四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·涪城开学考）下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，故该选项正确；
B、 =3不是最简二次根式，故该选项错误；
C、 不是最简二次根式，故该选项错误；
D、 不是最简二次根式，故该选项错误.
故答案为：A.
【分析】最简二次根式满足下列两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断.
2．（2024九上·涪城开学考）某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵该班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8， 数据的平均数是6，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据数据的平均数是6，列出关于未知数的方程求解．
3．（2024九上·涪城开学考）下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7、23、25 B．3、4、5
C．、2、 D．0.5、1.2、1.3
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：， 7、23、25 为三角形的三边长不能构成直角三角形，故A不符合；
， 3、4、5为三角形的三边长能构成直角三角形，故B符合；
，、2、 为三角形的三边长能构成直角三角形，故C符合；
， 0.5、1.2、1.3为三角形的三边长能构成直角三角形，故D符合．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证每组数中的两个较小的数的平方和与最大的边的平方的关系，再作判断．
4．（2024九上·涪城开学考）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件，转化为不等式求解．
5．（2024九上·涪城开学考）已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m≤0 C．m≥0 D．m>0
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，
∴m>0，
故答案为：D.
【分析】根据可知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，所以m>0，故可得答案.
6．（2024九上·涪城开学考）下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，当a≥0、b≥0时成立，故此选项不符合题意；
，故B错误；
，当，时不成立，故C错误；
，故D正确.
故选：D．
【分析】（1）根据a，b的符号说理；
（2）根据说明；
（3）根据成立的条件说明；
（4）根据成立的条件说明．
7．（2024九上·涪城开学考）如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据，，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故C符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项逐一进行判断．
8．（2024九上·涪城开学考）如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ）
A． B． C．30 D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，
∵在C点测得小岛A恰好在正北方向上，
∴∠ACB=90°.
∵ 小岛A在港口B北偏东方向上，
∴，
∴，
∵“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，
∴，
∴，
∴（）.
此时“远航号”与小岛A的距离为.
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAC，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出AB，再利用勾股定理求出．
9．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，对角线和相交于O，的平分线与边相交于E，若，那么下列结论①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的平分线，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，故①正确；
，，
是的中位线，
，故②正确，
，
，
，
，故③正确，
当时，四边形是菱形，这也已知不符合，故④错误，
故选：C．
【分析】①先根据平行四边形的性质得到，，利用三角形的内角和与角平分线的概念，可求得；②先说明OE是中位线，再利用中位线的性质说理；③先说明，再利用平行四边形面积算法可得出结论；④根据菱形的判定即可判断．
10．（2024九上·涪城开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∵点A的坐标是(0，b)，点B的坐标是（a，﹣a），
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵点B的坐标为（﹣2，2），
∴.
∴S△ABO＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
∵直线l2与l1交于B（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3） ，
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
取y＝0，则x+3=0，解得x＝﹣6，
∴点C的坐标是（﹣6，0），
∴OC=6.
∵点B的坐标是（﹣2，2），
∴.
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
∵点P的坐标是（﹣2，5），点B的坐标是（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故答案为：D．
【分析】（1）根据非负数的性质，列出关于a，b的方程组求解，可求得a、b的值，就可得到点B的坐标；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）分别求得△OBC和△AOB的面积，再求出它们的比；
（4）分别求出S△BCP和S△AOB的值，再作判断．
11．（2024九上·涪城开学考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，取y=0，得x+4=0，解得x=-4；
取x=0，得y=4.
∴，
∵C，D分别为线段，的中点，
∴，，
∴
∴，
解得，
∴直线CE解析式为，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为.
故答案为：A．
【分析】先根据 直线 ，求出A、B的坐标，再根据C，D分别为线段，的中点，求出C、D的坐标，通过作轴对称，找到使的值最小的点P，先求出直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
12．（2024九上·涪城开学考）如图所示，以的直角边向外构造等边，E为的中点，连接、，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
为的中点，
，
，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
∵，
∴AE//CD.
∵AE=CD，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形为平行四边形，
，
∴∠ACB=∠AOE.
，
∴∠AOE=90°.
，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
，故④错误；
综上所述，其中正确的结论有3个.
故选：C．
【分析】①先说明四边形为平行四边，从而可得BC//DE，再根据，说明； ②正确，②先说明CD//AB，再说明CD=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可说明四边形为平行四边；③先说明四边形是平行四边形，再说明它有一组邻边相等，从而可说明四边形是菱形； ④ 根据平行四边形的性质及三角形的面积公式可得到结论．
13．（2024九上·涪城开学考）4的算术平方根是 ．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接、，若，，则 ．
【答案】2.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，是边的中点，
，
∵，
，
，
，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：2.5．
【分析】先求出AB，再利用勾股定理求得BC，然后根据中位线定理求得DE．
15．（2024九上·涪城开学考）若直线与直线相交于x轴同一点，则当x 时，．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解∶ 直线，
取，
则，解得，
∵直线与直线相交于x轴同一点，
∴直线与直线相交与点，
画出大致图像如图：
根据函数图象可知：当时，，
故答案为：．
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再画出大致图象，依据图象写出不等式的解集.
16．（2024九上·涪城开学考）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过B作交延长线于H，则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，列出关于BH，HE的比例式，求出BH与HE，再证明，列出关于DF的比例式，求出DF，再根据求出FG．
17．（2024九上·涪城开学考）如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是 ．
【答案】或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：，
解得：，
∵矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），
∴AB=3，BC=4，
当△CEB'为直角三角形时，可分为两种情况：
（1）当点B'落在矩形内部时，如图所示．
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2；
（2）当点B'落在AD边上时，如图．
由折叠可知AB'=AB，∠B=∠B'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAB'=90°，
∴∠B'=∠B=∠BAB'=90°，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=BC-BE=4-3=1，
∴．
综上所述，B'C的长为或2．
故答案为：或2．
【分析】先求出一元二次方程的两个解，得出AB与BC的长，当△CEB'为直角三角形时，分“点B'落在矩形内部”、“点B'落在AD边上”两种情况，分别求出B'C．
18．（2024九上·涪城开学考）图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当0∴（cm），，
当时，点运动了，
此时点在线段上，，
∴为线段的中点，
∵，
∴．
∴图（2）中的坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出AC，BC，再根据当x=11时，求出点P运动的距离，从中确定CP的长及位置，再求P点的坐标．
19．（2024九上·涪城开学考）计算： .
【答案】解：原式 .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则，先去括号，同时化简绝对值，然后合并即可.
20．（2024九上·涪城开学考）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分） 众数（分）
甲 80 b
乙 a 90
则a＝ ，b＝ ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
【答案】（1）80、80
（2）选乙(答案不唯一），理由见解析
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：
甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，70，90，80，70，90，70，80，90，80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，60，100，70，90，50， 90，70，90，100，
∴甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩中，80出现的次数最多，
∴甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的众数是80，
∴b=80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的平均数为
，
∴a=80.
故答案为：80，80；
(2)选乙，
理由如下：
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，60，100，70，90，50， 90，70，90，100，
∴乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的90出现的次数最多，
∴乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的众数是90，
甲和乙的平均分一样，甲的众数是80，乙的众数是 90，即乙的众数比甲大．
选甲也可以找出合适的理由，因此答案不唯一．
【分析】（1）根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
（2）先求出乙的成绩的众数，再根据平均数，众数分析说明理由．
21．（2024九上·涪城开学考）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图，连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过全等证明平行四边形ABCD有一组邻边相等，来证明它是菱形；
（2）连接AC，交BD于点H，先求出BH，再利用勾股定理求得AH，从而可求得AC，再利用菱形的面积等于两对角线的乘积的一半求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
22．（2024九上·涪城开学考）中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”、“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生”的美称．近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业化经营，在甲、乙两村的附近修建了A，B两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B冷库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A，B两个冷库储存，且甲、乙两村分别运往A，B两个冷库的西瓜运输费用（单位：元/吨）如下表：
A B
甲 20元/吨 25元/吨
乙 15元/吨 18元/吨
（1）设甲村运往A冷库吨西瓜，甲、乙两村运往A，B两个冷库的西瓜运输费用分别用，表示，请求出，与之间的函数关系式．
（2）考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当的值为多少时，才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用．
【答案】（1）∵现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜，
∴甲村运往B冷库吨西瓜，乙村运往A冷库吨西瓜，运往B冷库吨西瓜，
∴，
；
（2）∵乙村的运输费用不得超过4980元，
∴，解得：，
设费用和为，
根据题意有：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最小值=；
答：当，运输费最少，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先分别用x表示出甲村运往B冷库的吨数，与乙村运往A冷库的吨数，再根据运输费用等于单价乘以运输数量，列出函数关系式即可；
（2）先根据乙村的运输费用不得超过4980元，求出的取值范围，再列出有关费用w的一次函数，利用一次函数的增减性质结合自变量的范围，求出最小值．
（1）解：由题意，得：甲村运往B冷库吨西瓜，乙村运往A冷库吨西瓜，运往B冷库吨西瓜，则：
，
；
（2）由题意，得：，
解得：，
设费用和为，则：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最小值为：；
故当，运输费最少，为元．
23．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，连接和，若，，求的长．
【答案】过作交于，连接，，
在中，，点是的中点，
，
，
∴，，
，
，
，
同理可得，
在与中，
，
，
延长至，使，
在与中，
∴（SAS），
，
，
.
设，则，
，
点，，，在以为直径的同一个圆上，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
在中，，
，
解得：，（舍去），
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】过作交于，连接，，先利用ASA证明，从而可求得BF，再利用SAS证明，从而可说明.再说明，从而可得BE=BG，设CG=x，再用x分别表示出BE，BC，利用勾股定理可得到关于x的方程，求得x，从而可求得BE．
24．（2024九上·涪城开学考）如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
【答案】（1）过点A作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是，
∴，
∴点A的坐标为，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）直线与x轴交于D，
∴取y=0，则，解得x=3.
∴点D的坐标为（3，0），
∴，
∵点A的坐标为，
∴点M的坐标为（1，0），
∴OM=1.
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k；
（2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式．
（1）解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
1 / 1四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·涪城开学考）下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·涪城开学考）某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．7
3．（2024九上·涪城开学考）下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7、23、25 B．3、4、5
C．、2、 D．0.5、1.2、1.3
4．（2024九上·涪城开学考）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024九上·涪城开学考）已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m≤0 C．m≥0 D．m>0
6．（2024九上·涪城开学考）下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·涪城开学考）如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024九上·涪城开学考）如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ）
A． B． C．30 D．
9．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，对角线和相交于O，的平分线与边相交于E，若，那么下列结论①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·涪城开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024九上·涪城开学考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024九上·涪城开学考）如图所示，以的直角边向外构造等边，E为的中点，连接、，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024九上·涪城开学考）4的算术平方根是 ．
14．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接、，若，，则 ．
15．（2024九上·涪城开学考）若直线与直线相交于x轴同一点，则当x 时，．
16．（2024九上·涪城开学考）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为 ．
17．（2024九上·涪城开学考）如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是 ．
18．（2024九上·涪城开学考）图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ．
19．（2024九上·涪城开学考）计算： .
20．（2024九上·涪城开学考）2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分） 众数（分）
甲 80 b
乙 a 90
则a＝ ，b＝ ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
21．（2024九上·涪城开学考）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
22．（2024九上·涪城开学考）中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”、“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生”的美称．近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业化经营，在甲、乙两村的附近修建了A，B两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B冷库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A，B两个冷库储存，且甲、乙两村分别运往A，B两个冷库的西瓜运输费用（单位：元/吨）如下表：
A B
甲 20元/吨 25元/吨
乙 15元/吨 18元/吨
（1）设甲村运往A冷库吨西瓜，甲、乙两村运往A，B两个冷库的西瓜运输费用分别用，表示，请求出，与之间的函数关系式．
（2）考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当的值为多少时，才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用．
23．（2024九上·涪城开学考）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，连接和，若，，求的长．
24．（2024九上·涪城开学考）如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，故该选项正确；
B、 =3不是最简二次根式，故该选项错误；
C、 不是最简二次根式，故该选项错误；
D、 不是最简二次根式，故该选项错误.
故答案为：A.
【分析】最简二次根式满足下列两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵该班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8， 数据的平均数是6，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据数据的平均数是6，列出关于未知数的方程求解．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：， 7、23、25 为三角形的三边长不能构成直角三角形，故A不符合；
， 3、4、5为三角形的三边长能构成直角三角形，故B符合；
，、2、 为三角形的三边长能构成直角三角形，故C符合；
， 0.5、1.2、1.3为三角形的三边长能构成直角三角形，故D符合．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证每组数中的两个较小的数的平方和与最大的边的平方的关系，再作判断．
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件，转化为不等式求解．
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，
∴m>0，
故答案为：D.
【分析】根据可知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，所以m>0，故可得答案.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，当a≥0、b≥0时成立，故此选项不符合题意；
，故B错误；
，当，时不成立，故C错误；
，故D正确.
故选：D．
【分析】（1）根据a，b的符号说理；
（2）根据说明；
（3）根据成立的条件说明；
（4）根据成立的条件说明．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据，，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故C符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项逐一进行判断．
8．【答案】B
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，
∵在C点测得小岛A恰好在正北方向上，
∴∠ACB=90°.
∵ 小岛A在港口B北偏东方向上，
∴，
∴，
∵“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，
∴，
∴，
∴（）.
此时“远航号”与小岛A的距离为.
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAC，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出AB，再利用勾股定理求出．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的平分线，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，故①正确；
，，
是的中位线，
，故②正确，
，
，
，
，故③正确，
当时，四边形是菱形，这也已知不符合，故④错误，
故选：C．
【分析】①先根据平行四边形的性质得到，，利用三角形的内角和与角平分线的概念，可求得；②先说明OE是中位线，再利用中位线的性质说理；③先说明，再利用平行四边形面积算法可得出结论；④根据菱形的判定即可判断．
10．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∵点A的坐标是(0，b)，点B的坐标是（a，﹣a），
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵点B的坐标为（﹣2，2），
∴.
∴S△ABO＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
∵直线l2与l1交于B（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3） ，
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
取y＝0，则x+3=0，解得x＝﹣6，
∴点C的坐标是（﹣6，0），
∴OC=6.
∵点B的坐标是（﹣2，2），
∴.
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
∵点P的坐标是（﹣2，5），点B的坐标是（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故答案为：D．
【分析】（1）根据非负数的性质，列出关于a，b的方程组求解，可求得a、b的值，就可得到点B的坐标；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）分别求得△OBC和△AOB的面积，再求出它们的比；
（4）分别求出S△BCP和S△AOB的值，再作判断．
11．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，取y=0，得x+4=0，解得x=-4；
取x=0，得y=4.
∴，
∵C，D分别为线段，的中点，
∴，，
∴
∴，
解得，
∴直线CE解析式为，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为.
故答案为：A．
【分析】先根据 直线 ，求出A、B的坐标，再根据C，D分别为线段，的中点，求出C、D的坐标，通过作轴对称，找到使的值最小的点P，先求出直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
为的中点，
，
，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
∵，
∴AE//CD.
∵AE=CD，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形为平行四边形，
，
∴∠ACB=∠AOE.
，
∴∠AOE=90°.
，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
，故④错误；
综上所述，其中正确的结论有3个.
故选：C．
【分析】①先说明四边形为平行四边，从而可得BC//DE，再根据，说明； ②正确，②先说明CD//AB，再说明CD=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可说明四边形为平行四边；③先说明四边形是平行四边形，再说明它有一组邻边相等，从而可说明四边形是菱形； ④ 根据平行四边形的性质及三角形的面积公式可得到结论．
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．【答案】2.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，是边的中点，
，
∵，
，
，
，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：2.5．
【分析】先求出AB，再利用勾股定理求得BC，然后根据中位线定理求得DE．
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解∶ 直线，
取，
则，解得，
∵直线与直线相交于x轴同一点，
∴直线与直线相交与点，
画出大致图像如图：
根据函数图象可知：当时，，
故答案为：．
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再画出大致图象，依据图象写出不等式的解集.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过B作交延长线于H，则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，列出关于BH，HE的比例式，求出BH与HE，再证明，列出关于DF的比例式，求出DF，再根据求出FG．
17．【答案】或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：，
解得：，
∵矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），
∴AB=3，BC=4，
当△CEB'为直角三角形时，可分为两种情况：
（1）当点B'落在矩形内部时，如图所示．
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2；
（2）当点B'落在AD边上时，如图．
由折叠可知AB'=AB，∠B=∠B'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAB'=90°，
∴∠B'=∠B=∠BAB'=90°，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=BC-BE=4-3=1，
∴．
综上所述，B'C的长为或2．
故答案为：或2．
【分析】先求出一元二次方程的两个解，得出AB与BC的长，当△CEB'为直角三角形时，分“点B'落在矩形内部”、“点B'落在AD边上”两种情况，分别求出B'C．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当0∴（cm），，
当时，点运动了，
此时点在线段上，，
∴为线段的中点，
∵，
∴．
∴图（2）中的坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出AC，BC，再根据当x=11时，求出点P运动的距离，从中确定CP的长及位置，再求P点的坐标．
19．【答案】解：原式 .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则，先去括号，同时化简绝对值，然后合并即可.
20．【答案】（1）80、80
（2）选乙(答案不唯一），理由见解析
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：
甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，70，90，80，70，90，70，80，90，80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，60，100，70，90，50， 90，70，90，100，
∴甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩中，80出现的次数最多，
∴甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的众数是80，
∴b=80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的平均数为
，
∴a=80.
故答案为：80，80；
(2)选乙，
理由如下：
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，60，100，70，90，50， 90，70，90，100，
∴乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的90出现的次数最多，
∴乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的众数是90，
甲和乙的平均分一样，甲的众数是80，乙的众数是 90，即乙的众数比甲大．
选甲也可以找出合适的理由，因此答案不唯一．
【分析】（1）根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
（2）先求出乙的成绩的众数，再根据平均数，众数分析说明理由．
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图，连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过全等证明平行四边形ABCD有一组邻边相等，来证明它是菱形；
（2）连接AC，交BD于点H，先求出BH，再利用勾股定理求得AH，从而可求得AC，再利用菱形的面积等于两对角线的乘积的一半求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
22．【答案】（1）∵现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜，
∴甲村运往B冷库吨西瓜，乙村运往A冷库吨西瓜，运往B冷库吨西瓜，
∴，
；
（2）∵乙村的运输费用不得超过4980元，
∴，解得：，
设费用和为，
根据题意有：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最小值=；
答：当，运输费最少，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先分别用x表示出甲村运往B冷库的吨数，与乙村运往A冷库的吨数，再根据运输费用等于单价乘以运输数量，列出函数关系式即可；
（2）先根据乙村的运输费用不得超过4980元，求出的取值范围，再列出有关费用w的一次函数，利用一次函数的增减性质结合自变量的范围，求出最小值．
（1）解：由题意，得：甲村运往B冷库吨西瓜，乙村运往A冷库吨西瓜，运往B冷库吨西瓜，则：
，
；
（2）由题意，得：，
解得：，
设费用和为，则：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最小值为：；
故当，运输费最少，为元．
23．【答案】过作交于，连接，，
在中，，点是的中点，
，
，
∴，，
，
，
，
同理可得，
在与中，
，
，
延长至，使，
在与中，
∴（SAS），
，
，
.
设，则，
，
点，，，在以为直径的同一个圆上，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
在中，，
，
解得：，（舍去），
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】过作交于，连接，，先利用ASA证明，从而可求得BF，再利用SAS证明，从而可说明.再说明，从而可得BE=BG，设CG=x，再用x分别表示出BE，BC，利用勾股定理可得到关于x的方程，求得x，从而可求得BE．
24．【答案】（1）过点A作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是，
∴，
∴点A的坐标为，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）直线与x轴交于D，
∴取y=0，则，解得x=3.
∴点D的坐标为（3，0），
∴，
∵点A的坐标为，
∴点M的坐标为（1，0），
∴OM=1.
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k；
（2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式．
（1）解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
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