勾股树模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·端州期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．12 B．16 C．25 D．38
【答案】D
【知识点】勾股树模型
2．（2024八下·湛江期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．16 B．256 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理知：
，，，
∴
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
3．（2024八下·江岸期中） 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；勾股树模型
【解析】【解答】解： 如图，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025．
故答案为：A．
【分析】 根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，再根据规律求解．
4．（2023·深圳模拟）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形B，C的边长分别为b，c．已知，当角变化时，则b与c满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设中间两个正方形中较大的正方形边长为x，较小的正方形边长为y，
，
图中三个三角形都相似，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知，图中三个三角形都为相似三角形，写出各正方形边长的等量关系，再根据勾股定理得出结果.
5．（2024八下·丰都县月考）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；等腰三角形的概念
二、填空题
6．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
7．（广东省佛山市南海区灯湖中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【答案】4．
【知识点】勾股数
8．（2020八下·海珠期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图记图中两个正方形分别为P、Q．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是E的面积，
即A、B、C、D的面积之和为E的面积，
∴正方形E的面积＝3＋5＋2＋3＝13，
∴正方形E的边长为
故答案为： ．
【分析】先求出正方形E的面积为13，再计算求解即可。
9．（2024八下·花溪月考）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 .
第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树
【答案】127
【知识点】勾股定理的应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得，第一代勾股树正方形个数为：3=22-1，
第二代勾股树正方形个数：7=23-1，
第三代勾股树正方形个数：15=24-1，
可推出通项式为2n+1-1（n≥1），则第六代勾股树正方形个数：27-1=127。
【分析】由前三代勾股树中正方形的个数，可以推出通项式为2n+1-1（n≥1），即可求出六代勾股树中正方形个数。
10．（2024八下·新宁期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为 以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 …，按照此规律继续下去，则 的值为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；勾股树模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解： ∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED=90°，
∴CD2=DE2+CE2=2DE2，
∴DE= CD，
∴等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为 倍，
∴S2=
∴面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为
∴S3
…，
∴Sn=，
∴S2024的值为.
故答案为：.
【分析】先分别求出S1，S2，S3，……依据规律可求出Sn，再代入求出S2024.
11．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
三、解答题
12．（2023八上·南海月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】（1）①3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴.
（2）
【知识点】勾股定理；勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）①设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3.
（2）由题意知，，，，，，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）①设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果；
②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可.
（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
1 / 1勾股树模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·端州期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．12 B．16 C．25 D．38
2．（2024八下·湛江期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．16 B．256 C．32 D．64
3．（2024八下·江岸期中） 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
4．（2023·深圳模拟）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形B，C的边长分别为b，c．已知，当角变化时，则b与c满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·丰都县月考）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
6．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
7．（广东省佛山市南海区灯湖中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
8．（2020八下·海珠期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
9．（2024八下·花溪月考）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 .
第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树
10．（2024八下·新宁期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为 以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 …，按照此规律继续下去，则 的值为 .
11．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
三、解答题
12．（2023八上·南海月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股树模型
2．【答案】B
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理知：
，，，
∴
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；勾股树模型
【解析】【解答】解： 如图，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025．
故答案为：A．
【分析】 根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，再根据规律求解．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设中间两个正方形中较大的正方形边长为x，较小的正方形边长为y，
，
图中三个三角形都相似，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知，图中三个三角形都为相似三角形，写出各正方形边长的等量关系，再根据勾股定理得出结果.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；等腰三角形的概念
6．【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
7．【答案】4．
【知识点】勾股数
8．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图记图中两个正方形分别为P、Q．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是E的面积，
即A、B、C、D的面积之和为E的面积，
∴正方形E的面积＝3＋5＋2＋3＝13，
∴正方形E的边长为
故答案为： ．
【分析】先求出正方形E的面积为13，再计算求解即可。
9．【答案】127
【知识点】勾股定理的应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得，第一代勾股树正方形个数为：3=22-1，
第二代勾股树正方形个数：7=23-1，
第三代勾股树正方形个数：15=24-1，
可推出通项式为2n+1-1（n≥1），则第六代勾股树正方形个数：27-1=127。
【分析】由前三代勾股树中正方形的个数，可以推出通项式为2n+1-1（n≥1），即可求出六代勾股树中正方形个数。
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；勾股树模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解： ∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED=90°，
∴CD2=DE2+CE2=2DE2，
∴DE= CD，
∴等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为 倍，
∴S2=
∴面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为
∴S3
…，
∴Sn=，
∴S2024的值为.
故答案为：.
【分析】先分别求出S1，S2，S3，……依据规律可求出Sn，再代入求出S2024.
11．【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
12．【答案】（1）①3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴.
（2）
【知识点】勾股定理；勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）①设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3.
（2）由题意知，，，，，，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）①设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果；
②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可.
（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
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