利用勾股定理求面积—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2020八上·青龙期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故答案为：A．
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
2．（2023八上·潮南期中）图中字母所代表的正方形面积为175的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：观察图形，中间的三角形为直角三角形，即三边边长满足勾股定理.
A S正方形A=400-225=175，符合题意；
B S正方形B=400+225=625，不符合题意；
C S正方形C= 256-112=144，不符合题意；
D S正方形D=400-120=280，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理即可求得.
3．（2023八上·乐山期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（ ）
A．直角三角形的面积
B．最小正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形三边长分别为a，b，c，其中c为斜边长
由勾股定理可得：
∵较小的两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a
故答案为：C
【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得，在根据长方形与正方形的面积公式计算即可得出答案.
4．（2024八上·宁波期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理 ，
有即
∴即 最小的正方形面积7
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得到四个正方形面积之间的关系，然后求出答案即可
5．（2023八上·高碑店月考）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．23
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：23
【分析】在三角形中，根据勾股定理即可求出答案.
6．（2024八上·青龙期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形的面积，正方形的面积，
∵，
∴
故选：B.
【分析】根据题意可得正方形的面积，正方形的面积，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
8．（2019八上·朝阳期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D﹣S正方形C．
∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，∴S正方形A+4=9﹣3，∴S正方形A=2．
故答案为：2．
【分析】根据勾股定理的几何意义：得到S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，求解即可．
9．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中AB＝BC＝5，AC＝6，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝1.5，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：延长BO交AC于点E，
因为AB=BC，BE为∠ABC的角平分线，
所以BE⊥AC，AE=AC=3，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得，BE=4
∴三角形ABC的面积=AC·BE=12
故答案为：12.
【分析】延长BO交AC于点E，根据等腰三角形三线合一的性质，勾股定理求出BE的长度，计算得到答案即可。
10．（2022八上·青田期末）如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放.已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积.
【答案】解：由题意，得Rt△ABC≌Rt△AB1C1≌Rt△AB2C2≌Rt△AB3C3，
∴AC＝AC1＝AC2＝AC3，AB＝AB1＝1.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝，
∴＝4×＝18.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等得AC＝AC1＝AC2＝AC3， 在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，进而根据四边形CC1C2C3的面积=Rt△ACC3面积的四倍即可算出答案.
二、能力提升
11．（2023八上·海曙月考）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为的面积为．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，
，
解得，即
，
，
，
知道图中阴影部分的面积，则一定能求出．
故答案为：D．
【分析】设以三角形的斜边为边的正方形面积为c，以较长直角边为边的正方形面积为b，较短直角边为边的正方形的面积为a，可得出，，且进而可得出即可得到答案．
12．（2023八上·兰溪月考）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为 4和 25，则的面积为（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
，
都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】首先根据AAS可证明，可得出然后根据勾股定理即可得出正方形c的面积。
13．（2024八上·绿园期末）如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图2，如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为，，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
图1 图2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大正方形边长为c，
∵大正方形的面积是16，
∴=16，
根据勾股定理得，
=16，
∵，
∴ab=6，
∵小正方形边长为b-a，
∴，
故答案为：C
【分析】首先设大正方形的边长为c，由大正方形的面积即可求得，根据勾股定理可以得到，然后结合完全平方公式，根据即可求得的值，最后求解即可得出答案．
14．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
15．（初中数学北师大版八年级上册1.1探索勾股定理练习题）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）5；；；
（2）解：△ABC的面积：6×5﹣ ×3×1﹣ ×5×5﹣ ×2×6=10．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ，故答案为：5； ； ； ；根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
三、拓展创新
16．（2023八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则下列结论：①；②；③；④，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABE=∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠ACB=∠D=90°，AB=BE，
∴△ACB≌△EDB，
∴S=S4，故①正确；
②∵∠FAB=∠ACB=90°，
∴∠FAL=∠ABR，
∵∠F=∠RAB=90°，AF=AB，
∴△FAL≌△ABR，
∴S△FAL=S△ABR，
∴S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，
∴S2=S，故②正确；
③BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，S=S4，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S3+S+S6+S1+S5=S2+S+S6+S5，
∴S1+S3=S2，故③正确；
④∵S2=S4=S，S1+S3=S2，
∴S1+S2+S3+S4=3S，故④不正确，
∴正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】①证出△ACB≌△EDB，得出S=S4，即可判断①正确；
②证出△FAL≌△ABR，得出S△FAL=S△ABR，从而得出S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，即S2=S，即可判断②正确；
③利用正方形的面积得出BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，再根据勾股定理得出BC2+AC2=AB2，从而得出S1+S3=S2，即可判断③正确；
④根据S2=S4=S，S1+S3=S2，从而得出S1+S2+S3+S4=3S，故即可判断④不正确.
17．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
18．（2023八上·吴兴期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1所示：作线段AC的中垂线BD即可；
（2）解：不能，
理由：如图2，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（3）解：连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝6，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即42+x2＝（10﹣x）2+62，
解得：x＝6，所以BE＝6，CE＝4，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）解：如图4，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝10﹣7＝3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝12，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如图5，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线，由等腰三角形三线合一的性质可得其为∠ABC的角平分线，据此解答；
（2）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，由高相等可得AD=BD，结合AC≠BC可得AD+AC≠BD+BC，据此解答；
（3）连接AE、DE，设BE＝x，由垂直平分线的性质可得AE＝DE，AF＝DF，根据三角形的面积公式可知S△AEF＝S△DEF，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可求出BE、CE的值，进而推出S△ABE=S△DCE，结合面积间的和差关系可得S四边形ABEF＝S四边形DCEF，据此证明；
（4）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则AF=3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，利用SAS证明△ABF≌△CFG，得到S△ABF＝S△CFG，易得S△BFE＝S△EFG，则S△EFC＝S四边形ABEF，AF+AB+BE＝CE+CF＝12，据此解答.
1 / 1利用勾股定理求面积—北师大版数学八（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2020八上·青龙期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
2．（2023八上·潮南期中）图中字母所代表的正方形面积为175的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·乐山期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（ ）
A．直角三角形的面积
B．最小正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．（2024八上·宁波期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
5．（2023八上·高碑店月考）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．23
6．（2024八上·青龙期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
8．（2019八上·朝阳期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．
9．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中AB＝BC＝5，AC＝6，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝1.5，则△ABC的面积为 ．
10．（2022八上·青田期末）如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放.已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积.
二、能力提升
11．（2023八上·海曙月考）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为的面积为．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A． B． C． D．
12．（2023八上·兰溪月考）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为 4和 25，则的面积为（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
13．（2024八上·绿园期末）如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图2，如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为，，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
图1 图2
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2023八上·瓯海期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
15．（初中数学北师大版八年级上册1.1探索勾股定理练习题）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
三、拓展创新
16．（2023八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则下列结论：①；②；③；④，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
17．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
18．（2023八上·吴兴期中）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；
（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故答案为：A．
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：观察图形，中间的三角形为直角三角形，即三边边长满足勾股定理.
A S正方形A=400-225=175，符合题意；
B S正方形B=400+225=625，不符合题意；
C S正方形C= 256-112=144，不符合题意；
D S正方形D=400-120=280，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理即可求得.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形三边长分别为a，b，c，其中c为斜边长
由勾股定理可得：
∵较小的两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a
故答案为：C
【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得，在根据长方形与正方形的面积公式计算即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理 ，
有即
∴即 最小的正方形面积7
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得到四个正方形面积之间的关系，然后求出答案即可
5．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：23
【分析】在三角形中，根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形的面积，正方形的面积，
∵，
∴
故选：B.
【分析】根据题意可得正方形的面积，正方形的面积，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
8．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D﹣S正方形C．
∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，∴S正方形A+4=9﹣3，∴S正方形A=2．
故答案为：2．
【分析】根据勾股定理的几何意义：得到S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，求解即可．
9．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：延长BO交AC于点E，
因为AB=BC，BE为∠ABC的角平分线，
所以BE⊥AC，AE=AC=3，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得，BE=4
∴三角形ABC的面积=AC·BE=12
故答案为：12.
【分析】延长BO交AC于点E，根据等腰三角形三线合一的性质，勾股定理求出BE的长度，计算得到答案即可。
10．【答案】解：由题意，得Rt△ABC≌Rt△AB1C1≌Rt△AB2C2≌Rt△AB3C3，
∴AC＝AC1＝AC2＝AC3，AB＝AB1＝1.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝，
∴＝4×＝18.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等得AC＝AC1＝AC2＝AC3， 在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC的长，进而根据四边形CC1C2C3的面积=Rt△ACC3面积的四倍即可算出答案.
11．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，
，
解得，即
，
，
，
知道图中阴影部分的面积，则一定能求出．
故答案为：D．
【分析】设以三角形的斜边为边的正方形面积为c，以较长直角边为边的正方形面积为b，较短直角边为边的正方形的面积为a，可得出，，且进而可得出即可得到答案．
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
，
都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】首先根据AAS可证明，可得出然后根据勾股定理即可得出正方形c的面积。
13．【答案】C
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大正方形边长为c，
∵大正方形的面积是16，
∴=16，
根据勾股定理得，
=16，
∵，
∴ab=6，
∵小正方形边长为b-a，
∴，
故答案为：C
【分析】首先设大正方形的边长为c，由大正方形的面积即可求得，根据勾股定理可以得到，然后结合完全平方公式，根据即可求得的值，最后求解即可得出答案．
14．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF，
∴BE=AE，CF=AF，
∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，
∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=16，
∵△AEF的周长为9，
∴AE+EF+AF=9，
∵EF=4，
∴AE+AF=5，
∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=，
∴S△AEF=AE·AF=.
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF.
15．【答案】（1）5；；；
（2）解：△ABC的面积：6×5﹣ ×3×1﹣ ×5×5﹣ ×2×6=10．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ，故答案为：5； ； ； ；根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
16．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABE=∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠ACB=∠D=90°，AB=BE，
∴△ACB≌△EDB，
∴S=S4，故①正确；
②∵∠FAB=∠ACB=90°，
∴∠FAL=∠ABR，
∵∠F=∠RAB=90°，AF=AB，
∴△FAL≌△ABR，
∴S△FAL=S△ABR，
∴S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，
∴S2=S，故②正确；
③BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，S=S4，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S3+S+S6+S1+S5=S2+S+S6+S5，
∴S1+S3=S2，故③正确；
④∵S2=S4=S，S1+S3=S2，
∴S1+S2+S3+S4=3S，故④不正确，
∴正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】①证出△ACB≌△EDB，得出S=S4，即可判断①正确；
②证出△FAL≌△ABR，得出S△FAL=S△ABR，从而得出S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，即S2=S，即可判断②正确；
③利用正方形的面积得出BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，再根据勾股定理得出BC2+AC2=AB2，从而得出S1+S3=S2，即可判断③正确；
④根据S2=S4=S，S1+S3=S2，从而得出S1+S2+S3+S4=3S，故即可判断④不正确.
17．【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
18．【答案】（1）解：如图1所示：作线段AC的中垂线BD即可；
（2）解：不能，
理由：如图2，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（3）解：连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝6，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即42+x2＝（10﹣x）2+62，
解得：x＝6，所以BE＝6，CE＝4，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（4）解：如图4，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝10﹣7＝3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝12，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如图5，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线，由等腰三角形三线合一的性质可得其为∠ABC的角平分线，据此解答；
（2）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，由高相等可得AD=BD，结合AC≠BC可得AD+AC≠BD+BC，据此解答；
（3）连接AE、DE，设BE＝x，由垂直平分线的性质可得AE＝DE，AF＝DF，根据三角形的面积公式可知S△AEF＝S△DEF，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可求出BE、CE的值，进而推出S△ABE=S△DCE，结合面积间的和差关系可得S四边形ABEF＝S四边形DCEF，据此证明；
（4）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则AF=3，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝3，则有AB+AF＝CF+CG，利用SAS证明△ABF≌△CFG，得到S△ABF＝S△CFG，易得S△BFE＝S△EFG，则S△EFC＝S四边形ABEF，AF+AB+BE＝CE+CF＝12，据此解答.
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