广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·深圳开学考）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
2．（2024九上·深圳开学考）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，逐项分析即可求解.
3．（2024九上·深圳开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=b2-4ac=（-4）2-4×1×3=4＞0，
∴方程x2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，据此即可求解.
4．（2024九上·深圳开学考）某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天）
甲 1800 两个工程队同时完成工作任务
乙 x 1200
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可知， .
故答案为：A.
【分析】根据两个工程所用时间相同，即可列出方程，即可求解.
5．（2024九上·深圳开学考）如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求出BO=6，AO=3，由三角形周长计算方法可求出AB的长，最后根据平行四边形的对边相等可求出CD的长.
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：解：∵AD为中线，BC=12，
∴，
在Rt△ACD中，，
∵∠ACB=90°，E为AD的中点，
∴，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出CD=6，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AD=10，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出CE=5，根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半得出DF=2.5.
7．（2024九上·深圳开学考）如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的对角线平分对角，对角线互相垂直且平分得出，，，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
8．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a-2b+2c=0，
∴a+2c=2b，，
∵a+2b+2c＞0，
∴4b＞0，
∴b＞0，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据a-2b+2c=0，得出a+2c=2b，，结合a+2b+2c＞0，可得b＞0，再将，代入b2-2ac进行计算即可求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·深圳开学考）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
【答案】20≤y≤25
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵A种菌苗生长的适宜温度x℃的范围是20≤x≤28，B种菌苗生长的适宜温度y℃的范围是19≤y≤25，
∴温箱里的温度z℃应该设定的范围为：20≤z≤25．
故答案为：20≤z≤25.
【分析】根据题意可得：温箱里的温度z℃应该设定的范围是A种菌苗和B种菌苗生长的适宜温度的公共部分，据此求解即可.
10．（2024九上·深圳开学考）已知，是一元二次方程的两个根，则－ ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+1=0的两个根，
故x1+x2=2，x1x2=1，
所以x1+x2-x1x2=2-1=1.
故答案为：1.
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，进行求解即可.
11．（2024九上·深圳开学考）已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 ．
【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）×180°=360°×2，
解得：n=6，
则（6-2）×180°÷6=120°，
即正多边形的每个内角的度数为120°，
故答案为：120°.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和为（n-2） 180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，结合题意列出方程，解方程求出n的值，即可求解.
12．（2024九上·深圳开学考）如图，，平分，于，交于．若，则 ， ．
【答案】10；5
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠CPO=∠AOP，
∴PC=OC，
∵PC=10，
∴OC=PC=10，
过P作PE⊥OA于点E，如图：
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵PC∥OB，∠AOB=30°，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△ECP中，，
∴PD=PE=5，
故答案为：10，5.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠AOP=∠BOP，根据两直线平行，内错角相等得出∠CPO=∠BOP，推得∠CPO=∠AOP，根据等角对等边得出OC=PC=10，过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等得出PD=PE，根据两直线平行，同位角相等得出∠ECP=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出PE=5，即可求解.
13．（2024九上·深圳开学考）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：解：如图，作EF⊥BC交BC于点F，
由题意得：BC=AD=6，
则，，
即，
∴EF=2，
∴点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，
将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，
则△PCP'是等边三角形，
∴PC=PP'，B'P'=BP，
∴当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，
设B'E'交BC于H点，
∵∠BCB'=60°，B'P'⊥BC，B'C=BC=6，
∴∠CB'H=30°，
故，
∴，
∴，
∴PE+PB+PC最小值为.
故答案为：.
【分析】作EF⊥BC交BC于点F，根据矩形的对边相等得出BC=AD=6，根据三角形的面积和矩形的面积求出EF=2，即可得出点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PCP'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出PC=PP'，B'P'=BP，推得当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，设B'E'交BC于H点，根据三角形内角和是180° 求出∠CB'H=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半求出CH=3，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出B'H的值，即可求解.
三、解答题（共61分）
14．（2024九上·深圳开学考）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】解：解不等式得，
．
解不等式得，
，
所以不等式组的解集为：．
正整数解为：1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再判断出不等式组的正整数解.
15．（2024九上·深圳开学考）计算：
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程．．
【答案】（1）解：
；
当时，原式．
（2）解：，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先通分计算括号内异分母分式的加法，并将除式的分子、分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，接着通分计算分式减法得出最简结果，最后代值求解即可；
（2）先在方程两边同时乘以(x-1)(x+2)约去分母，将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可．
（1）解：
；
当时，原式．
（2）解：，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
16．（2024九上·深圳开学考）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
⑴将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；
⑵再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；
⑶在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．
【答案】解：⑴如图，△即为所求；
⑵如图，线段即为所求；
⑶如图，直线即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和单位，分别确定A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可求解；
（2）连接AB1、B1B，将△A1BB绕点顺时针旋转得到△A2B2B1，则 线段；即为所求；
（3）根据格点三角形全等作出垂线，即可.
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
平分，，，
，
平行四边形的周长为48，
，
．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，对角相等得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC，根据两直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠BCA，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，推得∠ADF=∠CBE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）过点E作EN⊥BC于N，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EM=EN=6，根据平行四边形的对边相等得出AB+BC=24，根据三角形的面积公式和S△ABC=S△ACD=S△ABE+S△BCE，即可求解.
18．（2024九上·深圳开学考）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元；
（2）为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
【答案】（1）解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
（2）解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
故当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据“数量总价单价”列出关于的分式方程，解方程即可求解；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据“购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，根据“总费用单价数量”，列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可求解.
19．（2024九上·深圳开学考）根据下列素材，探索完成任务．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 ▲ ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【答案】⑴解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
由图2知，设小正方形的边长为 ，
由题意可得：，
解得：，
体积为，
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
⑵设小长方形的宽为 ，，长为，
由题意可得：，
解得：
小长方形的宽为
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据制作过程可得小正方形的边长为（50-40）÷2=5cm，a=收纳盒的宽+2×小正方形的边长=30+2×5=40cm，设小正方形的边长为xcm，根据“ 储物盒的底面积是 ”列出方程，解方程求出x的值，即可求解；
（2）设小长方形的宽为xcm，（x＜20），长为ycm，根据“②中的的制作方式，盒子的底面积为 ”列出方程组，解方程组求出x和y的值，当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为11＜18，即玩具机械狗不能完全放入该储物．
20．（2024九上·深圳开学考）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程；
（2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
【答案】（1）证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图③，延长到，使，连接、，
，，
△是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
、、三点共线，
，，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：选（1），证明如下：
由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，
如图①，延长到，使，连接，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的应用；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出EM=AM=MN，∠1=∠2，根据等边对等角得出∠3=∠4，根据等边三角形的三个角都是60° 和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠1=∠2=∠5，根据三角形的内角和是180°可推得∠5+∠6=120°，根据∠AMN=180°-（∠5+∠6），即可证明结论；
（2）如图③，延长A1B1到E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形得出△EB1C1是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的底角是45°得出∠N1C1H1=∠B1C1E=45°，根据正方形的四个角都是直角和一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即N1、C1、E三点共线，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△A1B1M1≌△EB1M1，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出EM1=A1M1=M1N1，∠2=∠1，推得∠3=∠4，∠1=∠2=∠5，∠5+∠6=90°，根据∠A1M1N1=180°-（∠5+∠6），计算求解即可证明结论；
（3）选（1），根据等边三角形的三个角都是60°，等边三角形的外角是120°，以及一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，∠ACB=60°=∠ACN，延长AC到D，使CD=CN，连接MD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△MCD≌△MCN，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出MD=MN=AM，∠1=∠2，推得∠2+∠4=60°，∠1+∠3=60°，根据∠AMN=180°-（∠1+∠3+∠2+∠4），计算求解即可证明结论．
1 / 1广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·深圳开学考）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·深圳开学考）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·深圳开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．（2024九上·深圳开学考）某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天）
甲 1800 两个工程队同时完成工作任务
乙 x 1200
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·深圳开学考）如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
7．（2024九上·深圳开学考）如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·深圳开学考）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
10．（2024九上·深圳开学考）已知，是一元二次方程的两个根，则－ ．
11．（2024九上·深圳开学考）已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 ．
12．（2024九上·深圳开学考）如图，，平分，于，交于．若，则 ， ．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ．
三、解答题（共61分）
14．（2024九上·深圳开学考）解不等式组：，并写出它的正整数解．
15．（2024九上·深圳开学考）计算：
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程．．
16．（2024九上·深圳开学考）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
⑴将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；
⑵再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；
⑶在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．
17．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，求的面积．
18．（2024九上·深圳开学考）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元；
（2）为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
19．（2024九上·深圳开学考）根据下列素材，探索完成任务．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 ▲ ．
目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
20．（2024九上·深圳开学考）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程；
（2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，逐项分析即可求解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=b2-4ac=（-4）2-4×1×3=4＞0，
∴方程x2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，据此即可求解.
4．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可知， .
故答案为：A.
【分析】根据两个工程所用时间相同，即可列出方程，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求出BO=6，AO=3，由三角形周长计算方法可求出AB的长，最后根据平行四边形的对边相等可求出CD的长.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：解：∵AD为中线，BC=12，
∴，
在Rt△ACD中，，
∵∠ACB=90°，E为AD的中点，
∴，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出CD=6，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AD=10，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出CE=5，根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半得出DF=2.5.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的对角线平分对角，对角线互相垂直且平分得出，，，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
8．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a-2b+2c=0，
∴a+2c=2b，，
∵a+2b+2c＞0，
∴4b＞0，
∴b＞0，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据a-2b+2c=0，得出a+2c=2b，，结合a+2b+2c＞0，可得b＞0，再将，代入b2-2ac进行计算即可求解.
9．【答案】20≤y≤25
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵A种菌苗生长的适宜温度x℃的范围是20≤x≤28，B种菌苗生长的适宜温度y℃的范围是19≤y≤25，
∴温箱里的温度z℃应该设定的范围为：20≤z≤25．
故答案为：20≤z≤25.
【分析】根据题意可得：温箱里的温度z℃应该设定的范围是A种菌苗和B种菌苗生长的适宜温度的公共部分，据此求解即可.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+1=0的两个根，
故x1+x2=2，x1x2=1，
所以x1+x2-x1x2=2-1=1.
故答案为：1.
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，进行求解即可.
11．【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）×180°=360°×2，
解得：n=6，
则（6-2）×180°÷6=120°，
即正多边形的每个内角的度数为120°，
故答案为：120°.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和为（n-2） 180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，结合题意列出方程，解方程求出n的值，即可求解.
12．【答案】10；5
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠CPO=∠AOP，
∴PC=OC，
∵PC=10，
∴OC=PC=10，
过P作PE⊥OA于点E，如图：
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD=PE，
∵PC∥OB，∠AOB=30°，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△ECP中，，
∴PD=PE=5，
故答案为：10，5.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠AOP=∠BOP，根据两直线平行，内错角相等得出∠CPO=∠BOP，推得∠CPO=∠AOP，根据等角对等边得出OC=PC=10，过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等得出PD=PE，根据两直线平行，同位角相等得出∠ECP=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出PE=5，即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：解：如图，作EF⊥BC交BC于点F，
由题意得：BC=AD=6，
则，，
即，
∴EF=2，
∴点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，
将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，
则△PCP'是等边三角形，
∴PC=PP'，B'P'=BP，
∴当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，
设B'E'交BC于H点，
∵∠BCB'=60°，B'P'⊥BC，B'C=BC=6，
∴∠CB'H=30°，
故，
∴，
∴，
∴PE+PB+PC最小值为.
故答案为：.
【分析】作EF⊥BC交BC于点F，根据矩形的对边相等得出BC=AD=6，根据三角形的面积和矩形的面积求出EF=2，即可得出点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PCP'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出PC=PP'，B'P'=BP，推得当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，设B'E'交BC于H点，根据三角形内角和是180° 求出∠CB'H=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半求出CH=3，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出B'H的值，即可求解.
14．【答案】解：解不等式得，
．
解不等式得，
，
所以不等式组的解集为：．
正整数解为：1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再判断出不等式组的正整数解.
15．【答案】（1）解：
；
当时，原式．
（2）解：，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先通分计算括号内异分母分式的加法，并将除式的分子、分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，接着通分计算分式减法得出最简结果，最后代值求解即可；
（2）先在方程两边同时乘以(x-1)(x+2)约去分母，将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可．
（1）解：
；
当时，原式．
（2）解：，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
16．【答案】解：⑴如图，△即为所求；
⑵如图，线段即为所求；
⑶如图，直线即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和单位，分别确定A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可求解；
（2）连接AB1、B1B，将△A1BB绕点顺时针旋转得到△A2B2B1，则 线段；即为所求；
（3）根据格点三角形全等作出垂线，即可.
17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
平分，，，
，
平行四边形的周长为48，
，
．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，对角相等得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC，根据两直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠BCA，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，推得∠ADF=∠CBE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）过点E作EN⊥BC于N，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EM=EN=6，根据平行四边形的对边相等得出AB+BC=24，根据三角形的面积公式和S△ABC=S△ACD=S△ABE+S△BCE，即可求解.
18．【答案】（1）解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
（2）解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
故当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据“数量总价单价”列出关于的分式方程，解方程即可求解；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据“购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，根据“总费用单价数量”，列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可求解.
19．【答案】⑴解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
由图2知，设小正方形的边长为 ，
由题意可得：，
解得：，
体积为，
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
⑵设小长方形的宽为 ，，长为，
由题意可得：，
解得：
小长方形的宽为
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据制作过程可得小正方形的边长为（50-40）÷2=5cm，a=收纳盒的宽+2×小正方形的边长=30+2×5=40cm，设小正方形的边长为xcm，根据“ 储物盒的底面积是 ”列出方程，解方程求出x的值，即可求解；
（2）设小长方形的宽为xcm，（x＜20），长为ycm，根据“②中的的制作方式，盒子的底面积为 ”列出方程组，解方程组求出x和y的值，当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为11＜18，即玩具机械狗不能完全放入该储物．
20．【答案】（1）证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图③，延长到，使，连接、，
，，
△是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
、、三点共线，
，，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：选（1），证明如下：
由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，
如图①，延长到，使，连接，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的应用；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出EM=AM=MN，∠1=∠2，根据等边对等角得出∠3=∠4，根据等边三角形的三个角都是60° 和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠1=∠2=∠5，根据三角形的内角和是180°可推得∠5+∠6=120°，根据∠AMN=180°-（∠5+∠6），即可证明结论；
（2）如图③，延长A1B1到E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形得出△EB1C1是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的底角是45°得出∠N1C1H1=∠B1C1E=45°，根据正方形的四个角都是直角和一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即N1、C1、E三点共线，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△A1B1M1≌△EB1M1，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出EM1=A1M1=M1N1，∠2=∠1，推得∠3=∠4，∠1=∠2=∠5，∠5+∠6=90°，根据∠A1M1N1=180°-（∠5+∠6），计算求解即可证明结论；
（3）选（1），根据等边三角形的三个角都是60°，等边三角形的外角是120°，以及一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，∠ACB=60°=∠ACN，延长AC到D，使CD=CN，连接MD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△MCD≌△MCN，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出MD=MN=AM，∠1=∠2，推得∠2+∠4=60°，∠1+∠3=60°，根据∠AMN=180°-（∠1+∠3+∠2+∠4），计算求解即可证明结论．
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