“赵爽弦图”模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·惠城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2024八上·南海月考）如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
3．（2024八下·中山期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形． 若，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．3 C． D．
4．（2023八上·高州期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2
5．（2024八下·随县期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2023九上·广州开学考）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（2022八上·佛山月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八下·东阳期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024八下·鹤山期末）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．70 B．76 C．72 D．80
10．（2024八下·昆明期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48 B．64 C．96 D．112
二、填空题
11．（2024八下·肇庆期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为 ．
12．（2024八下·恩平期末）如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于 ．
13．（2023七下·丰顺月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是 ．
14．（2023九上·榕城月考）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 .
15．（2024九上·广州开学考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则 ．
三、作图题
16．（2024九下·东莞模拟）综合与实践．
【问题驱动】如何验证勾股定理？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1．
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积．
从而得到数学等式：，化简证得勾股定理：．
【初步运用】
（1）如图1，若，求小正方形的面积与大正方形的面积的比值；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，求此时空白部分的面积．
17．（2019八上·郑州开学考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4× ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2 .
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段.
18．（2024八下·麒麟月考）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为： ▲ ，
也可以表示为： ▲ ，
，
，
▲
即；
（2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路CA少多少千米？
（3）【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【分析】
设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：四个直角三角形全等，，
，，
，
．
正方形的面积是，
故答案为：A．
【分析】根据三角形全等性质得到，，进而得到，利用勾股定理得到的长，即可得到正方形的面积．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为10，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形的面积，
故答案为：A．
【分析】首先根据正方形的面积公式可得出AD2=10，进一步可根据勾股定理求得DH的长度，再求出四个角上的直角三角形的面积，然后用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得出阴影正方形的面积.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
7．【答案】C
【知识点】“赵爽弦图”模型
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形和都是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
设的长为x，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
即的长为，
故正确答案为：C
【分析】首先根据垂直平分， 可得出DE=AD=AB=5，再根据余角的性质可得出， 即可得出， 设=x，则可得出CI=5-x，DI=5+x，根据勾股定理即可得出方程式 ，解方程即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，直角边BC=5，斜边，
∴．
∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，
∴CD=2AC=12，AD=AC=6，
∴在Rt△BCD中，，
则这个风车的外围周长是4(AD+BD)=4×(6+13)=76，
故答案为：B．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC=6，从而可得CD=12，AD=6，再在Rt△BCD中，利用勾股定理可得BD=13，由此即可得出答案．
10．【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．观察图形可得：阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积，进而可求出阴影部分的面积．
11．【答案】4
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】由图可知，图中正方形的边长为直角三角形长和宽的差，即可求解．
【解答】
解：由图可知，图中正方形的边长为，
∴图中小正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理，正方形的面积．正确识图是解题的关键．
12．【答案】1
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵、、和是四个全等的直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据勾股定理求得，进而求得的值，即可．
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
14．【答案】32
【知识点】“赵爽弦图”模型
15．【答案】12
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： 设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：，，，∴，
，
∵正方形EFGH的边长为2，
∴，
∴
故答案为：12．
【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，得出，，，结合正方形EFGH的边长为2，进行计算即可.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
17．【答案】（1）梯形ABCD的面积为 （a+b）（a+b）= a2+ab+ b2 ，
也利用表示为 ab+ c2+ab，
∴ a2+ab+ b2= ab+ c2+ ab，即a2+b2=c2
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为 ×3×4= ×5×h，
∴h= .
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形.
18．【答案】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）解：设，，
在中，，
即，解得，即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用两种不同的方法表示梯形ABCD的面积，进行整理化简即可求解；
（2） 设，可得， 利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解；
（3） 设，则，在中，，在中，，从而得到关于x的方程，解方程得到x的值，最后利用勾股定理即可求解.
1 / 1“赵爽弦图”模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·惠城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【分析】
设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
2．（2024八上·南海月考）如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
3．（2024八下·中山期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形． 若，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：四个直角三角形全等，，
，，
，
．
正方形的面积是，
故答案为：A．
【分析】根据三角形全等性质得到，，进而得到，利用勾股定理得到的长，即可得到正方形的面积．
4．（2023八上·高州期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
5．（2024八下·随县期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为10，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形的面积，
故答案为：A．
【分析】首先根据正方形的面积公式可得出AD2=10，进一步可根据勾股定理求得DH的长度，再求出四个角上的直角三角形的面积，然后用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得出阴影正方形的面积.
6．（2023九上·广州开学考）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
7．（2022八上·佛山月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】“赵爽弦图”模型
8．（2024八下·东阳期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形和都是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
设的长为x，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
即的长为，
故正确答案为：C
【分析】首先根据垂直平分， 可得出DE=AD=AB=5，再根据余角的性质可得出， 即可得出， 设=x，则可得出CI=5-x，DI=5+x，根据勾股定理即可得出方程式 ，解方程即可得出答案。
9．（2024八下·鹤山期末）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．70 B．76 C．72 D．80
【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，直角边BC=5，斜边，
∴．
∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，
∴CD=2AC=12，AD=AC=6，
∴在Rt△BCD中，，
则这个风车的外围周长是4(AD+BD)=4×(6+13)=76，
故答案为：B．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC=6，从而可得CD=12，AD=6，再在Rt△BCD中，利用勾股定理可得BD=13，由此即可得出答案．
10．（2024八下·昆明期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48 B．64 C．96 D．112
【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．观察图形可得：阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积，进而可求出阴影部分的面积．
二、填空题
11．（2024八下·肇庆期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】由图可知，图中正方形的边长为直角三角形长和宽的差，即可求解．
【解答】
解：由图可知，图中正方形的边长为，
∴图中小正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理，正方形的面积．正确识图是解题的关键．
12．（2024八下·恩平期末）如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于 ．
【答案】1
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵、、和是四个全等的直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据勾股定理求得，进而求得的值，即可．
13．（2023七下·丰顺月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
14．（2023九上·榕城月考）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为 .
【答案】32
【知识点】“赵爽弦图”模型
15．（2024九上·广州开学考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则 ．
【答案】12
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： 设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：，，，∴，
，
∵正方形EFGH的边长为2，
∴，
∴
故答案为：12．
【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，得出，，，结合正方形EFGH的边长为2，进行计算即可.
三、作图题
16．（2024九下·东莞模拟）综合与实践．
【问题驱动】如何验证勾股定理？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1．
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积．
从而得到数学等式：，化简证得勾股定理：．
【初步运用】
（1）如图1，若，求小正方形的面积与大正方形的面积的比值；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，求此时空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
17．（2019八上·郑州开学考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4× ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2 .
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段.
【答案】（1）梯形ABCD的面积为 （a+b）（a+b）= a2+ab+ b2 ，
也利用表示为 ab+ c2+ab，
∴ a2+ab+ b2= ab+ c2+ ab，即a2+b2=c2
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为 ×3×4= ×5×h，
∴h= .
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形.
18．（2024八下·麒麟月考）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为： ▲ ，
也可以表示为： ▲ ，
，
，
▲
即；
（2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路CA少多少千米？
（3）【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
【答案】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）解：设，，
在中，，
即，解得，即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用两种不同的方法表示梯形ABCD的面积，进行整理化简即可求解；
（2） 设，可得， 利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解；
（3） 设，则，在中，，在中，，从而得到关于x的方程，解方程得到x的值，最后利用勾股定理即可求解.
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