浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·东阳开学考）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
解得，x≥3.
故答案为：D .
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式：x-3≥0，解这个不等式即可求解.
2．（2024九上·东阳开学考）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、不是中心对称图形也不是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
3．（2024九上·东阳开学考）下列各式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意；
B．，故B选项计算错误，不符合题意；
C．，故C选项计算错误，不符合题意；
D．，故D选项计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行计算，即可求解.
4．（2024九上·东阳开学考）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，
故答案为：B.
【分析】根据反证法步骤：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定；则先假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
5．（2024九上·东阳开学考）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：将写为顶点式的形式得：，
∴当时，取最大值，
∴要想获得最大利润，则销售单价为元，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将改写成顶点式的形式即可得到答案．
6．（2024九上·东阳开学考）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不符合题意；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不符合题意；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C符合题意；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由a=1＞0，故抛物线开口向上；由=，故抛物线的对称轴为直线x=；当x=0时，y=x2﹣x=0，故抛物线经过原点；根据抛物线的开口方向，对称轴直线，判断出当x＞ 时，y随x值的增大而增大。
7．（2024九上·东阳开学考）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可得，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例.先证明四边形为平行四边形，则得到，然后利用平行线分线段成比例，由，得到，然后利用比例性质得到，进而可得到的长．
8．（2024九上·东阳开学考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
9．（2024九上·东阳开学考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
10．（2024九上·东阳开学考）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
11．（2024九上·东阳开学考）在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是 ．
【答案】（3，﹣1）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【分析】根据关于原点对称的点，其横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求解.
12．（2024九上·东阳开学考）若，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
13．（2024九上·东阳开学考）已知某组数据的方差为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10，
所以这组数据的平均数为，即的值为
故答案为：6．
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差可得这组数据为3、4、7、10，再根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可求解.
14．（2024九上·东阳开学考）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，在函数的图象上，
，，
故答案为：．
【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征 .先把三个点的坐标依次代入反比例函数的解析式，据此可求出、、的值，再将三个值进行比较，可判断它们的大小．
15．（2024九上·东阳开学考）如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，过点作于，如图所示：
设，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
解得：，
，
故答案为：3.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用.在上截取，连接，，过点作于，设.已知四边形为正方形 ，利用正方形的性质可推出，，利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可推出：，，，利用角的运算可得：，再利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可得：，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可求出CE的长．
16．（2024九上·东阳开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 解：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
代入解析式得：
，
解得：，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x2+3x+3，即可判断出①正确，根据抛物线的对称轴和增减性即可得出②错误，再解一元二次方程，即可得出③正确，根据二次函数与不等式的关系即可判定④正确．
17．（2024九上·东阳开学考）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式，
，
；
（2）分解因式得：
所以或
解得：，
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的运算法则进行化简，再进行计算即可求解；
（2）方程利用因式分解法得到原方程为，进而即可求出解．
18．（2024九上·东阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
19．（2024九上·东阳开学考）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆
芳芳 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分．
（2）请你计算芳芳的总评成绩．
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：（分），
故芳芳的总评成绩为分；
（3）解：不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，
理由如下：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：；；.
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求出答案；
（2）根据加权平均数是指将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数进行计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图可得小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，即可得出不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
（1）解：七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：，，；
（2）（分），
答：芳芳的总评成绩为分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
20．（2024九上·东阳开学考）在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ADB与△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD=DE.
（2）解：∵△ADB≌△ADE，
∴AE=AB=12，
∴EC=AC-AE=8．
∵M是BC的中点，BD=DE，
∴DM是△BCE的中位线，
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BAD=∠DAE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可得△ADB≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等的即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出AE=AB=12，求出EC=AC-AE=8，根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
21．（2024九上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
22．（2024九上·东阳开学考）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
【答案】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
故2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）
解：①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
【分析】（1）设年至年日租金的平均增长率为，根据题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据“每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数”可得每辆汽车的日租金为元，根据“实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数”可得实际能租出辆；
②根据日收益总租金各类费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解.
（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
23．（2024九上·东阳开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
24．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
1 / 1浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·东阳开学考）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·东阳开学考）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
3．（2024九上·东阳开学考）下列各式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024九上·东阳开学考）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
5．（2024九上·东阳开学考）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
6．（2024九上·东阳开学考）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
7．（2024九上·东阳开学考）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·东阳开学考）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
9．（2024九上·东阳开学考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
10．（2024九上·东阳开学考）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·东阳开学考）在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是 ．
12．（2024九上·东阳开学考）若，则的值为 ．
13．（2024九上·东阳开学考）已知某组数据的方差为，则的值为 ．
14．（2024九上·东阳开学考）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
15．（2024九上·东阳开学考）如图，在正方形中，点E，F分别在的延长线上，连接，与交于点G．已知，．，则 ．
16．（2024九上·东阳开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．
17．（2024九上·东阳开学考）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2024九上·东阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
19．（2024九上·东阳开学考）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆
芳芳 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分．
（2）请你计算芳芳的总评成绩．
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
20．（2024九上·东阳开学考）在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，．
（1）求证：；
（2）求的长．
21．（2024九上·东阳开学考）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
22．（2024九上·东阳开学考）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
23．（2024九上·东阳开学考）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
24．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
解得，x≥3.
故答案为：D .
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式：x-3≥0，解这个不等式即可求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、不是中心对称图形也不是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意；
B．，故B选项计算错误，不符合题意；
C．，故C选项计算错误，不符合题意；
D．，故D选项计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行计算，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，
故答案为：B.
【分析】根据反证法步骤：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定；则先假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：将写为顶点式的形式得：，
∴当时，取最大值，
∴要想获得最大利润，则销售单价为元，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将改写成顶点式的形式即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不符合题意；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不符合题意；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C符合题意；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由a=1＞0，故抛物线开口向上；由=，故抛物线的对称轴为直线x=；当x=0时，y=x2﹣x=0，故抛物线经过原点；根据抛物线的开口方向，对称轴直线，判断出当x＞ 时，y随x值的增大而增大。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可得，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线分线段成比例.先证明四边形为平行四边形，则得到，然后利用平行线分线段成比例，由，得到，然后利用比例性质得到，进而可得到的长．
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
∵
∴，
又∵，
故，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，根据矩形的对边相等和反比例函数上点的特征可得，，，根据反比例函数系数k的几何意义可得，，代入求出，即得出，即可求得．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
11．【答案】（3，﹣1）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【分析】根据关于原点对称的点，其横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求解.
12．【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10，
所以这组数据的平均数为，即的值为
故答案为：6．
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差可得这组数据为3、4、7、10，再根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可求解.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，，在函数的图象上，
，，
故答案为：．
【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征 .先把三个点的坐标依次代入反比例函数的解析式，据此可求出、、的值，再将三个值进行比较，可判断它们的大小．
15．【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，过点作于，如图所示：
设，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
解得：，
，
故答案为：3.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用.在上截取，连接，，过点作于，设.已知四边形为正方形 ，利用正方形的性质可推出，，利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可推出：，，，利用角的运算可得：，再利用"SAS"可证明， 利用全等三角形的性质可得：，在中，根据勾股定理列出方程，解方程可求出CE的长．
16．【答案】①③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 解：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
代入解析式得：
，
解得：，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x2+3x+3，即可判断出①正确，根据抛物线的对称轴和增减性即可得出②错误，再解一元二次方程，即可得出③正确，根据二次函数与不等式的关系即可判定④正确．
17．【答案】解：（1）原式，
，
；
（2）分解因式得：
所以或
解得：，
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的运算法则进行化简，再进行计算即可求解；
（2）方程利用因式分解法得到原方程为，进而即可求出解．
18．【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
19．【答案】（1）；；
（2）解：（分），
故芳芳的总评成绩为分；
（3）解：不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，
理由如下：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：；；.
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数即可求出答案；
（2）根据加权平均数是指将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数进行计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图可得小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，即可得出不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
（1）解：七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是（分）；
故答案为：，，；
（2）（分），
答：芳芳的总评成绩为分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为圆圆分、芳芳分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
20．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ADB与△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD=DE.
（2）解：∵△ADB≌△ADE，
∴AE=AB=12，
∴EC=AC-AE=8．
∵M是BC的中点，BD=DE，
∴DM是△BCE的中位线，
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BAD=∠DAE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可得△ADB≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等的即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出AE=AB=12，求出EC=AC-AE=8，根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
21．【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
22．【答案】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
故2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）
解：①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
【分析】（1）设年至年日租金的平均增长率为，根据题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据“每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数”可得每辆汽车的日租金为元，根据“实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数”可得实际能租出辆；
②根据日收益总租金各类费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解.
（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
23．【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得AC=10，
①如图1，当E、F相遇前，连接，
∴GH=EF，
∵ G，H分别是，中点， 四边形ABCD是矩形，
∴AG=BH，AG∥BH，∠BAG=90°，
∴四边形是矩形，
∵AB=6，
∴，
∵，
∴t+6+t=10，
解得：；
②如图2，当E、F相遇后，连接，
同理，，
∴t+t=10+6，
解得：；
综上所述，若四边形为矩形，则或
（3）解：如图3，分别取、的中点为M、N，连接，，，与交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，AB=6，
∴，AD=BC=8，CD=AB=6，∠D=90°，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，
∵M是AD中点，AD=8，
∴AM=4，
∴，
根据题意，得MG=t，
∴，
∴当时，四边形为菱形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
24．【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
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