蚂蚁爬行模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：
∵BC=8cm，AC=6cm，
根据勾股定理得：AB==10（cm）．
故选B．
【分析】此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
2．（初中数学北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用练习题）如图，已知圆柱的底面直径BC= ，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，
所以AC=3 ，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC= ，
故选D．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
3．（2023八上·深圳期中）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为(杯壁厚度不计)（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
由题意可得：A′D=15cm
由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6
∴BD=DE+BE=8
连接A′B，则A′B即为最短距离，根据勾股定理得：A′B=（cm）．
故答案为：B.
【分析】将杯子侧面展开，A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度，根据勾股定理，即可得解．
4．（2023八上·深圳期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（ ）
A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方形的两个侧面展开，过点B作垂线交一边与点C，如下图；
根据两点之间线段最短，从点A爬到点B的路径最短时，AB在一条线上；
由题意可知，BC=3cm，AC=6+3=9cm，
根据勾股定理可知，AB==cm.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可以得到AC和BC的长；根据两点之间，线段最短，可以得出当AB在一条直线时，从点A爬到点B的路径最短；根据勾股定理，可得AB的长.
5．（2021八上·揭阳月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成 个小正方体，小正方体的棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：AB之间的最短距离是将正方体的右侧面（或上侧面）与前面展平，让点A，B在同一平面内，由勾股定理得 ，∴ .
故答案为：B.
【分析】将正方体的右侧面（或上侧面）与前面展平再一个平面内，用勾股定理求解即可。
6．（2021八上·大埔期中）有一长、宽、高分别为 ， ， 的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点 处在长方体的表面爬到长方体上和 相对的中点 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图，AB= ，
∴需要爬行的最短路径长为 ，
故答案为：A．
【分析】先将立体图形转换为平面图形，再利用勾股定理求解即可。
7．（2023八上·新城期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），
AB＝ ＝3 （dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，
AC＝6+6＝12（dm），BC＝9dm，AB＝ ＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝ ＝15（dm），
由于 ，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.
故答案为：D.
【分析】①将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），利用勾股定理可得AB；②将长方体的正面和右面展开在同一平面内，同理求出AB的值；③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理求出AB的值，然后进行比较即可得到最短路程.
8．如图所示，正方体的顶点P处放了一点糖，四只蚂蚁从同一顶点A处分别沿表面不同的路线爬向P处，则所爬行的路程最短的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】
如图甲乙丙丁四只蚂蚁所经过的路径中，乙所经过的路径最近。因为在正方体的侧面展开图中只有AP是一条直线。
故选B
二、填空题
9．（2019八上·漳州月考）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深为 ，在水面上紧贴内壁 处有一鱼饵， 在水面线 上，且 ．一小虫想从鱼缸外的 点沿壁爬进鱼缸内 处吃鱼饵，则小虫爬行的最短路线长为 ．
【答案】100
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A'，连接A'G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A'EG中，A'E=80cm，EG=60cm，
∴AQ+QG=A'Q+QG=A'G= =100cm．
∴最短路线长为100cm．
故答案为：100．
【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短，A'G为直角△A'EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
10．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
11．（2021·泰安期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是
【答案】25
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3=15，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=202+152=252，
解得：x=25，
∴ 蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25.
【分析】 先将图形平面展开，得出长方形的长和宽，根据两点之间线段最短得出蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，再由勾股定理进行解答即可.
12．（2023八上·坪山期中）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 米．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：平面展开图如下图：过P作交FA于点G，连接BP，
由题意得AG=3，PA=PB=5，则BG=8，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】由题意作出平面展开图，过P作交FA于点G，连接BP，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得解.
13．（2024八上·贵阳月考）棱长分别为3 cm和2 cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 .
【答案】 cm
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一(如图1）：PA=(cm)，
方法二(如图2)：PA=(cm)，
故需要爬行的最短距离是.
故答案为：.
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断.
14．（2023八上·市北区期中）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
【答案】2.6
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长
∴长方形的长为2+0.4-2.4米
∵长方形的宽为1米
∴一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长
∴米
故答案为：2.6
【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，求出AB的长，再根据一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长，结合勾股定理即可求出答案.
三、解答题
15．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理回顾与思考）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD= 80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm．一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．
（1）小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长．
【答案】（1）解：如图，作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ．则AQ→QG为最短路线．
（2）解：因为AE=40 cm，AA'= 120 cm，所以A'E= 80 cm．
又因为EG= 60 cm，所以在Rt△A'EG中，
A'G2= 802+602= 10000．所以A'G= 100 cm．
所以AQ+QG= A'Q+QG= A'G= 100 cm．
即最短路线长为100 cm．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ，则AQ→QG为最短路线；
（2）由已知条件可得A′E，然后在Rt△A′EG中，应用勾股定理可得A′G，据此求解.
16．（2020七上·嘉陵期末）如图，只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点A沿表面爬行到顶点P。
（1）画出正方体的一种展开图。(可适当调整大小。)
（2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
（3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
【答案】（1）正方体的展开平如图所示：
（2）如图，连接AP即为蚂蚁爬行的最短路线；
（3）如图：共有3条路线，即AEP、AMP、ANP。
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）画出其中一种正方体的展开图即可；
（2）在正方体的展开图上，根据线段的性质可知：连接A、P两点即可得最短路线；
（3）共有三条路线AEP、AMP、ANP，画出即可。
17．（2023八上·南城期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点爬到上底面的点处，求它爬行的最短距离．已知圆柱底面半径为，高度为．小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2．（取3）
图1 图2
（1）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（2）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（3）当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
【答案】（1）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案2爬行距离更近；
（2）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案1爬行距离更近；
（3）解：根据题意得，解得：
，两种方式的爬行距离同样远．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（2）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（3）利用勾股定理，根据题意列出方程，求解，即可得出答案.
18．（2023八上·瑞昌月考）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
（2）方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35 cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
【答案】（1）15
（2）解：把直四棱柱沿侧棱展开，如图1，
因为绕了2周，所以要展开2次，连接AB．
在 中， ，
所以彩条的最短长度是26cm．
（3）解：展开玻璃杯的侧面，如图2，作点A关于MN的对称点 ，连接 ，作 于点C，则 ， ， ， ．
在 中， ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，．
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
【分析】（1）根据题意线段最短，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据题意绕两圈到B，所以要展开2次，连接AB．在根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，作A关于的对称点，同理根据勾股定理，即可求解．
19．（2015八上·福田期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′= cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm（π取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3， ≈1.4）
【答案】（1）12 ；12 +1
（2）5
（3）解：∵l1=12 +1≈12×1.2+1=15.4
∴ =237.16．
∵ = =324，
∴ ．
∴l1＜l2．
∴甲蚂蚁先到达食物处
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′= A′O′=12 ．
∴l1=A′B′+AA′=12 +1．
故答案为：12 ；12 +1．
2） = =6π=18．
将圆柱体的侧面展开得到如图1所示矩形AA′B′B．
∵ =18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′= = =5 ．
故答案为：5 ．
【分析】（1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′= A′O′，然后根据l1=A′B′+AA′求解即可；（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B的对角线的长度即可；（3）将 ≈1.4代入从而可求得l1、l2的近似值，从而可作出判断．
1 / 1蚂蚁爬行模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
2．（初中数学北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用练习题）如图，已知圆柱的底面直径BC= ，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·深圳期中）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短路线长为(杯壁厚度不计)（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
4．（2023八上·深圳期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（ ）
A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm
5．（2021八上·揭阳月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成 个小正方体，小正方体的棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2021八上·大埔期中）有一长、宽、高分别为 ， ， 的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点 处在长方体的表面爬到长方体上和 相对的中点 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·新城期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm
8．如图所示，正方体的顶点P处放了一点糖，四只蚂蚁从同一顶点A处分别沿表面不同的路线爬向P处，则所爬行的路程最短的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．（2019八上·漳州月考）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深为 ，在水面上紧贴内壁 处有一鱼饵， 在水面线 上，且 ．一小虫想从鱼缸外的 点沿壁爬进鱼缸内 处吃鱼饵，则小虫爬行的最短路线长为 ．
10．（2023八上·织金期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
11．（2021·泰安期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是
12．（2023八上·坪山期中）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 米．
13．（2024八上·贵阳月考）棱长分别为3 cm和2 cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 .
14．（2023八上·市北区期中）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
三、解答题
15．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理回顾与思考）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD= 80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm．一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．
（1）小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长．
16．（2020七上·嘉陵期末）如图，只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点A沿表面爬行到顶点P。
（1）画出正方体的一种展开图。(可适当调整大小。)
（2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
（3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线。
17．（2023八上·南城期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点爬到上底面的点处，求它爬行的最短距离．已知圆柱底面半径为，高度为．小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2．（取3）
图1 图2
（1）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（2）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（3）当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
18．（2023八上·瑞昌月考）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
（2）方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35 cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
19．（2015八上·福田期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′= cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm（π取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3， ≈1.4）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：
∵BC=8cm，AC=6cm，
根据勾股定理得：AB==10（cm）．
故选B．
【分析】此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，
所以AC=3 ，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC= ，
故选D．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
由题意可得：A′D=15cm
由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6
∴BD=DE+BE=8
连接A′B，则A′B即为最短距离，根据勾股定理得：A′B=（cm）．
故答案为：B.
【分析】将杯子侧面展开，A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度，根据勾股定理，即可得解．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方形的两个侧面展开，过点B作垂线交一边与点C，如下图；
根据两点之间线段最短，从点A爬到点B的路径最短时，AB在一条线上；
由题意可知，BC=3cm，AC=6+3=9cm，
根据勾股定理可知，AB==cm.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可以得到AC和BC的长；根据两点之间，线段最短，可以得出当AB在一条直线时，从点A爬到点B的路径最短；根据勾股定理，可得AB的长.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：AB之间的最短距离是将正方体的右侧面（或上侧面）与前面展平，让点A，B在同一平面内，由勾股定理得 ，∴ .
故答案为：B.
【分析】将正方体的右侧面（或上侧面）与前面展平再一个平面内，用勾股定理求解即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图，AB= ，
∴需要爬行的最短路径长为 ，
故答案为：A．
【分析】先将立体图形转换为平面图形，再利用勾股定理求解即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），
AB＝ ＝3 （dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，
AC＝6+6＝12（dm），BC＝9dm，AB＝ ＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝ ＝15（dm），
由于 ，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.
故答案为：D.
【分析】①将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），利用勾股定理可得AB；②将长方体的正面和右面展开在同一平面内，同理求出AB的值；③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理求出AB的值，然后进行比较即可得到最短路程.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】
如图甲乙丙丁四只蚂蚁所经过的路径中，乙所经过的路径最近。因为在正方体的侧面展开图中只有AP是一条直线。
故选B
9．【答案】100
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A'，连接A'G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A'EG中，A'E=80cm，EG=60cm，
∴AQ+QG=A'Q+QG=A'G= =100cm．
∴最短路线长为100cm．
故答案为：100．
【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短，A'G为直角△A'EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
10．【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图如图，
由题意可得在Rt△ADB中，AD=12cm，BD=5cm，
蚂蚁爬行的最短路径长为
故答案为：13.
【分析】现将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
11．【答案】25
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3=15，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=202+152=252，
解得：x=25，
∴ 蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25.
【分析】 先将图形平面展开，得出长方形的长和宽，根据两点之间线段最短得出蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，再由勾股定理进行解答即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：平面展开图如下图：过P作交FA于点G，连接BP，
由题意得AG=3，PA=PB=5，则BG=8，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】由题意作出平面展开图，过P作交FA于点G，连接BP，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得解.
13．【答案】 cm
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一(如图1）：PA=(cm)，
方法二(如图2)：PA=(cm)，
故需要爬行的最短距离是.
故答案为：.
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断.
14．【答案】2.6
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长
∴长方形的长为2+0.4-2.4米
∵长方形的宽为1米
∴一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长
∴米
故答案为：2.6
【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，求出AB的长，再根据一只蚂蚁从点A处到C处的最短路径为AC的长，结合勾股定理即可求出答案.
15．【答案】（1）解：如图，作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ．则AQ→QG为最短路线．
（2）解：因为AE=40 cm，AA'= 120 cm，所以A'E= 80 cm．
又因为EG= 60 cm，所以在Rt△A'EG中，
A'G2= 802+602= 10000．所以A'G= 100 cm．
所以AQ+QG= A'Q+QG= A'G= 100 cm．
即最短路线长为100 cm．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ，则AQ→QG为最短路线；
（2）由已知条件可得A′E，然后在Rt△A′EG中，应用勾股定理可得A′G，据此求解.
16．【答案】（1）正方体的展开平如图所示：
（2）如图，连接AP即为蚂蚁爬行的最短路线；
（3）如图：共有3条路线，即AEP、AMP、ANP。
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）画出其中一种正方体的展开图即可；
（2）在正方体的展开图上，根据线段的性质可知：连接A、P两点即可得最短路线；
（3）共有三条路线AEP、AMP、ANP，画出即可。
17．【答案】（1）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案2爬行距离更近；
（2）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案1爬行距离更近；
（3）解：根据题意得，解得：
，两种方式的爬行距离同样远．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（2）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（3）利用勾股定理，根据题意列出方程，求解，即可得出答案.
18．【答案】（1）15
（2）解：把直四棱柱沿侧棱展开，如图1，
因为绕了2周，所以要展开2次，连接AB．
在 中， ，
所以彩条的最短长度是26cm．
（3）解：展开玻璃杯的侧面，如图2，作点A关于MN的对称点 ，连接 ，作 于点C，则 ， ， ， ．
在 中， ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，．
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
【分析】（1）根据题意线段最短，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据题意绕两圈到B，所以要展开2次，连接AB．在根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，作A关于的对称点，同理根据勾股定理，即可求解．
19．【答案】（1）12 ；12 +1
（2）5
（3）解：∵l1=12 +1≈12×1.2+1=15.4
∴ =237.16．
∵ = =324，
∴ ．
∴l1＜l2．
∴甲蚂蚁先到达食物处
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′= A′O′=12 ．
∴l1=A′B′+AA′=12 +1．
故答案为：12 ；12 +1．
2） = =6π=18．
将圆柱体的侧面展开得到如图1所示矩形AA′B′B．
∵ =18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′= = =5 ．
故答案为：5 ．
【分析】（1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′= A′O′，然后根据l1=A′B′+AA′求解即可；（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B的对角线的长度即可；（3）将 ≈1.4代入从而可求得l1、l2的近似值，从而可作出判断．
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