四川省绵阳市梓潼县五校联考2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·梓潼开学考）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
A．6x﹣2z＝5y+3 B．＝5
C．x2﹣3y＝1 D．x＝2y
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故A选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故B选项不符合题意；
C、未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故C选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据只含有2个未知数，且未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐项分析即可求解.
2．（2024八上·梓潼开学考）下面调查中，适合采用普查方式的是（ ）
A．今天班上有几名同学打扫教室
B．某品牌的大米在市场上的占有率
C．某款汽车每百公里的耗油量
D．春节晚会的收视率
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．今天班上有几名同学打扫教室，适合全面调查，符合题意；
B．某品牌的大米在市场上的占有率，适合抽样调查，不符合题意；
C．某款汽车每百公里的耗油量，适合抽样调查，不符合题意；
D．春节晚会的收视率，适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用普查的定义对每个选项一一判断即可。
3．（2024八上·梓潼开学考）下列说法正确的是（ ）
A．0.01是0.1的算术平方根 B．8的立方根是±2
C．是分数 D．﹣1是1的平方根
【答案】D
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、0.1是0.01的算术平方根，故原题说法错误，A选项不符合题意；
B、8的立方根是2，故原题说法错误，B选项不符合题意；
C、是无理数，故原题说法错误，C选项不符合题意；
D、﹣1是1的平方根，故原题说法正确，D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根可判断A选项，根据如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根可判断B选项，根据无理数是无限不循环小数可潘丹C选项，根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根可判断D选项，即可得出答案.
4．（2024八上·梓潼开学考）某市教育局为了解初中学生参加综合实践活动（包括社会调查、社区服务、科技活动、文体活动四类）情况，从全市9万名学生中随机抽取初一、初二、初三年级各500名进行调查，调查结果如图，则下列调查判断：①其中科技活动人数占参加综合实践活动的总人数的；②全市学生中参加文体活动人数约3.24万人；③初一年级参加文体活动人数是初二、初三年级参加社会调查及社区服务人数总和的两倍，其中正确的为 （ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】B
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①参加科技活动所占的百分比为：，故①正确；
②全市参加文体活动的人数约为万人，故②错误；
③初一参加文体活动的人数为（人），
初二、初三参加社会调查及社区服务人数（人），
，故③正确．
故选：B．
【分析】先根据扇形统计图，用1-参加社会调查的百分比社区服务的百分比文体活动的百分比求出参加科技活动所占的百分比，判断①；用9万×科技活动所占的百分比求出全市参加文体活动的人数，判断②；分别计算出初二、初三参加社会调查及社区服务人数与初一参加文体活动的人数，判断③，即可得出答案.
5．（2024八上·梓潼开学考）如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，
∴，
解得﹣1＜a＜3．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】根据第二象限内点的坐标图特征：横坐标是负数，纵坐标是正数，列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围，即可求解.
6．（2024八上·梓潼开学考）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：
．
故答案为：A．
【分析】根据羊价不变建立方程组可解答。
7．（2024八上·梓潼开学考）如图，直线AB、CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，结合图即可求解.
8．（2024八上·梓潼开学考）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原选项错误，不符合题意；
B．，计算正确，符合题意；
C．，原选项错误，不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根可得出，判断A选项错误，根据二次根式的性质：可判断B选项正确，根据如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根可得出，判断C选项错误，根据二次根式的加法运算法则即可判断D选项错误.
9．（2024八上·梓潼开学考）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设型有个，则型有个，
∴，
解得，，
∴型购买个，型购买个；型购买个，型购买个；型购买个，型购买个，共3中方案，
故选：B ．
【分析】设型有个，则型有个，根据“ A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元”可得，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
10．（2024八上·梓潼开学考）若该不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组，
由①得：x＞2，
由②得：x≤a，
∵不等式组无解，
∴a≤2.
故答案为：C。
【分析】首先分别解两个不等式，求得它们的解集，然后根据该不等式组无解，即可求得a的取值范围。
11．（2024八上·梓潼开学考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的伴随点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标周期变化，周期为4，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先分别计算出，，，，的坐标，得出坐标的周期为4，即可求解.
12．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
13．（2024八上·梓潼开学考）小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元．设x个月后小丽至少有1080元，则根据题意可列不等式为 ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得
．
故答案为：.
【分析】根据“已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元”列出不等式，即可求解.
14．（2024八上·梓潼开学考）平面直角坐标内，已知点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∴根据可得，
∴，
∵点P在第二象限，
∴点P的符号为，
故点P的坐标为，
故答案为： ．
【分析】根据点到x轴的距离是，点到y轴的距离是，结合第二象限内点的坐标特征为，即可求解.
15．（2024八上·梓潼开学考）实数的平方根是 ．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：实数的平方根是，
故答案为：．
【分析】根据如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根可求出的平方根是，即可求解.
16．（2024八上·梓潼开学考）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，A岛在C岛北偏西，从A岛看B，C两岛的视角是 度．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；方位角
【解析】【解答】解：∵A岛在B岛的北偏东方向，即，
∵C岛在B岛的北偏东方向，即；
∵A岛在C岛北偏西，即，
∴；
在中，，
∴，
故答案为：70．
【分析】根据题意可得，，，根据三角形内角和是180° 求出，求得，根据三角形内角和是180°即可求解.
17．（2024八上·梓潼开学考）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
【答案】80
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】由参赛者E可知，答对一题与答错一题共计得分为4分，
设答对一题可得x分，则答错一题得(4-x)分，
由参赛者A与B可知：答对一题与答错一题差8分，
即x-(4-x)=8，
解得：x＝6，4-x=-2.
∴答对15道题，答错5道题可得分数为：15×6﹣5×2＝80，
故答案为：80.
【分析】根据表格信息分析，如较容易分析的参赛者E，相近情况的参赛者A与B，从而得出每题的答对得分与答错得分进而得出答案．
18．（2024八上·梓潼开学考）已知关于的一元一次不等式组有个整数解，若为整数，则的值为 ．
【答案】，
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
不等式组的解集为，整数解为，，
，
解得：，
则整数的值为，．
故答案为：，．
【分析】先分别求出两个不等式的解，结合不等式组有2个整数解，可得，即可求出a的取值范围，即可求解.
19．（2024八上·梓潼开学考）（1）计算：，
（2）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
，
将不等式的解集在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先分别化简算术平方根，立方根，再根据有理数的减法进行计算即可；
（2）按照解一元一次不等式步骤进行计算，求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可.
20．（2024八上·梓潼开学考）随着我国网络信息技术的不断发展，在课堂中恰当使用信息技术辅助教学是时代提出的新要求，阳谷县为了解初中数学老师对“网络画板”信息技术的掌握情况，对部分初中数学老师进行了调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
掌握情况 非常熟练 比较熟练 不太熟练 基本不会
人数 20 16
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）求表中的值；
（2）求图中表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数；
（3）阳谷县共有初中数学教师350人，若将“非常熟练”和“比较熟练”作为“良好”标准，试估计阳谷县初中数学教师对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师有多少人？
【答案】（1）解：调查的总人数：20÷40%=50（人），
b=50×8%=4，a=50-20-16-4=10，
即a的值为10；
（2）解：，
故表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数为72°；
（3）解：（人），
故对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师有210人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用非常熟练的人数除以非常熟练所占的百分比求出调查的总人数，再根据“基本不会”的百分比求出b，再用总数减去其余部分的人数求出a；（2）用360°乘以“比较熟练”的人数占总数的比即可求出表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数；
（3）用“非常熟练”和“比较熟练”的人数和所占总数的比乘以360°即可求出对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师人数.
21．（2024八上·梓潼开学考）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积．
【答案】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】分别作轴，作轴，结合点A和点B的坐标求出点E和点F的坐标，求出OE、OF、EF、AE、BF的值，根据，进行计算即可求解.
22．（2024八上·梓潼开学考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．
一、周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？
解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得
解之得
答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝．
下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？
二、官兵分布
一千官兵一千布，一官四尺无零数；
四兵才得布一尺，请问官兵多少数？
三、老头买梨
一群老头去赶集，半路买了一堆梨；
一人一个多一个，一人两个少两梨．
请问君子知道否，几个老头几个梨？
关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！）
【答案】二、解：设官兵各有x人，y人．根据题意，得
，
解得.
故有200名军官，800名士兵；
三、解：设有x个老头，y个梨．根据题意，得
，
解得.
故有3个老头，4个梨．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
23．（2024八上·梓潼开学考）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【答案】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，依题意，得：，
解得：．
故改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，
依题意，得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4．
故共有3种改造方案．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元”可得x+2y=200，根据“改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”可得2x+y=175，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出答案；
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6-m）条B类生产线，根据“该公司自筹的改造资金不超过320万元”可得（50-10）m+（75-15）（6-m）≤320，根据“国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元”可得10m+15（6-m）≥70，列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．
24．（2024八上·梓潼开学考）在直角坐标系中，已知点A，B的坐标是（a，0），（b，0）．a，b满足方程组，C为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由方程组，
解得，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，
∴，解得：OC=3
∴C（0，3）．
（2）存在．
理由：∵P（t，t），且△PAB=S△ABC ，
∴，
解得t=±1，
∴P（1，1）或（﹣1，﹣1）．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；三角形的面积；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先解方程组求出a和b的值，即可得出点A，B的坐标，根据S△ABC=6，即可求出点C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式和题意即可列出方程，解方程求出t的值，即可求解.
1 / 1四川省绵阳市梓潼县五校联考2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·梓潼开学考）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
A．6x﹣2z＝5y+3 B．＝5
C．x2﹣3y＝1 D．x＝2y
2．（2024八上·梓潼开学考）下面调查中，适合采用普查方式的是（ ）
A．今天班上有几名同学打扫教室
B．某品牌的大米在市场上的占有率
C．某款汽车每百公里的耗油量
D．春节晚会的收视率
3．（2024八上·梓潼开学考）下列说法正确的是（ ）
A．0.01是0.1的算术平方根 B．8的立方根是±2
C．是分数 D．﹣1是1的平方根
4．（2024八上·梓潼开学考）某市教育局为了解初中学生参加综合实践活动（包括社会调查、社区服务、科技活动、文体活动四类）情况，从全市9万名学生中随机抽取初一、初二、初三年级各500名进行调查，调查结果如图，则下列调查判断：①其中科技活动人数占参加综合实践活动的总人数的；②全市学生中参加文体活动人数约3.24万人；③初一年级参加文体活动人数是初二、初三年级参加社会调查及社区服务人数总和的两倍，其中正确的为 （ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
5．（2024八上·梓潼开学考）如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·梓潼开学考）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·梓潼开学考）如图，直线AB、CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
8．（2024八上·梓潼开学考）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·梓潼开学考）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（2024八上·梓潼开学考）若该不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·梓潼开学考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
13．（2024八上·梓潼开学考）小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元．设x个月后小丽至少有1080元，则根据题意可列不等式为 ．
14．（2024八上·梓潼开学考）平面直角坐标内，已知点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则P的坐标为 ．
15．（2024八上·梓潼开学考）实数的平方根是 ．
16．（2024八上·梓潼开学考）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，A岛在C岛北偏西，从A岛看B，C两岛的视角是 度．
17．（2024八上·梓潼开学考）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5个参赛者的得分情况．在此次竞赛中，有一位参赛者答对15道题，答错5道题，则他的得分是 ．
参赛 答对题数 答错题数 得分
A 19 1 112
B 18 2 104
C 17 3 96
D 12 8 56
E 10 10 40
18．（2024八上·梓潼开学考）已知关于的一元一次不等式组有个整数解，若为整数，则的值为 ．
19．（2024八上·梓潼开学考）（1）计算：，
（2）解不等式，并在数轴上表示解集．
20．（2024八上·梓潼开学考）随着我国网络信息技术的不断发展，在课堂中恰当使用信息技术辅助教学是时代提出的新要求，阳谷县为了解初中数学老师对“网络画板”信息技术的掌握情况，对部分初中数学老师进行了调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
掌握情况 非常熟练 比较熟练 不太熟练 基本不会
人数 20 16
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）求表中的值；
（2）求图中表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数；
（3）阳谷县共有初中数学教师350人，若将“非常熟练”和“比较熟练”作为“良好”标准，试估计阳谷县初中数学教师对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师有多少人？
21．（2024八上·梓潼开学考）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积．
22．（2024八上·梓潼开学考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．
一、周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？
解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得
解之得
答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝．
下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？
二、官兵分布
一千官兵一千布，一官四尺无零数；
四兵才得布一尺，请问官兵多少数？
三、老头买梨
一群老头去赶集，半路买了一堆梨；
一人一个多一个，一人两个少两梨．
请问君子知道否，几个老头几个梨？
关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！）
23．（2024八上·梓潼开学考）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
24．（2024八上·梓潼开学考）在直角坐标系中，已知点A，B的坐标是（a，0），（b，0）．a，b满足方程组，C为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故A选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故B选项不符合题意；
C、未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故C选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据只含有2个未知数，且未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐项分析即可求解.
2．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．今天班上有几名同学打扫教室，适合全面调查，符合题意；
B．某品牌的大米在市场上的占有率，适合抽样调查，不符合题意；
C．某款汽车每百公里的耗油量，适合抽样调查，不符合题意；
D．春节晚会的收视率，适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用普查的定义对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、0.1是0.01的算术平方根，故原题说法错误，A选项不符合题意；
B、8的立方根是2，故原题说法错误，B选项不符合题意；
C、是无理数，故原题说法错误，C选项不符合题意；
D、﹣1是1的平方根，故原题说法正确，D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根可判断A选项，根据如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根可判断B选项，根据无理数是无限不循环小数可潘丹C选项，根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根可判断D选项，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①参加科技活动所占的百分比为：，故①正确；
②全市参加文体活动的人数约为万人，故②错误；
③初一参加文体活动的人数为（人），
初二、初三参加社会调查及社区服务人数（人），
，故③正确．
故选：B．
【分析】先根据扇形统计图，用1-参加社会调查的百分比社区服务的百分比文体活动的百分比求出参加科技活动所占的百分比，判断①；用9万×科技活动所占的百分比求出全市参加文体活动的人数，判断②；分别计算出初二、初三参加社会调查及社区服务人数与初一参加文体活动的人数，判断③，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，
∴，
解得﹣1＜a＜3．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】根据第二象限内点的坐标图特征：横坐标是负数，纵坐标是正数，列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：
．
故答案为：A．
【分析】根据羊价不变建立方程组可解答。
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，结合图即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原选项错误，不符合题意；
B．，计算正确，符合题意；
C．，原选项错误，不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根可得出，判断A选项错误，根据二次根式的性质：可判断B选项正确，根据如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根可得出，判断C选项错误，根据二次根式的加法运算法则即可判断D选项错误.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设型有个，则型有个，
∴，
解得，，
∴型购买个，型购买个；型购买个，型购买个；型购买个，型购买个，共3中方案，
故选：B ．
【分析】设型有个，则型有个，根据“ A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元”可得，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组，
由①得：x＞2，
由②得：x≤a，
∵不等式组无解，
∴a≤2.
故答案为：C。
【分析】首先分别解两个不等式，求得它们的解集，然后根据该不等式组无解，即可求得a的取值范围。
11．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的伴随点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标周期变化，周期为4，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先分别计算出，，，，的坐标，得出坐标的周期为4，即可求解.
12．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
13．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得
．
故答案为：.
【分析】根据“已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元”列出不等式，即可求解.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∴根据可得，
∴，
∵点P在第二象限，
∴点P的符号为，
故点P的坐标为，
故答案为： ．
【分析】根据点到x轴的距离是，点到y轴的距离是，结合第二象限内点的坐标特征为，即可求解.
15．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：实数的平方根是，
故答案为：．
【分析】根据如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根可求出的平方根是，即可求解.
16．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；方位角
【解析】【解答】解：∵A岛在B岛的北偏东方向，即，
∵C岛在B岛的北偏东方向，即；
∵A岛在C岛北偏西，即，
∴；
在中，，
∴，
故答案为：70．
【分析】根据题意可得，，，根据三角形内角和是180° 求出，求得，根据三角形内角和是180°即可求解.
17．【答案】80
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】由参赛者E可知，答对一题与答错一题共计得分为4分，
设答对一题可得x分，则答错一题得(4-x)分，
由参赛者A与B可知：答对一题与答错一题差8分，
即x-(4-x)=8，
解得：x＝6，4-x=-2.
∴答对15道题，答错5道题可得分数为：15×6﹣5×2＝80，
故答案为：80.
【分析】根据表格信息分析，如较容易分析的参赛者E，相近情况的参赛者A与B，从而得出每题的答对得分与答错得分进而得出答案．
18．【答案】，
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
不等式组的解集为，整数解为，，
，
解得：，
则整数的值为，．
故答案为：，．
【分析】先分别求出两个不等式的解，结合不等式组有2个整数解，可得，即可求出a的取值范围，即可求解.
19．【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
，
将不等式的解集在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先分别化简算术平方根，立方根，再根据有理数的减法进行计算即可；
（2）按照解一元一次不等式步骤进行计算，求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可.
20．【答案】（1）解：调查的总人数：20÷40%=50（人），
b=50×8%=4，a=50-20-16-4=10，
即a的值为10；
（2）解：，
故表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数为72°；
（3）解：（人），
故对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师有210人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用非常熟练的人数除以非常熟练所占的百分比求出调查的总人数，再根据“基本不会”的百分比求出b，再用总数减去其余部分的人数求出a；（2）用360°乘以“比较熟练”的人数占总数的比即可求出表示“比较熟练”的扇形部分的圆心角的度数；
（3）用“非常熟练”和“比较熟练”的人数和所占总数的比乘以360°即可求出对“网络画板”信息技术掌握情况为“良好”的教师人数.
21．【答案】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】分别作轴，作轴，结合点A和点B的坐标求出点E和点F的坐标，求出OE、OF、EF、AE、BF的值，根据，进行计算即可求解.
22．【答案】二、解：设官兵各有x人，y人．根据题意，得
，
解得.
故有200名军官，800名士兵；
三、解：设有x个老头，y个梨．根据题意，得
，
解得.
故有3个老头，4个梨．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
23．【答案】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，依题意，得：，
解得：．
故改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，
依题意，得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4．
故共有3种改造方案．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元”可得x+2y=200，根据“改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”可得2x+y=175，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出答案；
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6-m）条B类生产线，根据“该公司自筹的改造资金不超过320万元”可得（50-10）m+（75-15）（6-m）≤320，根据“国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元”可得10m+15（6-m）≥70，列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．
24．【答案】解：（1）由方程组，
解得，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，
∴，解得：OC=3
∴C（0，3）．
（2）存在．
理由：∵P（t，t），且△PAB=S△ABC ，
∴，
解得t=±1，
∴P（1，1）或（﹣1，﹣1）．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；三角形的面积；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先解方程组求出a和b的值，即可得出点A，B的坐标，根据S△ABC=6，即可求出点C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式和题意即可列出方程，解方程求出t的值，即可求解.
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