浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试卷
一、选择题：（本题共 10 小题, 每题 3 分, 共 30 分）
1．（2024八上·宁波开学考）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·宁波开学考）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 △PAB中， PA=PB，M、N、K分别是 PA、PB、AB上的点， 且 ， 若 ， 则 （ ）
A．90° B．92 C．96 D．98
4．（2024八上·宁波开学考）如图， 直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ， 则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·宁波开学考）若关于 的不等式组 无解， 则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
6．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
7．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
8．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是 上一点， ， 点 是 的中点， 设 的面积分别是 ， 且 ， 则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024八上·宁波开学考） 如图， 在三角形纸片 中， ， 折叠该纸片 便点C落 在 边上的点 处， 折叠 与 交于点 ， 若 ， 则折痕 的长度（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是射线 上的动点， ， 则当 是直角三角形时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题: (本题共 6 小题, 每题 3 分, 共 18 分
11．（2024八上·宁波开学考）将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则 ．
12．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
13．（2024八上·宁波开学考） 已知 满足 ， 则 .
14．（2024八上·宁波开学考）如图， ， 点 在 边上， 与 交于点 ， 则 。
15．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ．
16．（2024八上·宁波开学考）如图， 是边长为 的等腰值角三角形， 分别是 上的点， ， 则 的最小值为 .
三、解答题（共 52 分，17、18每题 6 分，19、20每题 8 分， 21 题 10 分， 22 题 14 分）
17．（2024八上·宁波开学考）解分式方程和不等式组
（1）
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
18．（2024八上·宁波开学考） 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中， 若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错 点）上，近的三角形称为格点三角形.
（1）请在图甲中作一个格点三角形， 使 是一个面积为 2 的等腰三角形.
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺， 作出 的平分线（保留作图痕迹）.
19．（2024八上·宁波开学考）如图是某商品的商标， 是线段 的交点，且 ，小波认为图中的两个三角形全等， 他的思考过程是：
在 和
你认为小波的思考过程对吗 如果正确， 指出他用的是哪一个判定条件，如果不正确，写出你的思考过程。
20．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ，
（1）求 的面积；
（2）求经过点 且平分 面积的直线解析式.
21．（2024八上·宁波开学考）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．
（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．
（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．
22．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，
（1）若，判断的形状．
（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．
（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A．
【分析】若分式有意义，则分式的分母不能为零，列不等式即可解答．
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系，列出不等式即可解答.．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵PA=PB，AM=AK，NB=BK，
∴∠A=∠B，∠AMK=∠AKM，∠BNK=∠BKN，
∴∠A=180°-2∠AKM，∠B=180°-2∠BKN，
∵∠AKM+∠BKN=180°-∠MKN=180°-44°=136°，
∴∠A+∠B=360°-2（∠AKM+∠BKN）=360°-2×136°=88°，
∴∠P=180°-（∠A+∠B）=180°-88°=92°.
故答案为：B.
【分析】利用等边对等角可证得∠A=∠B，∠AMK=∠AKM，∠BNK=∠BKN，利用三角形的内角和定理可表示出∠A和∠B，利用平角的定义可求出∠AKM+∠BKN的值，由此可求出∠A+∠B的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠P的度数.
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与 轴， 轴分别交于 两点，
∴当x=0时y=4，
当y=0时，
解之：x=3，
∴点A（0，4），点B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x轴，
∴点B'的横坐标为3+4=7，纵坐标为3，
∴点B'的坐标为（7，3）.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，据此可求出OA、OB的长；再利用旋转的性质可证得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，据此得到O'A、O'B'的长，同时可推出O'B'∥x轴，即可求出点B'的坐标.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：x＞3，
由②得：x＜a，
∵此不等式组无解，
∴a≤3.
故答案为：B.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据此不等式组无解（大大小小找不了），可得到a的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12，
∵EC=2BE，
∴BE=BC，
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8，
∴S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为：C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线，由此可求出△ABD的面积，即可得到S△ADF+S△ABF的值；由EC=2BE，可推出BE=BC，由此可求出S△ABF+S△BEF的值，据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 折叠该纸片 便点C落 在 边上的点 处，
∴∠C=∠BDE=90°，CE=DE，BC=BD，
∴ED⊥AB，
∵AD=BD，
∴DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，
∴设DE=x，则AE=2x，AC=CE+AE=x+2x=3x
∴3x=6，
解之：x=2，
∴AE=BE=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质可证得∠C=∠BDE=90°，CE=DE，BC=BD，结合已知条件可推出DE垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得到BE=AE，同时可证得AB=2BC，可求出∠A=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，设DE=x，可表示出AE，AC的长，根据AC的长，可得到x的值，即可求出BE的长.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当∠APB=90°时，如图1，
∵OA=OB，
∴PO是AB边上的中线，
∴PO=OB=AB=1，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴△BOP是等边三角形，
∴BP=OP=1，
∴；
当∠ABP=90°时，如图2，
在Rt△BOP中，∠BOP=60°，
∴∠BPO=90°-∠BOP=90°-60°=30°，
∴PO=2BO=2，
在Rt△BOP中，
，
在Rt△ABP中，
；
当∠APB=90°时，如图3，
∵PC是Rt△ABP的边AB上的中线，
∴PO=AO=AB=1，
∵∠AOC=60°，
∴△POA是等边三角形，
∴AP=AO=1，
∴AP的长为或或1.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当∠APB=90°时，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出PO=OB=1，由此可证得△BOP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠ABP=90°时利用直角三角形的两锐角互余可求出∠BPO的度数，同时求出PO的长，利用勾股定理求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠APB=90°时，可求出PO=AO=1，可证得△POA是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AP的长；综上所述可得到符合题意的AP的长.
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为，
点向左平移2个单位即可落在轴上，
故答案为：．
【分析】根据轴对称点特征求出对称点，再根据点坐标的平移规律即可得到解答．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
13．【答案】-7或6
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
由①+②得
x2+2xy+y2+x+2=42，
（x+y）2+（x+y）-42=0
∴（x+y+7）（x+y-6）=0
∴x+y+7=0或x+y-6=0
解之：x+y=-7或x+y=6
故答案为：-7或6.
【分析】由①+②可得到（x+y）2+（x+y）-42=0，将此方程看着关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法求出x+y的值.
14．【答案】72°
【知识点】三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠EOB=∠AOD，∠A=∠B，∠2=180°-∠A-∠AOD，∠BEA=180°-∠B-∠EOB，
∴∠2=∠BEA=∠1，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC（ASA），
∴∠BDE=∠C，DE=CE，
∴∠EDC=∠C=∠BDE=（180°-∠1）=（180°-36°）=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠2=∠BEA=∠1，由此可推出∠BED=∠AEC，利用ASA可证得△BED≌△AEC，利用全等三角形的性质可得到∠BDE=∠C，DE=CE，然后利用等腰三角形的性质和数据线的内角和定理可求出∠BDE的度数.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
是的中线，，
是的中点，
∴，
∴
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BF=2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=DF，即可根据题意求出AB的长，在由勾股定理计算出AF.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥CD于点M，过点A作AM'⊥AC于点A，使AM'=AM，过点M'作M'H⊥BC于点H，交AM于点G，连接BM'，
∵CD⊥BC，
∴∠AMC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠BAC=45°，
∴四边形ABCM是正方形，
∴AM=AB=AM'=；
∵∠ABC=∠BHG=∠BAM=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴，BH=AG，
∵∠BAM=∠CAM'，
∴∠BAC=∠GAM'=45°，
∴△AGM'是等腰直角三角形，
∴AG=M'G，
∵AG2+M'G2=AM'2=2
解之：AG=MG=BH=1，
∴；
在△AM'E和△CFB中，
∴△AM'E≌△CFB（SAS）
∴M'E=BF，
∵M'E+BE≥BM'
∴BF+BE≥BM'即（BF+BE）2≥BM'2
要使BF+BE的值最小，则点M'、E、B在同一直线上，
在Rt△M'HB中
∴ 的最小值为
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥CD于点M，过点A作AM'⊥AC于点A，使AM'=AM，过点M'作M'H⊥BC于点H，交AM于点G，连接BM'，利用有三个角是直角的四边形是矩形，利用等腰直角三角形的性质可证得AB=BC，∠BAC=45°，由此可推出四边形ABCM是正方形，可得到AM'的长；再证明四边形ABHG是矩形，可求出GH的长，同时可证得BH=AG，易证△AGM'是等腰直角三角形，可知AG=M'G，利用勾股定理求出AG，GM'，BH的长，同时可得到M'H的长；利用SAS可证得△AM'E≌△CFB，利用全等三角形的性质可证得M'E=BF，利用三角形三边关系定理可得到BF+BE≥BM'，要使BF+BE的值最小，则点M'、E、B在同一直线上；然后利用勾股定理求出BM2，即可得到 的最小值.
17．【答案】（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按解分式方程步骤，先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，并检验；
（2）先分别解出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
18．【答案】（1）解：如图
∵S△ABC=×2×2=2，
∴△ABC就是所求作的三角形
（2）解：如图
连接AC，
∵，BC=5，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴BD就是所求作的图形
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式，可知底边和底边上的高都为2，画出△ABC即可.
（2）易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质，可作出∠ABC的角平分线BD.
19．【答案】解：小波的思考过程不正确，AC和BD不是△ABO和△DCO的边.
如图，连接BC，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D，
在△ABO和△DCO中
∴△ABO≌△DCO（AAS）
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定，可作出判断；连接BC，图形中隐含了公共边BC=CB，利用SSS可证得△ABC≌△DCB，利用全等三角形的性质可推出∠A=∠D；然后利用AAS可证得△ABO≌△DCO.
20．【答案】（1）解：∵ 直线 上有一点 ， 其横坐标为 1 ，
∴y=2，
∴点A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面积为3.
（2）解：如图，设直线l交AO于点Q，
∵ 经过点P且平分△AOP的面积，
∴
解之：yQ=±1，
∵点Q在第一象限，
∴yQ=1，
当y=1时2x=1，
解之：
∴点Q
设直线PQ的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线PQ的函数解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOP的面积.
（2）设直线l交AO于点Q，利用经过点P且平分△AOP的面积，可求出△POQ的面积，利用三角形的面积公式求出点Q的纵坐标，由此可得到点Q的横坐标，即可得到点Q的坐标，设设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P、Q的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线PQ的函数解析式.
21．【答案】（1）解：设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据" 800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍 "列出分式方程求解即可；
（2）设购进A种水杯x个，根据“ 超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元 ”列出不等式组，解到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，再根据一次函数的性质即可解答．
（1）设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，
根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
22．【答案】（1）解：∵
∴，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）或或或
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解析】（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
【分析】（1）根据A、C、D三点的坐标，先求出的长，再根据勾股定理逆定理即可 判断是直角三角形 ；
（2）过点作轴，由（1）的结论，若， 则可判断出，由全等三角形的性质即可求出点的坐标；
（3） 若为等腰三角形，可分为：BC=BE、BC=CE、BE=CE三种情况，分别求解即可.
（4）过点作轴，先证明，由全等的性质，再证明根，由全等三角形的性质得，由线段的和差关系即可写出与的数量关系．
（1）解：由题意可得：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
1 / 1浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试卷
一、选择题：（本题共 10 小题, 每题 3 分, 共 30 分）
1．（2024八上·宁波开学考）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A．
【分析】若分式有意义，则分式的分母不能为零，列不等式即可解答．
2．（2024八上·宁波开学考）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系，列出不等式即可解答.．
3．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 △PAB中， PA=PB，M、N、K分别是 PA、PB、AB上的点， 且 ， 若 ， 则 （ ）
A．90° B．92 C．96 D．98
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵PA=PB，AM=AK，NB=BK，
∴∠A=∠B，∠AMK=∠AKM，∠BNK=∠BKN，
∴∠A=180°-2∠AKM，∠B=180°-2∠BKN，
∵∠AKM+∠BKN=180°-∠MKN=180°-44°=136°，
∴∠A+∠B=360°-2（∠AKM+∠BKN）=360°-2×136°=88°，
∴∠P=180°-（∠A+∠B）=180°-88°=92°.
故答案为：B.
【分析】利用等边对等角可证得∠A=∠B，∠AMK=∠AKM，∠BNK=∠BKN，利用三角形的内角和定理可表示出∠A和∠B，利用平角的定义可求出∠AKM+∠BKN的值，由此可求出∠A+∠B的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠P的度数.
4．（2024八上·宁波开学考）如图， 直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ， 则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与 轴， 轴分别交于 两点，
∴当x=0时y=4，
当y=0时，
解之：x=3，
∴点A（0，4），点B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x轴，
∴点B'的横坐标为3+4=7，纵坐标为3，
∴点B'的坐标为（7，3）.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，据此可求出OA、OB的长；再利用旋转的性质可证得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，据此得到O'A、O'B'的长，同时可推出O'B'∥x轴，即可求出点B'的坐标.
5．（2024八上·宁波开学考）若关于 的不等式组 无解， 则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：x＞3，
由②得：x＜a，
∵此不等式组无解，
∴a≤3.
故答案为：B.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据此不等式组无解（大大小小找不了），可得到a的取值范围.
6．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
7．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
8．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是 上一点， ， 点 是 的中点， 设 的面积分别是 ， 且 ， 则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12，
∵EC=2BE，
∴BE=BC，
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8，
∴S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为：C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线，由此可求出△ABD的面积，即可得到S△ADF+S△ABF的值；由EC=2BE，可推出BE=BC，由此可求出S△ABF+S△BEF的值，据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
9．（2024八上·宁波开学考） 如图， 在三角形纸片 中， ， 折叠该纸片 便点C落 在 边上的点 处， 折叠 与 交于点 ， 若 ， 则折痕 的长度（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 折叠该纸片 便点C落 在 边上的点 处，
∴∠C=∠BDE=90°，CE=DE，BC=BD，
∴ED⊥AB，
∵AD=BD，
∴DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，
∴设DE=x，则AE=2x，AC=CE+AE=x+2x=3x
∴3x=6，
解之：x=2，
∴AE=BE=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质可证得∠C=∠BDE=90°，CE=DE，BC=BD，结合已知条件可推出DE垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得到BE=AE，同时可证得AB=2BC，可求出∠A=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，设DE=x，可表示出AE，AC的长，根据AC的长，可得到x的值，即可求出BE的长.
10．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是射线 上的动点， ， 则当 是直角三角形时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当∠APB=90°时，如图1，
∵OA=OB，
∴PO是AB边上的中线，
∴PO=OB=AB=1，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴△BOP是等边三角形，
∴BP=OP=1，
∴；
当∠ABP=90°时，如图2，
在Rt△BOP中，∠BOP=60°，
∴∠BPO=90°-∠BOP=90°-60°=30°，
∴PO=2BO=2，
在Rt△BOP中，
，
在Rt△ABP中，
；
当∠APB=90°时，如图3，
∵PC是Rt△ABP的边AB上的中线，
∴PO=AO=AB=1，
∵∠AOC=60°，
∴△POA是等边三角形，
∴AP=AO=1，
∴AP的长为或或1.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当∠APB=90°时，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出PO=OB=1，由此可证得△BOP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠ABP=90°时利用直角三角形的两锐角互余可求出∠BPO的度数，同时求出PO的长，利用勾股定理求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠APB=90°时，可求出PO=AO=1，可证得△POA是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AP的长；综上所述可得到符合题意的AP的长.
二、填空题: (本题共 6 小题, 每题 3 分, 共 18 分
11．（2024八上·宁波开学考）将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为，
点向左平移2个单位即可落在轴上，
故答案为：．
【分析】根据轴对称点特征求出对称点，再根据点坐标的平移规律即可得到解答．
12．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
13．（2024八上·宁波开学考） 已知 满足 ， 则 .
【答案】-7或6
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
由①+②得
x2+2xy+y2+x+2=42，
（x+y）2+（x+y）-42=0
∴（x+y+7）（x+y-6）=0
∴x+y+7=0或x+y-6=0
解之：x+y=-7或x+y=6
故答案为：-7或6.
【分析】由①+②可得到（x+y）2+（x+y）-42=0，将此方程看着关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法求出x+y的值.
14．（2024八上·宁波开学考）如图， ， 点 在 边上， 与 交于点 ， 则 。
【答案】72°
【知识点】三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠EOB=∠AOD，∠A=∠B，∠2=180°-∠A-∠AOD，∠BEA=180°-∠B-∠EOB，
∴∠2=∠BEA=∠1，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中
∴△BED≌△AEC（ASA），
∴∠BDE=∠C，DE=CE，
∴∠EDC=∠C=∠BDE=（180°-∠1）=（180°-36°）=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠2=∠BEA=∠1，由此可推出∠BED=∠AEC，利用ASA可证得△BED≌△AEC，利用全等三角形的性质可得到∠BDE=∠C，DE=CE，然后利用等腰三角形的性质和数据线的内角和定理可求出∠BDE的度数.
15．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
是的中线，，
是的中点，
∴，
∴
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BF=2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=DF，即可根据题意求出AB的长，在由勾股定理计算出AF.
16．（2024八上·宁波开学考）如图， 是边长为 的等腰值角三角形， 分别是 上的点， ， 则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥CD于点M，过点A作AM'⊥AC于点A，使AM'=AM，过点M'作M'H⊥BC于点H，交AM于点G，连接BM'，
∵CD⊥BC，
∴∠AMC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠BAC=45°，
∴四边形ABCM是正方形，
∴AM=AB=AM'=；
∵∠ABC=∠BHG=∠BAM=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴，BH=AG，
∵∠BAM=∠CAM'，
∴∠BAC=∠GAM'=45°，
∴△AGM'是等腰直角三角形，
∴AG=M'G，
∵AG2+M'G2=AM'2=2
解之：AG=MG=BH=1，
∴；
在△AM'E和△CFB中，
∴△AM'E≌△CFB（SAS）
∴M'E=BF，
∵M'E+BE≥BM'
∴BF+BE≥BM'即（BF+BE）2≥BM'2
要使BF+BE的值最小，则点M'、E、B在同一直线上，
在Rt△M'HB中
∴ 的最小值为
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥CD于点M，过点A作AM'⊥AC于点A，使AM'=AM，过点M'作M'H⊥BC于点H，交AM于点G，连接BM'，利用有三个角是直角的四边形是矩形，利用等腰直角三角形的性质可证得AB=BC，∠BAC=45°，由此可推出四边形ABCM是正方形，可得到AM'的长；再证明四边形ABHG是矩形，可求出GH的长，同时可证得BH=AG，易证△AGM'是等腰直角三角形，可知AG=M'G，利用勾股定理求出AG，GM'，BH的长，同时可得到M'H的长；利用SAS可证得△AM'E≌△CFB，利用全等三角形的性质可证得M'E=BF，利用三角形三边关系定理可得到BF+BE≥BM'，要使BF+BE的值最小，则点M'、E、B在同一直线上；然后利用勾股定理求出BM2，即可得到 的最小值.
三、解答题（共 52 分，17、18每题 6 分，19、20每题 8 分， 21 题 10 分， 22 题 14 分）
17．（2024八上·宁波开学考）解分式方程和不等式组
（1）
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按解分式方程步骤，先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，并检验；
（2）先分别解出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
18．（2024八上·宁波开学考） 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中， 若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错 点）上，近的三角形称为格点三角形.
（1）请在图甲中作一个格点三角形， 使 是一个面积为 2 的等腰三角形.
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺， 作出 的平分线（保留作图痕迹）.
【答案】（1）解：如图
∵S△ABC=×2×2=2，
∴△ABC就是所求作的三角形
（2）解：如图
连接AC，
∵，BC=5，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴BD就是所求作的图形
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式，可知底边和底边上的高都为2，画出△ABC即可.
（2）易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质，可作出∠ABC的角平分线BD.
19．（2024八上·宁波开学考）如图是某商品的商标， 是线段 的交点，且 ，小波认为图中的两个三角形全等， 他的思考过程是：
在 和
你认为小波的思考过程对吗 如果正确， 指出他用的是哪一个判定条件，如果不正确，写出你的思考过程。
【答案】解：小波的思考过程不正确，AC和BD不是△ABO和△DCO的边.
如图，连接BC，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D，
在△ABO和△DCO中
∴△ABO≌△DCO（AAS）
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定，可作出判断；连接BC，图形中隐含了公共边BC=CB，利用SSS可证得△ABC≌△DCB，利用全等三角形的性质可推出∠A=∠D；然后利用AAS可证得△ABO≌△DCO.
20．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ，
（1）求 的面积；
（2）求经过点 且平分 面积的直线解析式.
【答案】（1）解：∵ 直线 上有一点 ， 其横坐标为 1 ，
∴y=2，
∴点A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面积为3.
（2）解：如图，设直线l交AO于点Q，
∵ 经过点P且平分△AOP的面积，
∴
解之：yQ=±1，
∵点Q在第一象限，
∴yQ=1，
当y=1时2x=1，
解之：
∴点Q
设直线PQ的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线PQ的函数解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOP的面积.
（2）设直线l交AO于点Q，利用经过点P且平分△AOP的面积，可求出△POQ的面积，利用三角形的面积公式求出点Q的纵坐标，由此可得到点Q的横坐标，即可得到点Q的坐标，设设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P、Q的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线PQ的函数解析式.
21．（2024八上·宁波开学考）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．
（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．
（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．
【答案】（1）解：设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据" 800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍 "列出分式方程求解即可；
（2）设购进A种水杯x个，根据“ 超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元 ”列出不等式组，解到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，再根据一次函数的性质即可解答．
（1）设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，
根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
22．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，
（1）若，判断的形状．
（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．
（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．
【答案】（1）解：∵
∴，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）或或或
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解析】（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
【分析】（1）根据A、C、D三点的坐标，先求出的长，再根据勾股定理逆定理即可 判断是直角三角形 ；
（2）过点作轴，由（1）的结论，若， 则可判断出，由全等三角形的性质即可求出点的坐标；
（3） 若为等腰三角形，可分为：BC=BE、BC=CE、BE=CE三种情况，分别求解即可.
（4）过点作轴，先证明，由全等的性质，再证明根，由全等三角形的性质得，由线段的和差关系即可写出与的数量关系．
（1）解：由题意可得：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
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