等可得公式；
（2）由全等三角形对应角相等得∠1=∠3，然后根据直角三角形量锐角互余及等量代换可推出∠1+∠2=90°，再由平角定义证明∠AED=90°，再利用图形面积证明勾股定理即可；
（3）由勾股定理得，再利用半圆的面积、等量代换及等式性质证明即可；
（4）由两个半圆面积加上三角形面积减去大的半圆面积即可得到答案．
（1）解：由图形面积可得：
．
（2）∵与全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）理由如下：∵，
∴
∵，，，
∴．
故
（4）∵，
∴，
；
24．（2024八上·紫金期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且.
（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；
（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理.
【答案】（1）解：.理由如下：
，，.
又，.
，..
在和中，
（AAS）.，.
又，.
（2）解：，
，
..
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形的全等判定（AAS），证明△ABC≌△DEA，即可求解；
（2）利用和，据此即可求解.
25．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
1 / 1勾股定理—北师大版数学八（上）知识点训练
一、勾股定理
1．（2024八上·福田开学考）阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（ ）
A．5 B．12 C．17 D．13
2．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
3．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为（ ）
A．17 B．3 C．17或3 D．以上都不对
4．（2024八上·坪山期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
5．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
6．（2020八上·禅城月考）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ．
7．（2021八上·揭阳月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是5．
8．（2024八上·雅安期末）如图，，，，，，是上一动点，设．
（1）用表示；
（2）当为何值时，；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由
9．（2023八上·绥德月考）分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示；
（2）推算出的值；
（3）求出的值．
10．（2023八上·邛崃月考）阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，．
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较与的大小；
（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出的最小值．
二、勾股定理的逆定理
11．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
13．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是 。
15．（2023八上·坪山期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB，且CD＝4，BD=3.
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
16．（2021八上·清新期中）阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
三、勾股数
17．判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，， B．8，15，17 C．7，14，15 D．，，1
18．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
19．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
四、勾股定理的证明
20．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021八上·顺德期末）下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．（2019八上·即墨期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的， ，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为 ．
23．（2023八上·南海月考）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______；
（2）如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理．
（3）如图③，如果以的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为、、，试猜想、、之间存在的等量关系______；并说明理由．
（4）如图④，在中，，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积．
24．（2024八上·紫金期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且.
（1）判断线段，，的数量关系，并说明理由；
（2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理.
25．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴c=.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据勾股定理得，再把a、b的值代入计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】解答：当高AD是在三角形的内部时，BD= ，CD= ，所以 ，；当高AD是在三角形的外部时，BC= ，故选C．
分析：三角形的高把三角形分为两个直角三角形，这个高可能在三角形的内部或在外部，分情况讨论求解，是培养学生矛盾的两面性的逻辑思维的方法．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，
Rt△ADC中，由勾股定理可得，.
故答案为：B．
【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．
5．【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
6．【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
在直角三角形中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
．
故答案为25．
【分析】根据勾股定理确定即可解决问题。
7．【答案】（1）解：∵ 32＋42＝52
故可以画一个直角边分别为3和4，斜边为5的直角三角形如下图：
（2）解：∵正方形的面积为5
∴正方形的边长为 ，
又∵
故可以画四个直角边分别为1和2，斜边为 的直角三角形，再画正方形即可如下图：
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）直接利用三角形三边长分别为3、4、5得出答案即可；
（2）由正方形的面积为5，得出正方形的边长为 ，由此得出可以画四个直角边分别为1和2，斜边为 的直角三角形，再画正方形即可。
8．【答案】（1）解：∵，，．
∴
（2）解：∵，，，
∴，，
∴
∵
∴
解，得
（3）解：作点关于直线的对称点，过点作交的延长线于点，连接，
可知，，
∵
∴的最小值为
即的最小值为
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，则，，由对称的性质可得，EC=FE，于是有，故当点在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，再利用勾股定理求解即可．
9．【答案】（1）解：由给出各式可得：
；
（2）解：∵，
∴，∴；
（3）解：∵，，，，，
∴
．
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【分析】(1)观察题中所给出各式，从中找出规律，写出 即可；
（2）通过观察写出，再求出 的值；
（3）结合（1）写出 ， ， ，，再代入求值.
10．【答案】（1）解：由图1可知：，在中，
（2）解：如图2可知：如图3可知：
（3）解：如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=．
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC和AB的长度，结合三角形的三边关系比较大小；
（2）同理，结合（1）的方法，构造三角形比较无理数的大小；
（3）根据题意，由勾股定理将式子的最小值转化为求AC+CE长度的最小值，计算得到答案。
11．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
12．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选B．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
13．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
14．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
15．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝13，AC=12
∴BC＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴∠D=90°，
∴△BCD是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理即可求得BC的长；
（2）在△BCD中，利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
16．【答案】（1）解：∵点A(－3，4)，B(5，10)，
∴AB= =10；
（2）解：△ABC是直角三角形；理由如下：
∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，
∴= =65，
= =52，
= =13，
∴+=，
故△ABC是直角三角形；
（3）解：过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO=∠NOB，
∴△MAO≌△NOB，
∴AM=ON，MO=BN，
∵A(-4，3)，
∴OM=4，AM=3，
∴ON=3，BN=4，
∴B（3，4），
∵点A关于直线OC的对称点是B，
∴EA+ED的最小值为BD，
∵D(－1，)，
∴BD= =，
故DE＋EA的最小值为.
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理；勾股定理的逆定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式可得AB的长；
（2）先利用两点之间的距离公式可得AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（3）过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，先证明△MAO≌△NOB，可得AM=ON，MO=BN，求出点B的坐标，再根据“点A关于直线OC的对称点是B”可得EA+ED的最小值为BD，再利用勾股定理求出BD的长即可。
17．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不是，因为和不是正整数；
B、是，因为82+152=172，且8、15、17是正整数；
C、不是，因为72+142≠152；
D、不是，因为与不是正整数．
故选B．
【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
18．【答案】15
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15，
②172+82=x2，
解得：x=（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得出①x2+82=172，②172+82=x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．
19．【答案】解：当n=1，a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a=5时， （m2﹣1）=5，解得：m= （舍去），
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时， （m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4
【知识点】勾股定理；勾股数
【解析】【分析】由n=1，得到a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．
20．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
21．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
【分析】利用面积法只能勾股定理即可得解。
22．【答案】110
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明
【解析】【解答】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形.
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB(AAS)，
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
所以，矩形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110.
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，
∵与全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴
∵，，，
∴．
故；
（4）解：∵，
∴，
.
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】（1）解：由图形可得该正方形的面积为：(a+b)2或a2+b2+2ab，
∴；
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）从整体法与局部法分别表示出该图形的面积，从而根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等可得公式；
（2）由全等三角形对应角相等得∠1=∠3，然后根据直角三角形量锐角互余及等量代换可推出∠1+∠2=90°，再由平角定义证明∠AED=90°，再利用图形面积证明勾股定理即可；
（3）由勾股定理得，再利用半圆的面积、等量代换及等式性质证明即可；
（4）由两个半圆面积加上三角形面积减去大的半圆面积即可得到答案．
（1）解：由图形面积可得：
．
（2）∵与全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）理由如下：∵，
∴
∵，，，
∴．
故
（4）∵，
∴，
；
24．【答案】（1）解：.理由如下：
，，.
又，.
，..
在和中，
（AAS）.，.
又，.
（2）解：，
，
..
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形的全等判定（AAS），证明△ABC≌△DEA，即可求解；
（2）利用和，据此即可求解.
25．【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
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