勾股定理的实际应用—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2015八上·南山期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
2．（2023八上·金堂月考）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
4．（2021八上·双流月考）如图，有一个正方体盒子，棱长为 ，一只蚂蚁从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·贵阳月考）如图所示，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
6．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
7．（2024八上·高邑期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
9．（2021八上·滕州月考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草
10．（2020八上·南丰期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
11．（2021八上·南山期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
12．（2024八上·信宜期末）如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处．
（1）你能计算这辆小汽车的速度吗？
（2）这辆小汽车超速了吗？
13．（2021八上·龙岗月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
14．（2023八上·潮南期中）综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
15．（2024八上·高州开学考）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？
二、能力提升
16．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
17．（2023八上·南海月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为 ．
18．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
19．（2020八上·四川月考）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要 m．
20．（2023八上·瑞昌月考）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
（2）方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35 cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
三、拓展创新
21．（2020八上·南海期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
22．（2019八上·安国期中）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行径位置
第一条路径 R1 A→C→D→B
第二条路径 R2 A→E→D→F→B
第三条路径 R3 A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= =2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC﹣0.4=2米，
∴DC= =1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选：D．
【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，
根据勾股定理，得：x2+52=（x+1）2，
∴x=12
∴旗杆的高度为12米。
故答案为：C。
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得x的值，即为旗杆的高度。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将正方体展开，
则线段 即为最短的路线，
这个正方体的棱长为 ，
，
蚂蚁爬行的最短路程是 .
故答案为：A.
【分析】将正方体展开，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求出AB的长.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AB=8，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC=AB=4cm，
∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，
∴AD==5(cm)，
∵C为AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AD= BD=5cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，
∴橡皮筋被拉长了2cm.
故答案为：A.
【分析】根据题意得AB=8，则AC=BC=4，CD=3且CD⊥AB，根据勾股定理可求出AD的长度，根据CD是AB边上的中垂线得AD=DB，由橡皮筋被拉的长度=AD+DB-AB，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索AC长为x米
在Rt△ADC中
AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=(x-3)m
∵DC=6m，AC=xm
∴，即
解得：
故答案为：B
【分析】设绳索AC长为x米，根据边之间的关系可得AD=(x-3)m，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
9．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理可得：
“捷径”长度= ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】利用勾股定理求解即可。
10．【答案】x2＋62＝(10－x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【分析】根据题意，利用勾股定理列出方程即可。
11．【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）．
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，利用勾股定理列出方程求出x的值即可。
12．【答案】（1）解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
（2）解：，
这辆小汽车不超速行驶．
答：这辆小汽车不超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可；
（2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断.
13．【答案】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，
由勾股定理可得：
（m），
EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案。
14．【答案】（1）解：分别测量AB、BC和AC的长度，
若，则△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；
（2）解：
答：蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求得；
（2）画出长方体的平面展开图，根据两点之间线段最短即可求得DE为最短路径，根据勾股定理即可算得.
15．【答案】（1）解：∵三角形BDC 是直角三角形，已知BD =15米，BC =39米，
∴DC==36米，
∵BD与地面平行，AB和DE垂直地面，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AB=DE=1.7米，
∴CE=DC+DE=36+1.7=37.7米，
答：风筝的垂直高度CE为37.7米.
（2）解：如下图，设当风筝下降到点M时，风筝距离地面21.7米，即ME=21.7米；
∵由（1）可知，DE=AB=1.7米，
∴MD=ME-DE=21.7-1.7=20米，
∴BM==25米，
∴小慧同学往回收线=39-25=14米，
答：小辉同学应该往回收线14米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得AB=DE；根据勾股定理可得DC的值；最后根据整式的加法计算即可；
（2）根据整式的减法可得MD的值；再根据勾股定理，可得BM的值；最后再根据整式的减法计算即可解答.
（1）由题意，得，，．
在中，由勾股定理，得．
（米）．
答：风筝的高度为37.7米．
（2）如图，由题意，得．
．
在中，由勾股定理，得
．
（米）．
答：小辉同学应该往回收线14米．
16．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交BC的延长线于D，
则四边形是矩形，
∴，，
连接，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴（），（），
在中，（）
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为cm ．
故答案为：.
【分析】将容器侧面展开，作出A关于EC的对称点A'，由轴对称相等得A'E=AE，易得四边形A'ECD是矩形，由矩形性质得A'D=EC，CD=A'E，∠D=90°，根据两点之间线段最短可知A'B 的长度即为所求，在Rt△A'BD中，根据勾股定理即可求出A'B的长度即可.
18．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
19．【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2=（2×3）2+4.52=56.25m2
x=7.5m
所以，花圈长至少是56.25m．
故答案为7.5．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
20．【答案】（1）15
（2）解：把直四棱柱沿侧棱展开，如图1，
因为绕了2周，所以要展开2次，连接AB．
在 中， ，
所以彩条的最短长度是26cm．
（3）解：展开玻璃杯的侧面，如图2，作点A关于MN的对称点 ，连接 ，作 于点C，则 ， ， ， ．
在 中， ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，．
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
【分析】（1）根据题意线段最短，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据题意绕两圈到B，所以要展开2次，连接AB．在根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，作A关于的对称点，同理根据勾股定理，即可求解．
21．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，即：每次“生长”的正方形面积和为1，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
22．【答案】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ，
第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1，
第三条路径的长度为 + =2 + ，
∵2 + ＜2 + ＜ + + +1，
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 根据边长为方格形成的直角三角形的斜边，可利用勾股定理，依次表示出边长，找到最短的距离。
1 / 1勾股定理的实际应用—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2015八上·南山期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= =2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC﹣0.4=2米，
∴DC= =1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选：D．
【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
2．（2023八上·金堂月考）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，
根据勾股定理，得：x2+52=（x+1）2，
∴x=12
∴旗杆的高度为12米。
故答案为：C。
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得x的值，即为旗杆的高度。
3．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
4．（2021八上·双流月考）如图，有一个正方体盒子，棱长为 ，一只蚂蚁从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将正方体展开，
则线段 即为最短的路线，
这个正方体的棱长为 ，
，
蚂蚁爬行的最短路程是 .
故答案为：A.
【分析】将正方体展开，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求出AB的长.
5．（2024八上·贵阳月考）如图所示，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AB=8，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC=AB=4cm，
∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，
∴AD==5(cm)，
∵C为AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴AD= BD=5cm，
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，
∴橡皮筋被拉长了2cm.
故答案为：A.
【分析】根据题意得AB=8，则AC=BC=4，CD=3且CD⊥AB，根据勾股定理可求出AD的长度，根据CD是AB边上的中垂线得AD=DB，由橡皮筋被拉的长度=AD+DB-AB，即可求解.
6．（2024八上·深圳期末） 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1. 2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2. 2米 B．2. 4米 C．2. 6米 D．2. 8米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：标字母如图所示，过C作CD⊥AB于点D.
由题意得：AC=BC，AB=1米，
∴AD=BD=0.5（米）.
在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，
∴BC=AC===1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
故答案为：C.
【分析】由题意得出图形是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可.
7．（2024八上·高邑期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索AC长为x米
在Rt△ADC中
AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=(x-3)m
∵DC=6m，AC=xm
∴，即
解得：
故答案为：B
【分析】设绳索AC长为x米，根据边之间的关系可得AD=(x-3)m，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
8．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
9．（2021八上·滕州月考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理可得：
“捷径”长度= ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】利用勾股定理求解即可。
10．（2020八上·南丰期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
【答案】x2＋62＝(10－x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，
故答案为x2+62=(10﹣x)2．
【分析】根据题意，利用勾股定理列出方程即可。
11．（2021八上·南山期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）．
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，利用勾股定理列出方程求出x的值即可。
12．（2024八上·信宜期末）如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处．
（1）你能计算这辆小汽车的速度吗？
（2）这辆小汽车超速了吗？
【答案】（1）解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
（2）解：，
这辆小汽车不超速行驶．
答：这辆小汽车不超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可；
（2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断.
13．（2021八上·龙岗月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
【答案】解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OEF中，
由勾股定理可得：
（m），
EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案。
14．（2023八上·潮南期中）综合与实践：测雕塑
（1） 如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由.
（2） 若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）解：分别测量AB、BC和AC的长度，
若，则△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；
（2）解：
答：蚂蚁爬行的最短路程是cm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求得；
（2）画出长方体的平面展开图，根据两点之间线段最短即可求得DE为最短路径，根据勾股定理即可算得.
15．（2024八上·高州开学考）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：∵三角形BDC 是直角三角形，已知BD =15米，BC =39米，
∴DC==36米，
∵BD与地面平行，AB和DE垂直地面，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AB=DE=1.7米，
∴CE=DC+DE=36+1.7=37.7米，
答：风筝的垂直高度CE为37.7米.
（2）解：如下图，设当风筝下降到点M时，风筝距离地面21.7米，即ME=21.7米；
∵由（1）可知，DE=AB=1.7米，
∴MD=ME-DE=21.7-1.7=20米，
∴BM==25米，
∴小慧同学往回收线=39-25=14米，
答：小辉同学应该往回收线14米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得AB=DE；根据勾股定理可得DC的值；最后根据整式的加法计算即可；
（2）根据整式的减法可得MD的值；再根据勾股定理，可得BM的值；最后再根据整式的减法计算即可解答.
（1）由题意，得，，．
在中，由勾股定理，得．
（米）．
答：风筝的高度为37.7米．
（2）如图，由题意，得．
．
在中，由勾股定理，得
．
（米）．
答：小辉同学应该往回收线14米．
二、能力提升
16．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
17．（2023八上·南海月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交BC的延长线于D，
则四边形是矩形，
∴，，
连接，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴（），（），
在中，（）
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为cm ．
故答案为：.
【分析】将容器侧面展开，作出A关于EC的对称点A'，由轴对称相等得A'E=AE，易得四边形A'ECD是矩形，由矩形性质得A'D=EC，CD=A'E，∠D=90°，根据两点之间线段最短可知A'B 的长度即为所求，在Rt△A'BD中，根据勾股定理即可求出A'B的长度即可.
18．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
19．（2020八上·四川月考）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要 m．
【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2=（2×3）2+4.52=56.25m2
x=7.5m
所以，花圈长至少是56.25m．
故答案为7.5．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
20．（2023八上·瑞昌月考）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
（2）方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35 cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
【答案】（1）15
（2）解：把直四棱柱沿侧棱展开，如图1，
因为绕了2周，所以要展开2次，连接AB．
在 中， ，
所以彩条的最短长度是26cm．
（3）解：展开玻璃杯的侧面，如图2，作点A关于MN的对称点 ，连接 ，作 于点C，则 ， ， ， ．
在 中， ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，．
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
【分析】（1）根据题意线段最短，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据题意绕两圈到B，所以要展开2次，连接AB．在根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，作A关于的对称点，同理根据勾股定理，即可求解．
三、拓展创新
21．（2020八上·南海期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，即：每次“生长”的正方形面积和为1，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
22．（2019八上·安国期中）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：
路径 编号 图例 行径位置
第一条路径 R1 A→C→D→B
第二条路径 R2 A→E→D→F→B
第三条路径 R3 A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．
【答案】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ，
第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1，
第三条路径的长度为 + =2 + ，
∵2 + ＜2 + ＜ + + +1，
∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 根据边长为方格形成的直角三角形的斜边，可利用勾股定理，依次表示出边长，找到最短的距离。
1 / 1
