浙江省温州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·温州开学考）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·温州开学考）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温州开学考）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
4．（2024九上·温州开学考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·温州开学考）在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的15名运动员的成绩情况统计如下：
成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数（人） 2 3 2 5 3
则这15名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是（ ）
A．1.70，1.70 B．1.70，1.65 C．1.65，1.65 D．1.65，1.70
6．（2024九上·温州开学考）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.八年级一班在16场比赛中得26分.设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·温州开学考）若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·温州开学考）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
9．（2024九上·温州开学考）已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为（ ）
x … 0 1 …
y … 0 1 2 3 …
A． B． C． D．
10．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024九上·温州开学考）因式分解： .
12．（2024九上·温州开学考）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 cm．
13．（2024九上·温州开学考）一元二次方程有一个根为2，则a的值为 ．
14．（2024九上·温州开学考）不等式组的解为 ．
15．（2024九上·温州开学考）如图，在中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，，的周长为18cm，则的周长为 cm．
16．（2024九上·温州开学考）如图，四边形为菱形，其中，，过作交，于点、，则的长为 ．
17．（2024九上·温州开学考）如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ．
18．（2024九上·温州开学考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为 ．若，则的值为 ．
三、解答题（本题有6个小题，共58分）
19．（2024九上·温州开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
20．（2024九上·温州开学考）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x为在校锻炼时间）：A组：；B组：；C组：；D组：．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）A组的人数是_▲_人，并补全条形统计图；
（2）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？
21．（2024九上·温州开学考）尺规作图问题：如图，直线，点，分别在，上，请在，上分别作点，，使得以，，，为顶点的四边形为菱形．
（1）利用尺规（无刻度的直尺和圆规）作出菱形，并保留作图痕迹．
（2）根据作图过程，将已知条件补充完整，并写出证明过程．
22．（2024九上·温州开学考）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
23．（2024九上·温州开学考）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．
（1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元；
（3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由．
24．（2024九上·温州开学考）如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设．
（1）求AD的值．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ．
①当时，求x的值．
②过D作于点F，作点F关于EQ的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为_▲_（请直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0进行求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3465000000=3.465×109，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减去1.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选B．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法的步骤：（1）将一元二次方程转化为一般形式；（2）将常数项移到方程右边，若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（3）方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）等号左边写成完全平方形式.
根据配方法的步骤进行求解即可.
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为1.70的人数为5人，是最多的，
所以众数是1.70，
将这些成绩按从小到大进行排序后，第8个数即为中位数，
因为 ，
所以第8个数是1.70，
即中位数是1.70，
故答案为：A．
【分析】重点要知道众数和中位数的概念，众数是出现次数最多的数，中位数是按照从大到小或者从小到大的顺序排列，处于最中间的数（如果是偶数时，取最中间两位数的平均数）
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意可得： ，
故答案为：D.
【分析】 设该班胜x场，负y场 ，根据“ 八年级一班在16场比赛中得26分.”列出方程组即可.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数的图象在一、三各象限内，随的增大而减小，
∵点，，都在反比例的图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，随的增大而减小，结合三个点的横坐标，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意，得∠CAO=∠DBO=∠AOF=∠BOF=90°，∠COF=∠DOF，
∴∠AOC=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，
∴∠AOC=∠BOD，
∴，
∴，
∵CA=1.6，OA=2.4，OB=6，
∴，
解得：BD=4，
∴树高4m，
故答案为：A.
【分析】易证，根据相似三角形对应边成比例得，从而求出BD的长即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据表格可知当x=-2时，y=0，
∴当x>-2时，y>0，
∴关于x的不等式ax+b>0的解集为x>-2，
故答案为：C.
【分析】观察表格中的数据得x=-2时，y=0，从而得当x>-2时，y>0，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
12．【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∵a=2，b=8，
∴，
解得：c=4或c=-4（舍去），
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的定义得，从而解出c=4或c=-4（舍去），即可求解.
13．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得：a=1，
故答案为：1.
【分析】将根代入方程得关于a的方程，解方程求出a的值即可.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得x>4，
解不等式②，得x≤5，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：.
【分析】根据一元一次不等式组的解法进行求解即可.
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，
∴的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC，
∵的周长为AB+BC+AC=18，AB=8，
∴BC+AC=10，
∴的周长为10cm，
故答案为：10.
【分析】根据垂直平分线的性质得BD=AD，从而有的周长为BC+AC，由的周长为18，AB=8，得BC+AB=10，即可求解.
16．【答案】4.8
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的对角线垂直且得出，，根据菱形的对角线互相垂直得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得，即可代入求出的长.
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，轴，
由题意可知，，，
∵的面积为4，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意可得点C的横坐标是2，点A的纵坐标是2，代入求出，，利用的面积为4，得到，解方程求出k的值即可.
18．【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵x2-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由零指数幂、立方根、绝对值进行化简，然后进行加减运算；
（2）利用”因式分解法“解一元二次方程.
20．【答案】（1）解：50，补全条形统计图如下：
（2）解：由题意可得， (人），
估计该地区10000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约为5600人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）60÷24%=250（名），
∴A组的人数为250×（1-24%-48%-8%）=50（名），
故答案为：50.
【分析】（1）根据B组的人数及所占百分比求出总人数，从而求出A组的人数，进而补全条形统计图；
（2）用样本估计总体，用样本中符合条件的百分比乘总人数10000即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形，
（2）已知直线，，
证明：∵直线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边都相等进行作图即可；
（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形，
；
（2）解：已知直线，，
∵直线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
22．【答案】（1）解：∵点A（-2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上，
∴k=-2a=a+9，
解得：a=-3，
∴k=-2a=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=6，
∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜6；
（3）解：由（1）可得，A（-2，-3），B（6，1），
设直线AB的解析式为，
将A（-2，-3），B（6，1），代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当，，
故，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-2a=a+9，解得a=-3，求出k=6，即可求解；（1）根据反比例函数的性质得出当x＞0时，y随x的增大而减小，结合x的取值范围即可求解；
（3）由（1）得出点A和点B的坐标，待定系数法求直线AB的解析式为，求出直线AB与y轴的交点C的坐标，根据三角形面积公式即可求解.
23．【答案】（1）
（2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，
由题意得：，
解得：，，
（元），
（元），
故当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元
（3）解：不能，理由如下，设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，
由题意得：，
整理得：，
，
∴方程无解，
∴该商场每天所获得的利润不能达到元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒，∴售价每盒下降元，则每天能售出盒，
故答案为： ；
【分析】（1）根据“每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可；
（2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，根据“售价×销量=总价”列出方程，解方程求出x的值即可；
（3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，根据“售价×销量=总价”列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，即可求解.
（1）解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒，
∴售价每盒下降元，则每天能售出盒，
故答案为： ；
（2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，
由题意得：，
解得：，，
（元），
（元），
答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元；
（3）解：不能，理由如下，
设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，
由题意得：，
整理得：，
，
∴方程无解，
∴该商场每天所获得的利润不能达到元．
24．【答案】（1）解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵P、Q两点同时出发，同时到达终点，
∴，
∵BQ=x，，BC=3，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵AP=y，
∴y关于x的函数表达式为：
（3）解：①如图，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠CEP=90°，
∵AB=5，BC=3，AC=4，，
∴，，
∴CE=AC-AE=4-（x+1）=3-x，
∵BQ=x，BC=3，
∴CQ=BC-BQ=3-x，
∴CE=CQ，
∵∠C=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，∠CEQ=45°，
又∵∠CEP=90°，
∴∠PEQ=45°，
∵PQ⊥EQ，
∴∠EQP=90°，
∴∠EPQ=∠PEQ=45°，
∴EQ=PQ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴x的值为；
②.
【知识点】轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
1 / 1浙江省温州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·温州开学考）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0进行求解.
2．（2024九上·温州开学考）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3465000000=3.465×109，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减去1.
3．（2024九上·温州开学考）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选B．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
4．（2024九上·温州开学考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法的步骤：（1）将一元二次方程转化为一般形式；（2）将常数项移到方程右边，若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（3）方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）等号左边写成完全平方形式.
根据配方法的步骤进行求解即可.
5．（2024九上·温州开学考）在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的15名运动员的成绩情况统计如下：
成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数（人） 2 3 2 5 3
则这15名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是（ ）
A．1.70，1.70 B．1.70，1.65 C．1.65，1.65 D．1.65，1.70
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为1.70的人数为5人，是最多的，
所以众数是1.70，
将这些成绩按从小到大进行排序后，第8个数即为中位数，
因为 ，
所以第8个数是1.70，
即中位数是1.70，
故答案为：A．
【分析】重点要知道众数和中位数的概念，众数是出现次数最多的数，中位数是按照从大到小或者从小到大的顺序排列，处于最中间的数（如果是偶数时，取最中间两位数的平均数）
6．（2024九上·温州开学考）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.八年级一班在16场比赛中得26分.设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意可得： ，
故答案为：D.
【分析】 设该班胜x场，负y场 ，根据“ 八年级一班在16场比赛中得26分.”列出方程组即可.
7．（2024九上·温州开学考）若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数的图象在一、三各象限内，随的增大而减小，
∵点，，都在反比例的图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，随的增大而减小，结合三个点的横坐标，即可求解.
8．（2024九上·温州开学考）如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意，得∠CAO=∠DBO=∠AOF=∠BOF=90°，∠COF=∠DOF，
∴∠AOC=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，
∴∠AOC=∠BOD，
∴，
∴，
∵CA=1.6，OA=2.4，OB=6，
∴，
解得：BD=4，
∴树高4m，
故答案为：A.
【分析】易证，根据相似三角形对应边成比例得，从而求出BD的长即可.
9．（2024九上·温州开学考）已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为（ ）
x … 0 1 …
y … 0 1 2 3 …
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据表格可知当x=-2时，y=0，
∴当x>-2时，y>0，
∴关于x的不等式ax+b>0的解集为x>-2，
故答案为：C.
【分析】观察表格中的数据得x=-2时，y=0，从而得当x>-2时，y>0，即可求解.
10．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024九上·温州开学考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
12．（2024九上·温州开学考）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 cm．
【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∵a=2，b=8，
∴，
解得：c=4或c=-4（舍去），
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的定义得，从而解出c=4或c=-4（舍去），即可求解.
13．（2024九上·温州开学考）一元二次方程有一个根为2，则a的值为 ．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得：a=1，
故答案为：1.
【分析】将根代入方程得关于a的方程，解方程求出a的值即可.
14．（2024九上·温州开学考）不等式组的解为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得x>4，
解不等式②，得x≤5，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：.
【分析】根据一元一次不等式组的解法进行求解即可.
15．（2024九上·温州开学考）如图，在中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，，的周长为18cm，则的周长为 cm．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，
∴的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC，
∵的周长为AB+BC+AC=18，AB=8，
∴BC+AC=10，
∴的周长为10cm，
故答案为：10.
【分析】根据垂直平分线的性质得BD=AD，从而有的周长为BC+AC，由的周长为18，AB=8，得BC+AB=10，即可求解.
16．（2024九上·温州开学考）如图，四边形为菱形，其中，，过作交，于点、，则的长为 ．
【答案】4.8
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的对角线垂直且得出，，根据菱形的对角线互相垂直得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得，即可代入求出的长.
17．（2024九上·温州开学考）如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，轴，
由题意可知，，，
∵的面积为4，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意可得点C的横坐标是2，点A的纵坐标是2，代入求出，，利用的面积为4，得到，解方程求出k的值即可.
18．（2024九上·温州开学考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为 ．若，则的值为 ．
【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
三、解答题（本题有6个小题，共58分）
19．（2024九上·温州开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵x2-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由零指数幂、立方根、绝对值进行化简，然后进行加减运算；
（2）利用”因式分解法“解一元二次方程.
20．（2024九上·温州开学考）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x为在校锻炼时间）：A组：；B组：；C组：；D组：．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）A组的人数是_▲_人，并补全条形统计图；
（2）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？
【答案】（1）解：50，补全条形统计图如下：
（2）解：由题意可得， (人），
估计该地区10000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约为5600人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）60÷24%=250（名），
∴A组的人数为250×（1-24%-48%-8%）=50（名），
故答案为：50.
【分析】（1）根据B组的人数及所占百分比求出总人数，从而求出A组的人数，进而补全条形统计图；
（2）用样本估计总体，用样本中符合条件的百分比乘总人数10000即可求解.
21．（2024九上·温州开学考）尺规作图问题：如图，直线，点，分别在，上，请在，上分别作点，，使得以，，，为顶点的四边形为菱形．
（1）利用尺规（无刻度的直尺和圆规）作出菱形，并保留作图痕迹．
（2）根据作图过程，将已知条件补充完整，并写出证明过程．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形，
（2）已知直线，，
证明：∵直线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边都相等进行作图即可；
（2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形，
；
（2）解：已知直线，，
∵直线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
22．（2024九上·温州开学考）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
【答案】（1）解：∵点A（-2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上，
∴k=-2a=a+9，
解得：a=-3，
∴k=-2a=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=6，
∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜6；
（3）解：由（1）可得，A（-2，-3），B（6，1），
设直线AB的解析式为，
将A（-2，-3），B（6，1），代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当，，
故，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-2a=a+9，解得a=-3，求出k=6，即可求解；（1）根据反比例函数的性质得出当x＞0时，y随x的增大而减小，结合x的取值范围即可求解；
（3）由（1）得出点A和点B的坐标，待定系数法求直线AB的解析式为，求出直线AB与y轴的交点C的坐标，根据三角形面积公式即可求解.
23．（2024九上·温州开学考）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．
（1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元；
（3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，
由题意得：，
解得：，，
（元），
（元），
故当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元
（3）解：不能，理由如下，设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，
由题意得：，
整理得：，
，
∴方程无解，
∴该商场每天所获得的利润不能达到元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒，∴售价每盒下降元，则每天能售出盒，
故答案为： ；
【分析】（1）根据“每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可；
（2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，根据“售价×销量=总价”列出方程，解方程求出x的值即可；
（3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，根据“售价×销量=总价”列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，即可求解.
（1）解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒，
∴售价每盒下降元，则每天能售出盒，
故答案为： ；
（2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，
由题意得：，
解得：，，
（元），
（元），
答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元；
（3）解：不能，理由如下，
设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，
由题意得：，
整理得：，
，
∴方程无解，
∴该商场每天所获得的利润不能达到元．
24．（2024九上·温州开学考）如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设．
（1）求AD的值．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ．
①当时，求x的值．
②过D作于点F，作点F关于EQ的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为_▲_（请直接写出答案）．
【答案】（1）解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵P、Q两点同时出发，同时到达终点，
∴，
∵BQ=x，，BC=3，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵AP=y，
∴y关于x的函数表达式为：
（3）解：①如图，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠CEP=90°，
∵AB=5，BC=3，AC=4，，
∴，，
∴CE=AC-AE=4-（x+1）=3-x，
∵BQ=x，BC=3，
∴CQ=BC-BQ=3-x，
∴CE=CQ，
∵∠C=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，∠CEQ=45°，
又∵∠CEP=90°，
∴∠PEQ=45°，
∵PQ⊥EQ，
∴∠EQP=90°，
∴∠EPQ=∠PEQ=45°，
∴EQ=PQ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴x的值为；
②.
【知识点】轴对称的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
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