勾股定理的规律型问题—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·荆州期中）《九章算术》提供了许多组勾股数，如，，等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．26 B．101 C．13 D．24
2．（2023八上·南海月考）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·庆云期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．126 B．127 C．128 D．129
二、填空题
4．（2024八下·青山湖月考） 附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
5．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
6．（2024八下·冷水滩开学考）图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为 ．
7．（2020八上·禅城月考）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ．
8．（2018八上·昌图月考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1= A1A2=1.以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4……依次规律得到等腰直角三角形OA2015A2016，则点A2015的坐标为 .
9．（2020八上·长沙期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 ，…，第 个正方形和第 个直角三角形的面积之和为 ．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1） ．
（2）通过探究，用含 的代数式表示 ，则 ．
10．（2021八上·西安月考）如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 .
11．（2021八下·朝阳期末）如图，，过P作且，由勾股定理得；再过P作且，得；又过作且，得；…依次类推，得 ．
12．（2021八下·宾阳期中）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此进行下去……，记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，则 .
三、解答题
13．（2023八下·凤山期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； ，，.
（1）当时，求，的值
（2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由.
14．（2024八下·湖北期中） 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
；（是的面积）；
；（是的面积）；
；（是的面积）；
…
（1）请用含有（为正整数）的等式 .
（2）推算出 .
（3）求出的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，10是偶数，
∴，
，
，
∴由10生成的勾股数的“弦数”是26，
故答案为：A．
【分析】根据10是偶数，按照题干步骤计算即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
…，
则，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质及勾股定理分别找出S1、S2、S3……，就会找出规律“”，进而将n=8代入得到S8的值．
3．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图示可知，
第一代勾股树：，
第二代勾股树：，
第六代勾股树：，
故答案为：B.
【分析】根据图示，找出代数式规律，求出即可.
4．【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵4+5=9=32，12+13=25=52，24+25=49=72，40+41=81=92，
∴9+2=11，112=121，121=60+61，
∴ 第⑤组勾股数： 11，60，61.
故答案为：11，60，61.
【分析】首先根据已知的四组勾股数找出规律，即可得出答案。
5．【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
6．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理总结规律，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
8．【答案】（- ）
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，
OA1=1，OA2= ， OA3= ， OA4= ，…OA2016=
∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
∴点A2015在x轴的负半轴上，
∵OA2015=
∴点A2015的坐标为
【分析】 由题意用勾股定理可求出OA2、OA3、OA4的长， …，观察它们的值得规律可得OA2015的长，则点A2015的坐标可求解。
9．【答案】（1）
（2） （ 为整数）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为 ，另一条直角边就是 ，
∴三角形的面积为 ，
∴S1= ；（2）∵第二个正方形的边长为 ，它的面积就是 ，也就是第一个正方形面积的 ，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的 ，
∴S2=（ ） ，依此类推，S3=（ ） ，即S3=（ ） ，
Sn= （n为整数）．
故答案为：（1） ；（2） （ 为整数）
【分析】根据三角形的面积公式等于底乘高除以2，进行计算，找到规律Sn= ，进行作答即可。
10．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用；探索图形规律；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设正放置的四个正方形的边长分别为 ， ， ， ，
则
如图，
由正方形的性质得： ，
，
，即
在 和 中，
， ，
在 中， ，即
同理可得：
故答案为：4.
【分析】根据正方形的性质和余角的性质得出有关角或边相等，然后利用AAS证明△ABC≌△CDE，得出 ， ，利用勾股定理推出，从而总结出规律每两个相邻正放的正方形面积和等于中间斜放的正方形面积，即S1+S2=1，S3+S4=3，则可得出S1+S2+S3+S4=4，即可解答.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP1=，OP2=，OP3=；
；
；
；
找到规律：
；
；
故答案为：
【分析】先结合前几项的数据与序号的关系求出规律，再将n=2020代入计算即可。
12．【答案】21010
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1的正方形，
∴a1=1=（）0，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=，
∴a2==，
同理可得a3=（）2，
a4=（）3，
…
∴an=（）n-1.
∴a2021=（）2020=21010.
故答案为：21010.
【分析】根据第一个正方形的边长为1，利用勾股定理求得第二个正方形的边长， 以此类推求出正方形的边长符合一定的规律，即an=（）n-1，依此规律可以求得第n个正方形的边长，最后将n=2021代入an=（）n-1中计算即可.
13．【答案】（1）解：根据规律得，∴
把代入，
解得，
（2）解：10，24，26是勾股数。
∵.
又∵10，24，26都是正整数
根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数.
【知识点】勾股定理的应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)先观察表格中勾股数的规律，再通过勾股定理计算求解.
(2)直接利用勾股定理验证即可.
14．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
1 / 1勾股定理的规律型问题—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024八下·荆州期中）《九章算术》提供了许多组勾股数，如，，等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．26 B．101 C．13 D．24
【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，10是偶数，
∴，
，
，
∴由10生成的勾股数的“弦数”是26，
故答案为：A．
【分析】根据10是偶数，按照题干步骤计算即可.
2．（2023八上·南海月考）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
…，
则，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质及勾股定理分别找出S1、S2、S3……，就会找出规律“”，进而将n=8代入得到S8的值．
3．（2023八下·庆云期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．126 B．127 C．128 D．129
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图示可知，
第一代勾股树：，
第二代勾股树：，
第六代勾股树：，
故答案为：B.
【分析】根据图示，找出代数式规律，求出即可.
二、填空题
4．（2024八下·青山湖月考） 附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：∵4+5=9=32，12+13=25=52，24+25=49=72，40+41=81=92，
∴9+2=11，112=121，121=60+61，
∴ 第⑤组勾股数： 11，60，61.
故答案为：11，60，61.
【分析】首先根据已知的四组勾股数找出规律，即可得出答案。
5．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
6．（2024八下·冷水滩开学考）图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理总结规律，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2020八上·禅城月考）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ．
【答案】13，84，85
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85
8．（2018八上·昌图月考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1= A1A2=1.以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4……依次规律得到等腰直角三角形OA2015A2016，则点A2015的坐标为 .
【答案】（- ）
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，
OA1=1，OA2= ， OA3= ， OA4= ，…OA2016=
∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
∴点A2015在x轴的负半轴上，
∵OA2015=
∴点A2015的坐标为
【分析】 由题意用勾股定理可求出OA2、OA3、OA4的长， …，观察它们的值得规律可得OA2015的长，则点A2015的坐标可求解。
9．（2020八上·长沙期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 ，…，第 个正方形和第 个直角三角形的面积之和为 ．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1） ．
（2）通过探究，用含 的代数式表示 ，则 ．
【答案】（1）
（2） （ 为整数）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为 ，另一条直角边就是 ，
∴三角形的面积为 ，
∴S1= ；（2）∵第二个正方形的边长为 ，它的面积就是 ，也就是第一个正方形面积的 ，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的 ，
∴S2=（ ） ，依此类推，S3=（ ） ，即S3=（ ） ，
Sn= （n为整数）．
故答案为：（1） ；（2） （ 为整数）
【分析】根据三角形的面积公式等于底乘高除以2，进行计算，找到规律Sn= ，进行作答即可。
10．（2021八上·西安月考）如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 .
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用；探索图形规律；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设正放置的四个正方形的边长分别为 ， ， ， ，
则
如图，
由正方形的性质得： ，
，
，即
在 和 中，
， ，
在 中， ，即
同理可得：
故答案为：4.
【分析】根据正方形的性质和余角的性质得出有关角或边相等，然后利用AAS证明△ABC≌△CDE，得出 ， ，利用勾股定理推出，从而总结出规律每两个相邻正放的正方形面积和等于中间斜放的正方形面积，即S1+S2=1，S3+S4=3，则可得出S1+S2+S3+S4=4，即可解答.
11．（2021八下·朝阳期末）如图，，过P作且，由勾股定理得；再过P作且，得；又过作且，得；…依次类推，得 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP1=，OP2=，OP3=；
；
；
；
找到规律：
；
；
故答案为：
【分析】先结合前几项的数据与序号的关系求出规律，再将n=2020代入计算即可。
12．（2021八下·宾阳期中）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此进行下去……，记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，则 .
【答案】21010
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1的正方形，
∴a1=1=（）0，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=，
∴a2==，
同理可得a3=（）2，
a4=（）3，
…
∴an=（）n-1.
∴a2021=（）2020=21010.
故答案为：21010.
【分析】根据第一个正方形的边长为1，利用勾股定理求得第二个正方形的边长， 以此类推求出正方形的边长符合一定的规律，即an=（）n-1，依此规律可以求得第n个正方形的边长，最后将n=2021代入an=（）n-1中计算即可.
三、解答题
13．（2023八下·凤山期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； ，，.
（1）当时，求，的值
（2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由.
【答案】（1）解：根据规律得，∴
把代入，
解得，
（2）解：10，24，26是勾股数。
∵.
又∵10，24，26都是正整数
根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数.
【知识点】勾股定理的应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)先观察表格中勾股数的规律，再通过勾股定理计算求解.
(2)直接利用勾股定理验证即可.
14．（2024八下·湖北期中） 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
；（是的面积）；
；（是的面积）；
；（是的面积）；
…
（1）请用含有（为正整数）的等式 .
（2）推算出 .
（3）求出的值.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
.
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
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