利用勾股定理求线段长度—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2023八上·南海月考）在中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当2是直角边时，斜边=，
当2是斜边时，直角边=，
则第三边的长为或.
故答案为：D.
【分析】 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 ，然后分2是直角边、2是斜边两种情况，分别根据勾股定理计算可得答案．
2．（2022八上·电白期中）如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
∴．
故答案为：B．
【分析】设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
3．（2023八上·龙岗期中）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17 B．10 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，解得：，
由勾股定理可得：，
所以的长为，
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，先利用正方形的面积公式可求出的长度，再利用勾股定理可求出的长度.
4．（2023八上·龙岗期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AE，AD，DC，
∵AE=AB=2，AD=1，∠D=90°，
∴DE=，
∴CE=CD-DE=3-.
故答案为：B.
【分析】连接AE，AD，DC，利用勾股定理求出DE=，利用CE=CD-DE得出CE=3-，即可得出答案.
5．（2024八上·宁波开学考）如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折而成，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，则，
设，则，
在中，，
即，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据图形折叠的性质，利用勾股定理列式计算即可.
6．（2023八上·新昌期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=BC-BD=8-x，
在Rt△ACD中，AC=6，
∴AC2+CD2=AD2，
即62+（8-x）2=x2，
解得：x=
∴BD=．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，在Rt△ACD中，根据勾股定理可列关于x的方程，解方程即可求解．
7．（2024八上·遂川期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（ ）
A．15 B．13 C．10 D．8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意作三角形ABC，作ADBC于D，
故答案为：D
【分析】由题意画图，根据等腰三角形三线合一定理，底边上的高也是底边上的中线，故直角三角形中两边已知，由勾股定理可求第三条边，即高。
8．（2023八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题中已知的画图过程，MN为AB的垂直平分线
所以AE=BE，
设CE=x，则AE=BE=6-x
在△ABC中，∠C＝90°，BC=3
所以x2+32=6-x2，
解得x =，
及CE的长为.
故答案为：A.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=6-x，在直角三角形中，再利用勾股定理列方程求得CE的长.
9．（2023八上·文山月考）如图，在中，，是的平分线，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵，AD是的平分线，
∴BD=CD=BC，AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴，
∴BC=2BD=8，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得BD=CD，AD⊥BC，再利用勾股定理求出BD的长，最后求出BC的长即可.
10．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．（2021八上·太仓期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.
【答案】解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2.
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则EC＝8 x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8 x）2＋62＝x2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，在 Rt△BCE中由勾股定理可得方程，求解后即可得出答案.
12．（2023八上·高州月考）如图，已知中，为的角平分线，，求的长．
【答案】解：作于，
是的平分线，，
，
在中，
设为，则，
，即，
解得，即的长为12．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义，可得；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得DE=CD，AC=AE；根据勾股定理，可得BE的值；根据勾股定理，列方程，解方程即可求出AC.
13．（2020八上·金华月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
由折叠可得：
设 则
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求解 ，由对折可得 设 则 利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案.
二、能力提升
14．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
15．（2023八上·诸暨期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上，则折痕的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
将沿折叠，使点落在边上，设为，
则，
，
设，则，
，
即，
求得，
，
.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB，结合折叠，得，所以，设，在中利用勾股定理求出x，进而求AD.
16．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
17．（2024八上·沅江开学考）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示，
由，设， ，，
∵，，，，
∴，即，
∴为的角平分线，
又∵，
∴，
∴为的中线，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，设， ，，先利用勾股定理求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
18．（2023八上·龙岗期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接
因为
所以
由折叠可得：
又因为
所以
因此
又因为
所以
由等面积法可得：，解得：
又由折叠可得：
所以
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值．
19．（2022八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为 .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，
∴AE＝AB＝4，BE=8，EP＝BP，
设BC＝x，
∵△BPC周长的最小值为16，
∴此时CP+BP＝CP+PB=16-x＝CE，
∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴在Rt△CBE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16-x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6.
故答案为：6．
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，BE=8，EP＝BP，设BC＝x，根据△BPC周长的最小值为16，此时CP+BP＝CP+PB=16-x＝CE；根据平行线性质可得∠ABC＝90°，最后利用勾股定理可得EB2+BC2＝CE2，即82+x2＝（16-x）2，解之即可求得BC的长．
20．（2021八上·青岛期中）如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示，将截面和上底面展开在同一平面内，连接AB交CD于E，根据两点之间线段最短可知AB的长即为所求；
由题意得△ACD是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵BC=BD，AC=AD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠CBA=∠DBA，∠CAB=∠DAB，
∴AB⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图2的集合体表面展开，进而根据两点间线段最短得出结果。
21．（2023八上·四川期中） 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：在直角△ADC中，
∵，
∴；
（2）证明：在直角△BCE中，，
∴，
∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF=BC；
（3）解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE=BG，BT⊥GE，
∴GT=ET，
∵，
∴，
∴EM=EN，
∴DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠BDT=45°，
∴BT=DT，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴DG=2DE；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC=15，然后利用面积法求解；
（2）先利用勾股定理求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC；
（3）过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解．
三、拓展创新
22．（2021八上·渠县期中）如图，C为线段 上一动点，分别过B，D作 ， ，连接 ， ，已知 ， ， ，设 .请用含x的代数式表示 的长为 ，根据上述方法，求出 的最小值为 .
【答案】；13
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：AC+CE= ；
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
设BC=x，则AE的长即为代数式 的最小值.
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE= =13，
即 的最小值为13.
故答案为： ；13.
【分析】根据勾股定理可得AC+CE= ，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则代数式 的最小值即为AE的长，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，由矩形的性质可得AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，然后根据勾股定理求出AE的值即可.
23．（2021八上·武侯期末）[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ ，
∴BD＝ .
∴AD＝ ＝ .
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2）如图2，在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，连接CD′，若AD＝ ，求线段 的长.
【答案】（1）解：i）解：设BD=x，则CD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2.
解得：x＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝ ＝ ；
ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，
∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，
∴BD= ，DC= ，
∴BC= BD+ DC=5+9=14，
②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；
（2）解：∵AB＝ ，AC＝ ，AD＝ ，AD⊥BC，
∴BD= ，
DC= ，
过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，
∴BD′=BD= ，
设BF=x，D′F=y，
则x2+y2=( )2，
又∵ ，即：4x+2y=25，
∴x= 或 （舍），
∴y=5，即：D′F=5，
∴CF=BF+BD+CD= + +5=15，
∴ = .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）i）设BD=x，则CD=14-x，根据勾股定理，得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，列出方程，即可求解；ii）根据勾股定理，分 ①当点D在线段BC上， ②当点D在CB的延长线上两种情况分别求出BD、DC，进而即可求解；
（2）先求出BD、DC，过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，设BF=x，D′F=y，根据勾股定理和等积法，列出关于x，y的方程，进而即可求解.
1 / 1利用勾股定理求线段长度—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2023八上·南海月考）在中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2022八上·电白期中）如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2023八上·龙岗期中）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17 B．10 C．6 D．7
4．（2023八上·龙岗期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·宁波开学考）如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．（2023八上·新昌期中）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（ ）
A．7 B． C．6 D．
7．（2024八上·遂川期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（ ）
A．15 B．13 C．10 D．8
8．（2023八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·文山月考）如图，在中，，是的平分线，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．10 D．8
10．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
11．（2021八上·太仓期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.
12．（2023八上·高州月考）如图，已知中，为的角平分线，，求的长．
13．（2020八上·金华月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
二、能力提升
14．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
15．（2023八上·诸暨期中）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上，则折痕的长是（ ）
A．5 B． C． D．
16．（2024八上·福田期末）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
17．（2024八上·沅江开学考）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．7 B．5 C． D．
18．（2023八上·龙岗期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为 。
19．（2022八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为 .
20．（2021八上·青岛期中）如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
21．（2023八上·四川期中） 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
三、拓展创新
22．（2021八上·渠县期中）如图，C为线段 上一动点，分别过B，D作 ， ，连接 ， ，已知 ， ， ，设 .请用含x的代数式表示 的长为 ，根据上述方法，求出 的最小值为 .
23．（2021八上·武侯期末）[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ ，
∴BD＝ .
∴AD＝ ＝ .
[知识迁移]
（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2）如图2，在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，连接CD′，若AD＝ ，求线段 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当2是直角边时，斜边=，
当2是斜边时，直角边=，
则第三边的长为或.
故答案为：D.
【分析】 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 ，然后分2是直角边、2是斜边两种情况，分别根据勾股定理计算可得答案．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
∴．
故答案为：B．
【分析】设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，解得：，
由勾股定理可得：，
所以的长为，
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，先利用正方形的面积公式可求出的长度，再利用勾股定理可求出的长度.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AE，AD，DC，
∵AE=AB=2，AD=1，∠D=90°，
∴DE=，
∴CE=CD-DE=3-.
故答案为：B.
【分析】连接AE，AD，DC，利用勾股定理求出DE=，利用CE=CD-DE得出CE=3-，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折而成，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，则，
设，则，
在中，，
即，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据图形折叠的性质，利用勾股定理列式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=BC-BD=8-x，
在Rt△ACD中，AC=6，
∴AC2+CD2=AD2，
即62+（8-x）2=x2，
解得：x=
∴BD=．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，在Rt△ACD中，根据勾股定理可列关于x的方程，解方程即可求解．
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意作三角形ABC，作ADBC于D，
故答案为：D
【分析】由题意画图，根据等腰三角形三线合一定理，底边上的高也是底边上的中线，故直角三角形中两边已知，由勾股定理可求第三条边，即高。
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题中已知的画图过程，MN为AB的垂直平分线
所以AE=BE，
设CE=x，则AE=BE=6-x
在△ABC中，∠C＝90°，BC=3
所以x2+32=6-x2，
解得x =，
及CE的长为.
故答案为：A.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=6-x，在直角三角形中，再利用勾股定理列方程求得CE的长.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵，AD是的平分线，
∴BD=CD=BC，AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴，
∴BC=2BD=8，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得BD=CD，AD⊥BC，再利用勾股定理求出BD的长，最后求出BC的长即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．【答案】解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2.
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则EC＝8 x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8 x）2＋62＝x2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，在 Rt△BCE中由勾股定理可得方程，求解后即可得出答案.
12．【答案】解：作于，
是的平分线，，
，
在中，
设为，则，
，即，
解得，即的长为12．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义，可得；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得DE=CD，AC=AE；根据勾股定理，可得BE的值；根据勾股定理，列方程，解方程即可求出AC.
13．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
由折叠可得：
设 则
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求解 ，由对折可得 设 则 利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案.
14．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
15．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
将沿折叠，使点落在边上，设为，
则，
，
设，则，
，
即，
求得，
，
.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB，结合折叠，得，所以，设，在中利用勾股定理求出x，进而求AD.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使得，连接，，
，由等腰三角形的性质可得，
，
∴
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，，
，∴，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
【分析】延长到，使得，连接，，，由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
17．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示，
由，设， ，，
∵，，，，
∴，即，
∴为的角平分线，
又∵，
∴，
∴为的中线，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，设， ，，先利用勾股定理求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接
因为
所以
由折叠可得：
又因为
所以
因此
又因为
所以
由等面积法可得：，解得：
又由折叠可得：
所以
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值．
19．【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，
∴AE＝AB＝4，BE=8，EP＝BP，
设BC＝x，
∵△BPC周长的最小值为16，
∴此时CP+BP＝CP+PB=16-x＝CE，
∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴在Rt△CBE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16-x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6.
故答案为：6．
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，BE=8，EP＝BP，设BC＝x，根据△BPC周长的最小值为16，此时CP+BP＝CP+PB=16-x＝CE；根据平行线性质可得∠ABC＝90°，最后利用勾股定理可得EB2+BC2＝CE2，即82+x2＝（16-x）2，解之即可求得BC的长．
20．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示，将截面和上底面展开在同一平面内，连接AB交CD于E，根据两点之间线段最短可知AB的长即为所求；
由题意得△ACD是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵BC=BD，AC=AD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠CBA=∠DBA，∠CAB=∠DAB，
∴AB⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图2的集合体表面展开，进而根据两点间线段最短得出结果。
21．【答案】（1）解：在直角△ADC中，
∵，
∴；
（2）证明：在直角△BCE中，，
∴，
∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF=BC；
（3）解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE=BG，BT⊥GE，
∴GT=ET，
∵，
∴，
∴EM=EN，
∴DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠BDT=45°，
∴BT=DT，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴DG=2DE；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC=15，然后利用面积法求解；
（2）先利用勾股定理求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC；
（3）过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解．
22．【答案】；13
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：AC+CE= ；
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
设BC=x，则AE的长即为代数式 的最小值.
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE= =13，
即 的最小值为13.
故答案为： ；13.
【分析】根据勾股定理可得AC+CE= ，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则代数式 的最小值即为AE的长，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，由矩形的性质可得AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，然后根据勾股定理求出AE的值即可.
23．【答案】（1）解：i）解：设BD=x，则CD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2.
解得：x＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝ ＝ ；
ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，
∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，
∴BD= ，DC= ，
∴BC= BD+ DC=5+9=14，
②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；
（2）解：∵AB＝ ，AC＝ ，AD＝ ，AD⊥BC，
∴BD= ，
DC= ，
过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ，
∴BD′=BD= ，
设BF=x，D′F=y，
则x2+y2=( )2，
又∵ ，即：4x+2y=25，
∴x= 或 （舍），
∴y=5，即：D′F=5，
∴CF=BF+BD+CD= + +5=15，
∴ = .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）i）设BD=x，则CD=14-x，根据勾股定理，得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，列出方程，即可求解；ii）根据勾股定理，分 ①当点D在线段BC上， ②当点D在CB的延长线上两种情况分别求出BD、DC，进而即可求解；
（2）先求出BD、DC，过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，设BF=x，D′F=y，根据勾股定理和等积法，列出关于x，y的方程，进而即可求解.
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