江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·丰城开学考）2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由选项可得，只有D选项能找到一条直线，使得这个图形沿着直线对折后能完全重合，
故选：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可求解.
2．（2024八上·丰城开学考）要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A、图中为边上的高，不符合题意；
B、图中不是高，不符合题意；
C、图中为边上的高，符合题意；
D、图中为边上的高，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，逐项分析即可求解.
3．（2024八上·丰城开学考）如图，为的中线，平分，平分，，下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平移的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合题意；
∵BE⊥DE，CF⊥DF，
∴∠BED=∠DFC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠CDF=90°，
∴∠EBD=∠CDF，
∵BD=CD，
∴△BDE≌△DCF，故③符合题意；
∴∠EDB=∠FCD，ED=FC，BE=DF，
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，
∴EF∥BC，故④符合题意．
综上：符合题意的有：①③④．
故选：B．
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，求得，故①符合题意；根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线得出BD=CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合题意；根据等角的余角相等得出∠EBD=∠CDF，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BDE≌△DCF，故③符合题意；△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，可判断④符合题意.
4．（2024八上·丰城开学考）已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，OP=4，
∴∠POA=30，
∴，
故选：A．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PA的值等于点P到射线OM的距离，根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，即PQ=PA，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半即可求解.
5．（2024八上·丰城开学考）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度．
A．60 B．90 C．100 D．105
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得，，，
．
故选：．
【分析】根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和即可求解.
6．（2024八上·丰城开学考）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①∵和都是等边三角形，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ（已证），
∴PC=QC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠BPO=∠APC，∠AOB+∠CBE+∠BPO=∠APC+∠CAD+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°得出BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，推得∠ACD=∠BCE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BE，故①正确；根据全等三角形的对应角相等得出∠CAD=∠CBE，求出∠BCQ=60°，得出∠ACB=∠BCQ=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BQ，故③正确；根据全等三角形的对应边相等得出PC=QC，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PCQ是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出∠CPQ=60°，即∠ACB=∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行即可得出PQ∥AE，故②正确；根据全等三角形的对应角相等得∠DAC=∠EBC，根据三角形内角和是180° 得出∠AOB=∠ACB=60°，故④正确.
7．（2024八上·丰城开学考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据题意可得钉在墙上的方法是构造三角形支架，即可得出这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性.
8．（2024八上·丰城开学考）已知点和关于x轴对称，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】解一元一次方程；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数列出方程，解方程求出a和b的值，再代入计算即可求解.
9．（2024八上·丰城开学考）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
10．（2024八上·丰城开学考）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是： ．
【答案】K62897
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：实际车牌号是K62897．
故答案为：K62897．
【分析】根据镜面对称的性质，可以将看到的写在透明纸上，从反面看到的就是镜面反射的结果，据此即可求解.
11．（2024八上·丰城开学考）如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：点是上一动点，当，，三点共线时，有最小值，
连接交于点，过点作于点，
点坐标为，点坐标为，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据题意推得当，，三点共线时，即有最小值，连接交于点，过点作于点，根据点A和点P的坐标得出AE、EP的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AP的值，即可求解.
12．（2024八上·丰城开学考）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
【答案】40°或90°或140°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【分析】分为三种情况分析：当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，求得∠ABD=∠ABC-∠DBC=20°，根据等边对等角得出∠A=∠ABD=20°，故∠CDB=∠A+∠ABD=40°，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，故∠BDC=90°，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°，根据等边对等角得出∠C=∠DBC=20°，故∠BDC=140°．
13．（2024八上·丰城开学考）（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
【答案】解：（1）、c满足，a为方程的解，
又，，，
，，或（不满足三角形三边关系，舍去），
，，，
的周长；
（2），点B、F、C、E在同一条直线上，
，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出b和c的值，解绝对值方程，求出a的值，根据三角形两边的和大于第三边，由三角形两边的和大于第三边可推出三角形两边的差小于第三边确定a、b、c的值，即可求得的周长；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据可得到的长，从而得到的长．
14．（2024八上·丰城开学考）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为，求此内角的度数．
【答案】解：∵，
∴该内角应是180°-60°=120°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据n边形的内角和公式：（n-2） 180° （n≥3且n为整数），可得多边形的内角和是的倍数，且每一个内角应大于0度而小于180度，据此进行计算即可求解.
15．（2024八上·丰城开学考）如图，在中，，垂直平分，交于点E．若，的周长为20，求的周长
【答案】解：∵，垂直平分，交于点E，
∴，，
∵的周长为20，，
∴，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AD=BD，AC=AB=12，根据三角形的周长求出BC=8，即可求出的周长．
16．（2024八上·丰城开学考）如图，，， 点D在边上，，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求的度数．
【答案】（1）证明：∵和相交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴.
在中，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，根据三角形内角和是180°得出，推得，，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出， 根据等边对等角和谁叫你内角和是180° 求出的度数，即可求出的度数．
17．（2024八上·丰城开学考）如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图①中，作的平分线；
（2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的．
【答案】（1）解：的平分线如图所示：
过程如下：
因为为等边三角形，为边上的高，
所以为的平分线，
因为点为边上的中点，
故为边的中线，为的平分线，
故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点）
（2）解：连接交于一点，即点，
由（1）得，点是的中点，点是的中点，
则是的中线，
所以，
因为点是的中点，
所以是的中线，
则，
因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点，
所以是等边三角形，
故，
那么，
（或）即为所求.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一的性质得出为的平分线，根据三角形中线的定义得出为边的中线，根据等边三角形的三线合一的性质得出为的平分线，故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点），即可作答；
（2）根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，，根据有一个角是60° 角的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，得出，即，故（或）即为所求.
（1）解：的平分线如图所示：
过程如下：
因为为等边三角形，为边上的高，
所以为的平分线，
因为点为边上的中点，
故为边的中线，为的平分线，
故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点）
（2）解：连接交于一点，即点，
由（1）得，点是的中点，点是的中点，
则是的中线，
所以
因为点是的中点，
所以是的中线
则
因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点，
所以是等边三角形，
故，
那么
（或）即为所求
18．（2024八上·丰城开学考）如图，分别是的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）②③④
（2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在中．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：（1）∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，故①错误；
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∴，与互余，故④正确；
故答案为：②③④；
【分析】（1）根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得BF=FC，故①错误；根据三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线得出，故②正确；根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得出，故③正确；根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出与互余，故④正确.
（2）根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高得出，根据三角形内角和是180°得出，求出，根据三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线得出，根据三角形内角和是180°即可求解.
（1）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，故①错误；
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∴，与互余，故④正确；
故答案为：②③④；
（2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在中．
19．（2024八上·丰城开学考）在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．
【答案】解：（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵E是BC中点，
，，
，
，
，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠AEF=90°．
（2）△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GBE=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠G=∠CFE，
在△BEG和△CEF中，
，
∴△BEG≌△CEF（AAS），
∴GE=EF，
∵∠AEF=90°，
∴AE是GF的垂直平分线，
∴AG=AF，
∴△AGF为等腰三角形，
∴∠GAE=∠FAE，
∵BH⊥AF，
∴∠MAH+∠AHM=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AHM=∠HBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠HBC+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠MAH，
∵∠ANH=∠ABH+∠GAE，
∴∠ANH=∠MAH+∠EAF=∠NAH，
∴△HAN为等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴∠HAN=∠BEN，
∵∠ANH=∠BNE，
∴∠BEN=∠BNE，
∴△BEN为等腰三角形．
在△ABE和△DCE中，
．
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴EA=ED．
∴△AED为等腰三角形，
综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
【分析】（1）根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等得出∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，根据题意得出，，推得，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似得出△ABE∽△ECF，根据相似三角形的对应角相等得出∠BAE=∠CEF，根据等量代换可得∠BEA+∠CEF=90°，即可证明；
（2）根据正方形的四个角都是直角，对边平行得出∠GBE=∠C=90°，AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠G=∠CFE，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BEG≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等得出GE=EF，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AG=AF，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出△AGF为等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等得出∠GAE=∠FAE，根据两直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠HBC，根据等角的余角相等得出∠ABH=∠MAH，推得∠ANH=∠NAH，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出△HAN为等腰三角形，根据两直线平行，内错角相等得出∠HAN=∠BEN，推得∠BEN=∠BNE，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出△BEN为等腰三角形，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△ABE≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等得出EA=ED，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出△AED为等腰三角形.
20．（2024八上·丰城开学考）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请你判断与关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：垂直平分，理由如下：∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线即可证明；
（2）根据三角形面积公式得出，代入即可求解．
（1）解：垂直平分，理由如下：
∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
21．（2024八上·丰城开学考）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）如图1，若点恰好落在边上，则的形状是___________ 三角形；
（2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
（3）若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）等边
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）解：的长是3或6，理由如下：如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出∠ADE=∠B=60°，根据折叠得出∠FDE=∠ADE=60°，故∠DFB=∠B=∠BDF=60°，根据三个角都是60°角的三角形是等边三角形得出△BDF是等边三角形；
（2）根据折叠的性质得出∠A=∠DFE，求得∠ADC=120°，根据等边对等角得出∠FEC=∠FCE，设∠FEC=∠FCE=x，则∠A=∠DFE=∠FEC+∠FCE=2x，根据三角形内角和是180°即可求出x的值，即可求解；
（3）根据题意分两种情况：当∠BFD=90°时，点F在△ABC内，则根据直角三角形两个锐角互余得出∠DBF=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出BD=2DF，根据折叠得出DF=AD，故BD=2AD，即可求出AD=3，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外， 同理可得AD=DF=2BD，故AD=6．
（1）是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）的长是3或6，理由如下：
如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
22．（2024八上·丰城开学考）如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接，
在等腰直角中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据等腰直角三角形的底角是45°得出，求得，根据等边对等角得出，求得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求出；
（2）根据同角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，即可证明；
（3）连接，根据全等三角形的对应角相等得出，推得是钝角，，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出，根据等角对等边得出，即可列出方程，求出t的值.
（1）解：连接，在等腰直角中，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）存在点使得与全等，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2024八上·丰城开学考）在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．
【感悟】（1）如图1，是的高线，，若，，求的长．
小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处．……
请你画出图形并直接写出答案：___________．
【探究】（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【拓展】（3）如图3，在四边形中，平分，，，①求证：；②若，则的长为___________．
【答案】解：（1）如图，将沿折叠，则点刚好落在边上的点处，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；
（2），
证明：如图，在上截取，连接，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图，在上截取，连接，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②由①得，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：18．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，推得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，推出，根据等角对等边得出，即可求解；
（2）在上截取，连接，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，，根据等角的补角相等得出，再由得到，再三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，根据等角对等边得出，即可得证；
（3）①在上截取，连接，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应角相等、对应边相等得到，，推得，根据等边对等角得出，结合即可得证明；②由①得，，结合求得，根据有一个角是60° 角的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，最后由即可求解.
1 / 1江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
1．（2024八上·丰城开学考）2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·丰城开学考）要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·丰城开学考）如图，为的中线，平分，平分，，下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2024八上·丰城开学考）已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
5．（2024八上·丰城开学考）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度．
A．60 B．90 C．100 D．105
6．（2024八上·丰城开学考）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024八上·丰城开学考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．
8．（2024八上·丰城开学考）已知点和关于x轴对称，则的值为 ．
9．（2024八上·丰城开学考）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．
10．（2024八上·丰城开学考）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是： ．
11．（2024八上·丰城开学考）如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 ．
12．（2024八上·丰城开学考）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
13．（2024八上·丰城开学考）（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
14．（2024八上·丰城开学考）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为，求此内角的度数．
15．（2024八上·丰城开学考）如图，在中，，垂直平分，交于点E．若，的周长为20，求的周长
16．（2024八上·丰城开学考）如图，，， 点D在边上，，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求的度数．
17．（2024八上·丰城开学考）如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图①中，作的平分线；
（2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的．
18．（2024八上·丰城开学考）如图，分别是的高线、角平分线和中线．
（1）有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）．
（2）若，求的度数．
19．（2024八上·丰城开学考）在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．
20．（2024八上·丰城开学考）如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请你判断与关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
21．（2024八上·丰城开学考）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）如图1，若点恰好落在边上，则的形状是___________ 三角形；
（2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
（3）若，当是直角三角形时，直接写出的长．
22．（2024八上·丰城开学考）如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为．
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
23．（2024八上·丰城开学考）在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．
【感悟】（1）如图1，是的高线，，若，，求的长．
小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处．……
请你画出图形并直接写出答案：___________．
【探究】（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【拓展】（3）如图3，在四边形中，平分，，，①求证：；②若，则的长为___________．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由选项可得，只有D选项能找到一条直线，使得这个图形沿着直线对折后能完全重合，
故选：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A、图中为边上的高，不符合题意；
B、图中不是高，不符合题意；
C、图中为边上的高，符合题意；
D、图中为边上的高，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，逐项分析即可求解.
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平移的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合题意；
∵BE⊥DE，CF⊥DF，
∴∠BED=∠DFC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠CDF=90°，
∴∠EBD=∠CDF，
∵BD=CD，
∴△BDE≌△DCF，故③符合题意；
∴∠EDB=∠FCD，ED=FC，BE=DF，
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，
∴EF∥BC，故④符合题意．
综上：符合题意的有：①③④．
故选：B．
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，求得，故①符合题意；根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线得出BD=CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合题意；根据等角的余角相等得出∠EBD=∠CDF，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BDE≌△DCF，故③符合题意；△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，可判断④符合题意.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，OP=4，
∴∠POA=30，
∴，
故选：A．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PA的值等于点P到射线OM的距离，根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，即PQ=PA，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得，，，
．
故选：．
【分析】根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和即可求解.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①∵和都是等边三角形，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ（已证），
∴PC=QC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠BPO=∠APC，∠AOB+∠CBE+∠BPO=∠APC+∠CAD+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°得出BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，推得∠ACD=∠BCE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BE，故①正确；根据全等三角形的对应角相等得出∠CAD=∠CBE，求出∠BCQ=60°，得出∠ACB=∠BCQ=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BQ，故③正确；根据全等三角形的对应边相等得出PC=QC，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PCQ是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出∠CPQ=60°，即∠ACB=∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行即可得出PQ∥AE，故②正确；根据全等三角形的对应角相等得∠DAC=∠EBC，根据三角形内角和是180° 得出∠AOB=∠ACB=60°，故④正确.
7．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据题意可得钉在墙上的方法是构造三角形支架，即可得出这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性.
8．【答案】7
【知识点】解一元一次方程；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数列出方程，解方程求出a和b的值，再代入计算即可求解.
9．【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
10．【答案】K62897
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：实际车牌号是K62897．
故答案为：K62897．
【分析】根据镜面对称的性质，可以将看到的写在透明纸上，从反面看到的就是镜面反射的结果，据此即可求解.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【解答】解：点是上一动点，当，，三点共线时，有最小值，
连接交于点，过点作于点，
点坐标为，点坐标为，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据题意推得当，，三点共线时，即有最小值，连接交于点，过点作于点，根据点A和点P的坐标得出AE、EP的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AP的值，即可求解.
12．【答案】40°或90°或140°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【分析】分为三种情况分析：当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，求得∠ABD=∠ABC-∠DBC=20°，根据等边对等角得出∠A=∠ABD=20°，故∠CDB=∠A+∠ABD=40°，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，故∠BDC=90°，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°，根据等边对等角得出∠C=∠DBC=20°，故∠BDC=140°．
13．【答案】解：（1）、c满足，a为方程的解，
又，，，
，，或（不满足三角形三边关系，舍去），
，，，
的周长；
（2），点B、F、C、E在同一条直线上，
，
，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出b和c的值，解绝对值方程，求出a的值，根据三角形两边的和大于第三边，由三角形两边的和大于第三边可推出三角形两边的差小于第三边确定a、b、c的值，即可求得的周长；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据可得到的长，从而得到的长．
14．【答案】解：∵，
∴该内角应是180°-60°=120°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据n边形的内角和公式：（n-2） 180° （n≥3且n为整数），可得多边形的内角和是的倍数，且每一个内角应大于0度而小于180度，据此进行计算即可求解.
15．【答案】解：∵，垂直平分，交于点E，
∴，，
∵的周长为20，，
∴，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AD=BD，AC=AB=12，根据三角形的周长求出BC=8，即可求出的周长．
16．【答案】（1）证明：∵和相交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴.
在中，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，根据三角形内角和是180°得出，推得，，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出， 根据等边对等角和谁叫你内角和是180° 求出的度数，即可求出的度数．
17．【答案】（1）解：的平分线如图所示：
过程如下：
因为为等边三角形，为边上的高，
所以为的平分线，
因为点为边上的中点，
故为边的中线，为的平分线，
故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点）
（2）解：连接交于一点，即点，
由（1）得，点是的中点，点是的中点，
则是的中线，
所以，
因为点是的中点，
所以是的中线，
则，
因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点，
所以是等边三角形，
故，
那么，
（或）即为所求.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一的性质得出为的平分线，根据三角形中线的定义得出为边的中线，根据等边三角形的三线合一的性质得出为的平分线，故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点），即可作答；
（2）根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，，根据有一个角是60° 角的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，得出，即，故（或）即为所求.
（1）解：的平分线如图所示：
过程如下：
因为为等边三角形，为边上的高，
所以为的平分线，
因为点为边上的中点，
故为边的中线，为的平分线，
故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点）
（2）解：连接交于一点，即点，
由（1）得，点是的中点，点是的中点，
则是的中线，
所以
因为点是的中点，
所以是的中线
则
因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点，
所以是等边三角形，
故，
那么
（或）即为所求
18．【答案】（1）②③④
（2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在中．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：（1）∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，故①错误；
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∴，与互余，故④正确；
故答案为：②③④；
【分析】（1）根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得BF=FC，故①错误；根据三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线得出，故②正确；根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得出，故③正确；根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出与互余，故④正确.
（2）根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高得出，根据三角形内角和是180°得出，求出，根据三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线得出，根据三角形内角和是180°即可求解.
（1）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，故①错误；
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∴，与互余，故④正确；
故答案为：②③④；
（2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在中．
19．【答案】解：（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵E是BC中点，
，，
，
，
，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠AEF=90°．
（2）△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GBE=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠G=∠CFE，
在△BEG和△CEF中，
，
∴△BEG≌△CEF（AAS），
∴GE=EF，
∵∠AEF=90°，
∴AE是GF的垂直平分线，
∴AG=AF，
∴△AGF为等腰三角形，
∴∠GAE=∠FAE，
∵BH⊥AF，
∴∠MAH+∠AHM=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AHM=∠HBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠HBC+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠MAH，
∵∠ANH=∠ABH+∠GAE，
∴∠ANH=∠MAH+∠EAF=∠NAH，
∴△HAN为等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴∠HAN=∠BEN，
∵∠ANH=∠BNE，
∴∠BEN=∠BNE，
∴△BEN为等腰三角形．
在△ABE和△DCE中，
．
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴EA=ED．
∴△AED为等腰三角形，
综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
【分析】（1）根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等得出∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，根据题意得出，，推得，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似得出△ABE∽△ECF，根据相似三角形的对应角相等得出∠BAE=∠CEF，根据等量代换可得∠BEA+∠CEF=90°，即可证明；
（2）根据正方形的四个角都是直角，对边平行得出∠GBE=∠C=90°，AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠G=∠CFE，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BEG≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等得出GE=EF，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AG=AF，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出△AGF为等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等得出∠GAE=∠FAE，根据两直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠HBC，根据等角的余角相等得出∠ABH=∠MAH，推得∠ANH=∠NAH，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出△HAN为等腰三角形，根据两直线平行，内错角相等得出∠HAN=∠BEN，推得∠BEN=∠BNE，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出△BEN为等腰三角形，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△ABE≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等得出EA=ED，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形得出△AED为等腰三角形.
20．【答案】（1）解：垂直平分，理由如下：∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线即可证明；
（2）根据三角形面积公式得出，代入即可求解．
（1）解：垂直平分，理由如下：
∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
21．【答案】（1）等边
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）解：的长是3或6，理由如下：如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出∠ADE=∠B=60°，根据折叠得出∠FDE=∠ADE=60°，故∠DFB=∠B=∠BDF=60°，根据三个角都是60°角的三角形是等边三角形得出△BDF是等边三角形；
（2）根据折叠的性质得出∠A=∠DFE，求得∠ADC=120°，根据等边对等角得出∠FEC=∠FCE，设∠FEC=∠FCE=x，则∠A=∠DFE=∠FEC+∠FCE=2x，根据三角形内角和是180°即可求出x的值，即可求解；
（3）根据题意分两种情况：当∠BFD=90°时，点F在△ABC内，则根据直角三角形两个锐角互余得出∠DBF=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出BD=2DF，根据折叠得出DF=AD，故BD=2AD，即可求出AD=3，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外， 同理可得AD=DF=2BD，故AD=6．
（1）是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）的长是3或6，理由如下：
如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
22．【答案】（1）解：连接，
在等腰直角中，，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据等腰直角三角形的底角是45°得出，求得，根据等边对等角得出，求得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求出；
（2）根据同角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，即可证明；
（3）连接，根据全等三角形的对应角相等得出，推得是钝角，，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出，根据等角对等边得出，即可列出方程，求出t的值.
（1）解：连接，在等腰直角中，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）存在点使得与全等，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】解：（1）如图，将沿折叠，则点刚好落在边上的点处，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；
（2），
证明：如图，在上截取，连接，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图，在上截取，连接，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②由①得，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：18．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，推得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，推出，根据等角对等边得出，即可求解；
（2）在上截取，连接，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，，根据等角的补角相等得出，再由得到，再三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，根据等角对等边得出，即可得证；
（3）①在上截取，连接，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应角相等、对应边相等得到，，推得，根据等边对等角得出，结合即可得证明；②由①得，，结合求得，根据有一个角是60° 角的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，最后由即可求解.
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